atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ртбрб:ГРА . РУ)ббб) ~А. 946. Найдите х, если: а) расстояние между точками А(2;3) и В(х; 1) равно 2; б) расстояние между точками ЛХ)( — 1; т) и ЛХА(2х; 3) равно 7. Р, )АВ=~Д* — 2) Р) 2) =2) у )В в квадрат, получаем: (х — 2)2+ 4 = 4, т. е. (х — 2)в = О, откуда х = 2. б) ЛХ) ЛХв = т)с(2х + 1)~ + (3 — х)~ =?. ВозводЯ в квадРат и пРиводЯ подобные члены, получаем квадратное уравнение 5ха — 2х — 39 = О. Решая его, находим: х) = 3, ха = — 2,6. Ответ, а) 2, б) 3 или — 2,6.
947. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты; а) А(0; 1), В(1; — 4), С(5; 2); б) А( — 4; 1), В( — 2; 4), С(0; 1). Решение, а) АВ = (1 — 0)з+( — 4 — 1)2 = тХ266, ВС = = ъ)42+6~ = ту)522, АС = туба+!в = тХ2б. Так как АВ = АС, то треугольник АВС равнобедренный, а так как ВСз = АВв+ АСз, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВС прямоугольный, а стороны АВ и АС' — его катеты. Следовательно, Влвс = — АВ АС = — ъ'26 ч)26 = 13.
1 1 2 2 б) АВ =- 2' 3-3 = тр, ВС =- '2 у) — 3) = 'тб. АС =- — ч)42 -)- 02 — 4, Так как АВ = ВС, то треугольник АВС вЂ” равнобедренный. Его медиана ВЛХ является также высотой, поэтому из прямоу р у * АВАР ° ° °: ВАУ .= 'АВ' А~б) АВ ( АС) 3. 2 Ялвс' =- — АС ВЛХ = — 4 3 =-6 1 1 2 2 Ответ. а) 13; б) 6. ф 2. Простейшие задачи в координатах 17 948.
На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек. а) А( — 3; 5) и В(6; 4); б) С(4; — 3) и ХЭ(8; 1). Решение. Пусть ЛХ вЂ” искомая точка. Так как она лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю. Ординату точки ЛХ обозначим буквой у. а) По условию АМ = ВМ, или АЛХз = ВЛХз, т.
е. 32 + (у — 5)" = (-6)з + (д — 4)з откуда находим: у =- — 9. Итак, ЛХ(0; — 9). б) По условию СЛХ = — 17ЛХ, или СЛХз = 17ЛХз, т. е. (-4)'+ (у+ 3)з = (-8)а+ (9-1)з, откуда находим: р = 5. Поэтому точка ЛХ имеет координаты (О; 5). Ответ. а) (О; — 9); б) (О; 5). 949. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек: а) А(1; 2) и В( — 3; 4); б) С(1; 1) и В(3; 5). Решение. Ордината искомой точки ЛХ равна нулю, а абсциссу точки Л1 обозначим буквой х.
а) По условию АМ = ВЛХ, нли АЛХ" = ВЛХз, т. е. (л — 1)з + ( — 2)з = (м+ 3)з -ь ( — 4)з, откуда находим: х =- — 2,5. Итак, ЛХ( — 2,5;О). б) По условию СЛХ = ВМ, или СЛХз = 1ЭЛХз, т. е. (т, — 1)а + ( — 1)а = (л — 3)~ + ( — 5)~, откуда находим: х = 8, и поэтому точка М имеет координаты (8; О). О т в е т. а) ( — 2,5; О); б) (8; О).
950. Докажите, что четырехугольник ЛХгУРСХ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) Л1(1;1), Л(6; 1), Р(7;4), Г2(2;4); б) М( — 5; 1), 1У( — 4, 4), Р( — 1; 5), ье( — 2; 2). Решен не. а) Найдем координаты векторов ЛХЛг и ЯР: Л1дг(5; О), ЯР(5;О). Так как координаты векторов ЛХХт' и ЯР соответственно равны, то ЛХЛг =- б1Р. Отсюда следует, что противоположные стороны Л1Лг и б)Р четырехугольника ЛХЛгРХьз равны и параллельны, поэтому этот четырехугольник — параллелограмм.
18 Гл. Г Метод координат Диагонали МР и Хб„) находим по формуле расстояния между двумя точками: 34~ =2))2-4)'4)4 — 4)' =3 '3, ВР = ф2 — б) 4-)4 — 4)' = 4. б) М)2'(1;3), ЯР(1; 3). Отсюда, как и в п. а), следует, что четырехугольник МЮРА — параллелограмм. ХЯ = 1(Г(-2+ 4)з + (2 — 4)з =- 2ьГ2. О т в е т. а) МР = 3ь) 5, Хь) = 5; б) МР = 4ъ'2, 12Я = 2~/2.
951. Докажите, что четырехугольник АВСР является прямоугольником, н найдите его площадь, если: а) А( — 3; — 1), В(1; — !), С(1; — 3), Р( — 3; — 3); б) А(4; 1), В(3; 5), С( — 1; 4), Р(0; О) . Решение. а) Найдем диагонали АС и ВР: АС =- = х4220, = х) 200. Итак, АС = ВР. Середина отрезка АС имеет координаты ( — 1; — 2), и такие же координаты имеет середина отрезка ВР. Таким образом, середины диагоналей АС и ВР совпадают, т. е.
диагонали четырехугольника АВСР пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, четырехугольник АВСР— параллелограмм, а так как его диагонали равны (АС = ВР), то он является прямоугольником. 2 АВ.ВАРА 43 =-4ВР— б 4) 2) —,2 Влнсг) = АВ ВС = 8, б) Имеем: АС = ВР— )I ) — 3) 4-) — 3) — 34 Примеиение мемода координат к решению задан 19 поэтому АС = Во.
Середины отрезков АС и ВВ имеют одинаковые координаты (1,5; 2,5) и, следовательно, совпадают. Отсюда, как и в п, а), следует, что четырехугольник АВС — прямоугольник. Так как АВ = фЗ вЂ” 4)э + (5 — 1)з = хг17, = т717, то Ялногз = АВ ВС = 17. Ответ. а) 8; б) 17.
Применение метода координат к решению задач 954. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника. Р е ш е н и е. Г1усть в треугольнике АВС: АС = ВС, АВ = 80 см, медиана СО равна 160 см.
Введем прямоугольную систему координат Оюу так, как показано на рисунке 7. Тогда вершины А, В, С имеют следующие координаты: А( — 40; О), В(40; О), С(0; 1б0). Обозначим середины сторон АС и ВС буквами ЛХ и зт' и найдем их координаты Рис. 7 по формулам координат середины отрезка: ЛХ( — 20;80), Лг(20; 80). После этого медианы АХ и ВЛХ находим по формуле расстояния между двумя точками: см .= 100 см, см — — 100 см. Ответ. 100 см, 100 см.
955. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см н 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей нз двух других сторон Решение. Пусть в треугольнике АВС высота ВО равна 10 см и точка О делит основание АС на отрезки АО = 4 см и ОС = 1О см. Введем прямоугольную систему координат Оку так, как показано 20 Гж Д Метод координат на рисунке 8. Тогда вершины А, В, С имеют следующие координаты: А( — 4; 0), В(0; 1О), С(10; О). Отсюда следует, что АВ = ту4з -1-!Ов см = ту!!б см, Во= фО -';( — 10) .
= 200 и, следовательно, АВ < ВС, Пусть точка Х1Х вЂ” середина стороны АВ. Ее координаты равны ( — 2; 5). Зная координаты точек С и Х1Х, находим искомую медиану СЛХ: см = 13 см. Ответ. !3 см. 966. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны Сформулируйте н докажите обратное утверждение. Решение.
1) Пусть АВСР— равнобедренная трапеция, у которой основания АХ! и ВС равны 2а, и 25, а высота равна й. Введем прямоугольную систему координат Оту так, как показано на рисунке Рк основание АР лежит на оси абсцисс, точка О является серединой основания АХ!. Тогда ось Оу делит основание ВС пополам (см.
задачу 820) и вершины трапеции имеют следующие координаты: А( — а;О), В! — б; и), С(б; й), !л(а;О). По формуле расстояния между двумя точками находим диагонали АС и ВХ1: Итак, АС = ВХд, что и требовалось доказать. Рис. 9 Рис. 8 Применение метода координат к решение задам 2! (с+ а)г + 6г = (Ь вЂ” а)г + 6г Отсюда получаем: (с+а) — (Ь вЂ” а)г = 0 илн, раскладывая на множители, (с — Ь + 2а) (с+ Ь) .= О.
Так как Ь ( с н а > О, то первый сомножитель положителен. Поэтому с + Ь = О, откуда следует, что Ь = -с. Используя теперь координаты точек А( — а; 0), В( — с; 6), С(с; 6), Р(а; О), найдем АВ и СР: АВ--~/( — .! Гл, СР— ф! — ! ел Итак, АВ = СР, т. е. трапеция АВСР равнобедренная, что и требовалось доказать. 957. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.
Решение. Пусть в параллелограмме АВСР диагонали равны: АС=ВР н пусть АР=ВС=а,. Введем прямоугольную систему координат Алр с началом в точке А так, как показано на рисунке 10. Тогда вершины параллелограмма имеют следующие координаты: А(0;0), В(Ь;с), С(б -!- а;с), Р(а;0), где Ь и с — некоторые числа. Из условия АС = ВР следует, что АСг = ВРг, т. е. л а; с) Рнс. !О (а + Ь) г + сг = (и — Ь)г + сг.
2) Докажем обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то трапеция -- равнобедренная. Г!усть в трапеции АВСР с основаниями АР и ВС диагонали равны: АС = ВР, и пусть АР =- 2а. Введем прямоугольную систему координат Охд так, как показано на рисунке 9: основание АР лежит на осн абсцисс, точка О является серединой основания АР. Тогда вершины А и Р имеют координаты: А(-осО), Р(а;0), а вершины В и С вЂ” координаты: В(б;6), С(с;6), где Ь и с — некоторые числа, причем б < с, а 6 — высота трапеции.
По условию АС =- ВР, или АСг = ВРг, т. е. Гж Г Мелгод координаж 22 958. Дан прямоугольник АВСР. Докажите, что для произвольной точки ЛХ плоскости справедливо равенство АЛХ" -~- СЛХг = 15ЛХг л- ХХЛХ~. Р е ш е н и е. Г!усть в прямоугольнике АВСР: АР = а, АВ = Ь. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке 11. Тогда вершины прямоугольника имеют следующие координаты: Рис.
1! А(0; 0), В(0; б), С(а; Ь), Р(а; 0). Пусть ЛХГх; у) — произвольная точка плоскости. Тогда АЛХг =хг+уг, ВЛХ =хг+(у — Ь), СЛХ = (х — а)г + 1у — Ь)г, РЛХг — -- (х — а) + уг. Отсюда получаем: АЛХг, СЛХг = хг+ уг+?х „)г+?у Ь)г ВЛХ + РЛХ = хг + уг + Гх — а)г + Гу — Ь)~. Таким образом, АЛХг 4 СЛХг = ВЛХг + РЛХг, что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
