atnasyan-gdz-9-2005 (546189)
Текст из файла
УДК 373.167.1:514 ББК 22.15! я.721 Г36 Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Юдина И. И. Геометрия. 9 класс. -- М.. ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 160 с. !ЯВ)т) 5-9221-05?4-4. Настоящее издание является третьей частью учебно-методического пособия, содержащего решения задач из учебника «Геометрия 7 — 9а Л С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.
Б. Кадомцева, Э Г. Позняка, И. И Юдиной 1Мг Просвещение, 1990 и последующие издания). Данный выпуск содержит решения задач, относящихся к 9 классу. Ос ФИЗМАТЛИТ, 2005 50 Л.С Атанасян, В Ф Бутузов, С Б Кадомпев, И. И Юдина, 2005 !БВ)х) 5-9221-0574-4 ОГЛАВЛЕНИЕ при решении задач Глава 1. Метод координат 3 1 Координаты вектора ф2. Простейшие задачи в координатах...
Применение метода координат к решению задач 3 3. Уравиеиия окружности и прямой. Использование уравнений окружиасти и прямой Дополнительные задачи Применение метода координат к решению задач Задачи повышенной трудности Глава 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника Скалярное произведение векторов .. 3 1.
Синус, косинус и тангенс угла ф2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 3 3. Скалярное произведение векторов Применение скалярного произведения векторов к решению задач... Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности Г л а в а 3. Длина окружности и площадь круга . й 1. Правильные многоугольники $ 2 Длина окружности и площадь круга . Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности 5 5 !1 !9 22 36 35 ф~ 49 6! б! 66 78 85 85 97 10? 107 !15 126 135 Оглавление Глава 4. Движения. ф1.
Понятие движения . ф'2. Параллельный перенос и поворот Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности . !41 14! !45 147 152 Глава 1 МЕТОД КООРДИНАТ ф 1. Координаты вектора 911. Найдите такое число й, чтобы выполнялась равенство лп = йгп, если известно, что; а) векторы т и и противоположно направлены и )гп = 0,5 см, ! и" ( = 2 см; б) векторы т и й сонаправлены и )т) = 12 см, ( и'! = 24 дм; в) векторы и) и и противоположно направлены и )т) =- 400 мм, (и~) = 4 дм; г) векторы т и и" сонаправлены и !т,! = ъ'2 см, ( п ) = зХ50 см. Решение.
Пусть ти ф О. Тогда если и 11 т, то и = йт, при й = —, а если и 11 т, то п = йт при й = — —. Исходя из этом! — — — — !гг~ (йз( )и! 2 п~ 240 го, получаем: а) й = — = — = — 4; б) й = = = 20; )га' 0 5 ' (т) 12 в)й= — = — = — 1;г)й=- = =5. ! а ( 400 )У! ъ'50 )т( 400 ' )т! Я Ответ. а) — 4; б) 20; в) — 1; г) 5. 912. Диагонали параллелограмма АВСР пересекаются в точке О, ЛХ— середина отрезка АО. Найдите, если это возможно, такое число й, чтобы выполнялось равенство: а) ЛС = йЛО; б) ВО = йВР; в) ОС' = йСЛ; г) ЛВ = = йРС: д) ВС =. йРЪ! е) АЛХ = йСА; ж) ЛХС = йАЛХ; з) АС = йСЛХ; и) А. — йЖ; «) Лд — й)з.б.
Решение. а) Так как (ЛС( =- 2!АО) и АС )Т АО (рис. 1), то АС = 2.40, т. е. й = 2. Аналогично получаем: б) ВО = О ! — ч 1 — ' 1 — г 2 ' 2' 2 .= — ВР, т. е. й = —; в) ОС = — — СЛ, т. е. М й= — —;г)АВ=-РС,т.е,й=1;д)ВС= Л '2' Р = -РА, т. е. й =- — 1; е) АЛХ = — — СА, Рис. 1 4 Гл. !.
Метод координат — ', 4 —,— — ' т, е. 6 = — —; ж) МС = 3А61, т. е. 6 = 3; з) АС' = — гСЛХ, т. е. 4' ' ' ' ' 3 4 6 = — —; и) так как векторы АВ и ВС не коллинеарны, то не суще- 3' ствует такого числа 6, для которого АВ = ЬВС; к) так как векторы АО и ВВ не коллинеарны, то не существует числа 6, такого, что АО =- ЬВР.
Ответ. а) 2; б) —; в) — —; г) 1; д) — 1; е) — —; ж) 3; з) 1 1 ! 4 2' 2* ' ' 4' ' 3' и) решения нет; к) решения нет. 913. Векторы а и б коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а 4-3 б и а; б) 6 — 2 а и а? Ответ обоснуйте. Решение. а) Так как векторы Ь и 3 Ь коллинеарны, а векторы а и Ь коллинеарны по условию, то векторы а и 3 Ь коллинеарны. Сумма двух коллинеарных векторов есть вектор, им коллинеарный, поэтому векторы а + 3 6 и а коллинеарны.
б) Так как векторы а и 6 коллинеарны, то векторы 6 — 2а и а коллинеарны. Это доказывается так же, как в п, а). Ответ. а) Да; б) да. 914. Докажите, что если векторы а и б не коллинеарны, то; а) векторы а -ь б и а — б не коллинеарны, б) векторы 2 а — б и а + 6 не коллинеарны; в) векторы а -ь Ь и а -)-3 б не коллинеарны. Решение. а) Так как векторы а и Ь не коллинеарны, то а + — — ) + б у'= О. Допустим, что векторы а + 6 и о, .
б коллинеарны. Тогда, согласно лемме о коллинеарных векторах, существует такое число 6, что а — Ь = к( а + Ь ). Отсюда получаем: (1 — к) а = (1+ 6) 6. При любом 6 хотя бы одно из чисел !1 — 6) и (1+ й) не равно нулю. Пусть, например, 1+ 6 у! О. Тогда, умножив на число 1 — ! — 6 —, получим Ь = — а. Отсюда следует, что векторы Ь и а 1-Ьк' !46 коллинеарны, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно и, значит, векторы а + 6 и а — б не коллинеарны. б), в) Доказательство проводится так же, как в п. а). р 1.
Координаты вектора 915. Точка ЛХ лежит на диагонали АС параллелограмма АВСХ1, причем АМ: МС = 4: 1. Разложите вектор АМ по векторам а = Аь н 6=А0. Решение. Так как АЛХ; МС = 4; 1, 4 то АЛХ = — АС (рис. 2), а поскольку 5 Рис. 2 АЛХ (! АС, то АЛ| = —.АС. Но АС = АВ+ — 4 — ' + АХ) (по правилу параллелограмма), поэтому АМ = — (АВ + АР), 5 т.
е. АЛХ = — а -' — Ь. 5 5 — 4 4 — ч Ответ. АЛХ = — а + — 6. 5 ' 5 (4 — х) о, + (5+ у) Ь = 0 = 0 а + О. Ь . Отсюда следует, что 4 — х = О, 5+ у =- О, т. е. х =- 4, у = — 5. Аналогично получаем: в) х = О, у = 3; г) х=- — 1, у=- —. 1 3' Ответ. а) — 1 и 3; б) 4 и — 5; в) О и 3; 1 г) — 1 и —.
3' 917. Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы 1 и Постройте векторы с началом в точке О, заданные координатами а (3;О), Ь (2; — 1), с (О; — 3), а (1; 1), е (2; кг2). Решение. См. рисунок 3. Рис. 3 916. Векторы а и Ь не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству; а) За — х Ь = уа + Ь; б) 4а — ха 4 5 Ь + у Ь = 0; в) х а + 3 Ь вЂ” у Ь = 0; г) а + Ь вЂ” Зу а + х 6 = 0.
Ре ш е н не. а) Коэффициенты разложения данного вектора по двум данным неколлинеарным векторам а и Ь определяются единственным образом, поэтому из равенства 3 а — х Ь = у а + 6 следует, что у = 3, — з = 1, т. е. х = — 1, б) Запишем данное равенство в виде Гл. Д Метод координат 918.
Разложите векторы о, Ь, с, д, е и у', изображенные на рисунке 4 (рис. 276, а, б, в учебника), по координатным векторам г и у и найдите их координаты. Р е ш е н и е. а) а =.2г +Зу, а(2;3); б) Ь =- — 2 г +3 у, Ь( — 2;3); с = 2 г, с'(2;О); — — — г в) г1 = — Зг — 4у, ог( — 3; — 4); е = 2г — 21, е(2; — 2); 7= -4г — 5у, у( — 4;--5). Ответ. а(2;3), Ь( — 2;3), с(2;О), сХ( — 3; — 4), е(2; — 2), 7( — 4; — 5). — — 1 — л 919. Выпишите координаты векторов а' = 2 г -Н 3 1, Ь = — — г — 22, 2 — — — — Ф > с =-8 г, д = г — г', е = — 22, ~' = — г.'.
Решение. а(2;3), Ь ( — —; — 2), с (8;0), г1(1; — 1), е (О; — 2), 7(-1;О). Ответ. (2;3), ( — —; — 2), (8;0), (1; — 1), (О; — 2), ( — 1;О). 920. Запишите разложение по координатным векторам г и у вектора: а) тм( — 3; — );б) д( — 2; — 3);в) з( — 1;О);т) й(0;3);д) ю(0;1).
'5 Рис. 4 Э 1. Координагаы векслера Решение, а) х = — 3! + — 1; б) у = — 21 —. 3 з; 5 г) й = Зд; д) и = д . Ответ, а) — 31 + — З; б) — 21 — 31; в) — 1; г) 37' 5 в) -= — 1; д) ~''. 922. Найдите координаты вектора а + Ь, если а) а(З;2), Ь (2;5), б) а(З; — 4), Ь(1;5); в) а ( — 4; — 2), Ь(5;3); г) а(2;7), Ь( — 3; — 7).
Ре ш е н не. При сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются, поэтому для координат вектора а + Ь получаются следующие значения: а) (5; 7); б) (4; 1); в) (1; 1); г) ( — 1; 0). Ответ, а) (5; 7); б) (4; 1); в) (1; 1); г) ( — 1;0). 923. Найдите координаты вектора а — Ь, если а) а (5; 3), Ь (2; 1); б) а (3;2), Ь (3;2); в) а (3;6), Ь (4; -3); г) а (-5; -6), Ь (2; -4). Р е ш е н и е. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Поэтому для координат вектора а — Ь получаются следующие значения: а) (3;2); б) (6;0); в) ( — 1;9); г) ( — 7; — 2). Ответ. а) (3;2); б) (6;О); в) ( — 1;9); г) ( — 7; — 2). 924. Найдите координаты векторов 2 а", За, — а, — За, если а, (3;2). Решение. При умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число, поэтому для искомых координат векторов получаются следующие значения: 2 а (6;4); 3 а (9;6); — а ( — 3; — 2); — За ( — 9; — 6). Ответ. (6; 4), (9; 6), ( — 3; — 2), ( — 9; — 6). 921. Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию; а) х 1 + уд =5з — 2);б) — 31 +уд =хт +73;в) х1+у) = — 41,г)х1+уд = О.
Решение. а) Коэффициенты разложения данного вектора по координатным векторам 1 и з' определяются единственным образом, поэтому из равенства х 1 + у 1 = 5 г — 2 7 следует, что х = 5, у = — 2. Аналогично получаем: б) х = — 3, у = 7; в) х = — 4, у = 0; г) х = О, у=О.
Ответ. а) 5 и — 2; б) — 3 и 7; в) — 4 и 0; г) 0 и О. 1О йк й Мемед координаги 925. Даны векторы а (2, 4), Ь ( — 2, О), с (О, О), д (-2, -3), с (2, -3), 7 (О;5). Найдите координаты векторов, противоположных данным. Р е ш е н и е. Так как — р = (-1) р, то для координат векторов, противоположных данным, получаются следующие значения: — а (-2; -4), — 6 (2;0), — с (О;0), — д (2;3), — е ( — 2;3), — 7'(О; -5). Ответ. ( — 2; — 4), (2; О), (О; 0), (2; 3), ( — 2; 3), (О; — 5). 926. Найдите координаты вектора и, если; а) ~и = — 3 а — 3 Ь, а (2; — 5), 6( — 5:2); б) й = 2а — 36 44с, а(4,1), 6(1;2), с(2,?), в) и =За — 2Ь вЂ” — с, а( — 7; — 1), 6( — 1?), с(4; — 6) г) и = а — 6 — с, 2 а (7; -2), Ь (2; 5), с (-3, 3).
Решение. а) п(3 2 — 3( — 5);3( — 5) — 3 2), т. е. и(21; — 2!); б) о(2 4 — 3 1+4 22 1 — 3 2+4 7) т е. п(1324). Аналогично находим: в) и'( — 21; — 14); г) 17(8; — 10). Ответ. а) (21; — 21); б) (13; 24); в) ( — 21; — !4); г) (8; — !0). 927. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого.
Сформулируйте и докажите обратное утверждение. Решение: 1) Пусть векторы а'(х~.,ри) и Ь (хт,рз) коллинеарны. Если оба вектора нулевые, то их координаты равны нулю и мы считаем такие координаты пропорциональными. Пусть хотя бы один из векторов ненулевой, например, а ~ 0 . Докажем, что в этом случае координаты вектора 6 пропорциональны координатам вектора а, т.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
