atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 8
Текст из файла (страница 8)
тогда и только тогда, когда середины диагоналей АС и ВР совпадают. ух! + хз у! + Уз Середина диагонали АС имеет координаты ) ' '," У'), а се- 2 ' 2 г хг + хз . уз + уз Л редина диагонали ВР координаты 1; У ' У ), поэтому сере- 2 ' 2 дины диагоналей АС и ВР совпадают тогда и только тогда, когда х!+Хз хз+хз у!+уз уз+ум Следовательно, четырехугольник АВСР является параллелограммом тогда и только тогда, когда х! + хз = хз + хти У! + Уз = Уд + Уз. 1257.
Даны две точки: А!х!, .у!) и В!хг,уз). Докажите, что координаты АС !х;у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении Л !т. е. — = Л), выража- ' СВ ются формулами х! + Лхз 1+Л АС Р е ш е н и е. Из равенства — ' = Л следует, что АС = ЛСВ. ВекСВ тор АС имеет координаты (х — хг!у — уг1, вектор СЕ) — координаты (хг — х; уз — гу), а вектор ЛС — координаты (Л(хз — х); Л(уз — гу)). Так как АС = ЛСВ, то соответствующие координаты векторов АС и ЛСВ равны, т, е. !в+Луг у = 1+Л х — т! =- Л(хг — х), у — у! =- Л(уз — У).
Из этих равенств получаем формулы х! + Лз:г у! е Луг ! ч-Л ' 14-Л 1256. Вершины четырехугольника АВСР имеют координаты А(х!! у!), В(хг,'Уз), С!хз1уз), Р1хз,уз) Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда 50 Гль Д Метод коордонат 1258. Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты ее вершин: Л!(х!! у!), Л!(хр., уз), Лз(х!, у!) . Решение.
Пусть точка М(:ем уч) — середина стороны АяАз, и пусть медианы треугольника А!АзАз пересекаются в точке С(х;у). Точка С делит медиану А!М в отношении 2: 1, т. е. ' = 2. КоорА!С динаты точки М находим по формулам координат середины отрезка: хз+х! х,! 2 у! + у,! 2 а координаты точки С, делящей отрезок А!М в отношении 2; 1, находим по формулам задачи 1185 (в этих формулах нужно положить Л = 2): хе -1- х! х!+2 '— 2 — ' х Чх Чх х— 1ф2 3 + ув + у! 2 У! + Уе + У! 1 + 2 3 /х!Ч ззтхз.у! гуя гуз) Ответ. ( лл =- !!!!!~хх! !!! ы !4 — 0!' Аа=!!з~-3! !!5 — О! =6. ВР 5 Таким образом, — = — , 'РС б' Координаты (х; у) точки Р находим по формулам задачи 1257.
По- 5 лагая в этих формулах х! = О, у! = 4, хз = 3, уз = О, Л = — ', получаем: 15 24 6' х'= —,у= —. 11' 11 1259. Вершины треугольника АВС имеют координаты А( — 3;О), В(0;4), С(3;О). Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите координаты точки Р.
Р е ш е н и е. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам тре- ВР ЛВ угольника (задача 535), поэтому Найдем АВ и АС по формуле расстояния между двумя точками: 5! Задачи повышенной трудности 1260. В треугольнике АВС: АС = = 9 см, ВС = !2 см. Медианы АМ и ВА' взаимно перпендикулярны. Найдите АВ. Решение. Введем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы медианы АМ и ВАг лежали на осях координат (рис.26). Пусть вершины А, В и С имеют координаты: А(х;0), В(0;у) и С(хОгу!). Так как точка Аг — середина отрезка АС, то абсцисса точ- хз-х~ ки Аг равна .
С другой стороны, абсцисса точки Аг равна О, х+х~ С(хб у,) т. е. ' = О. Отсюда получаем: Рис. 26 х~ =- х. Аналогично, используя точку М вЂ” середину отрезка ВС, находим: у~ = -у. Итак, точка С имеет координаты ( — х; -у). По условию АС = 9 см, ВС = 12 см, откуда следует, что АСз = = 81 смз, ВСз = 144 смз, т, е, (х+ х)з + (Π— у)~ = 81 ем~, !О+ х)з + (у+ у)з = 144 смз, или 4хз + уз = 8! смз, хз + 4уз = 144 смз. Складывая эти равенства, получаем 5(хз + уз) =- 225 смз, откуда та ш уз = 4о смз Н хз + уз = АВз (~~.
риш26), ~юхиму АВз = 45 ~зг~, АВ = = Зъ'5 см. Ответ. ЗчУ5 см. 1261. Найдите координаты центра тяжести системы трех масс ть тз и тз. сосредоточенных соответственно в точках А~(хну~), Аз(хи уз), -4з (хи уз). Р е ш е н и е. Из курса физики известно, что центр тяжести (точка А) системы двух масс т~ и тз, сосредоточенных в точках А~ и Аз, лежит на отрезке А!Аз, причем А!А пм = ААз тз, т. е. А~А чпз ААз т~ ' Гл. й Метод координат 52 Пусть координаты точки А равны (х;у). Так как точка А делит отрезок А!Аз в отношении =, то по формулам задачи 1257 находим: т! Пзз ! + Пг! х =- тг !+в тй! шг У! + ' Уз у = 14= т! х!т! ж хгтг гп! тт у!т! Ч- у пгг 7П! Ч- гйг Искомый центр тяжести трех масс т1, гпг, тз (обозначим его С) совпадает с центром тяжести двух масс; массы тз, помещенной в точку Аз, и массы (т! + тз), помещенной в точкУ А.
ПоэтомУ АзС гпз =. СА (т! + ш2), т. е. АзС ш! Ч- зпг СА тз Обозначим координаты точки С через (хо!ус). Используя координаты точек Аз и А и полагая Л = т! -~-тг , по формулам задачи 1257 7йз получаем: т! -! шз х!7п! Ь хггпг хз+ ш, т! + 7пг х!пн Ч- хгтг Ч- хзтз т! Ч-тз Ч-гпз хо Ш! + Пзг тз тп! -1 7й2 У!ш! 1;У2п72 тз пг! Ч- по уо У! ш! + Угтпг + Узгпз т!+ тг 1 Ч- тз пн + тг Ч- ш! (х!пг! + хгтг+ хзгпз У!7п! . У тг+ У27772) О т в е т.
т!+тг+тз ' т!+тг+тз АМ! + ВМ! ) АМ+ ВМ (см. рис.27, а). 1262. В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку ЛХ, для которой сумма ее расстояний от точек А и В имеет наименьшее значение: а) А(2; 3), В(4; — 5); б) А( — 2; 4), В(3; 1). Решение. а) Точки А(2;3) и В(4; — 5) лежат по разные стороны от оси абсцисс (рис. 27, а), поэтому искомой точкой ЛХ(т40) является точка пересечения отрезка АВ с осью абсцисс.
В самом деле, для любой другой точки ЛХ! оси абсцисс, согласно неравенству треугольника, имеем: АМ, + ВЛХ! > АВ, т. е. Задачи повышенной трудности 2+ 4Л По формулам задачи 1257 получаем: х = + 3 5 3 2 "4' 3 находим: Л =- —, х = — — — = 2-. Итак, искомая 5 Пусть = Л АЛХ 3 — 5Л 0 =- — . Отсюда !+Л 1263. Докажите, что: а) уравнение Ах+ Ву.1- С = О, где А и В не равны одновременно нулю, является уравнением прямой; б) уравнение хв — ху — 2 = = О не является уравнением окружности. Р е ш е н и е.
а) Пусть числа хо, уо удовлетворяют данному уравнению, т. е. Ахо+ Вуо + С = О. Так как А и В не равны одновременно Рис 27 точка ЛХ имеет координаты (2-;0). 3 4' б) Точки А( — 2;4) и В(3; 1) лежат по одну сторону от оси абсцисс (рис.27, б). Пусть точка В' симметрична точке В относительно оси Ох, т. е. ось Ох является серединным перпендикуляром к отрезку ВВ'.
Так как для любой точки ЛХ| оси абсцисс ВЛ4 = = В'ЛХ~ (см. рис.27, б), то АМ1 + ВЛХ~ = АЛХ1 + В'ЛХО и поэтому задача сводится к нахождению на оси абсцисс такой точки М, для которой сумма расстояний от точек А и В' имеет наименьшее значение. Поскольку точки А и В' лежат по разные стороны от оси абсцисс, искомой точкой ЛХ(х;0) является, как и в п.
а), точка пересечения отрезка АВ' с осью абсцисс. АМ Точка В' имеет координаты (3; — 1). Пусть, = Л, тогда по фор- МВ' — 2+ЗЛ 4 — Л мулам задачи !257 получаем: х = , 0 = , откуда Л = 4, 1 Л ' 1+Л' х = 2. Итак, искомая точка ЛХ имеет координаты (2; 0). О т в е т. а) (2-; 0); б) (2; 0). 3 54 Глп Г Метод координат нулю, то такая пара чисел существует.
Тогда С = — Ахо — Вуо и данное уравнение можно записать в виде А(х — хо) + В(у — уо) = О. Возьмем две точки: ЛХ~ (хо — А; уо — В) и ЛХз (хо + А; уо + В) и составим уравнение серединного перпендикуляра к отрезку ЛХ~ЛХш Точка ЛХ(х;у) лежит на этом серединном перпендикуляре тогда и только тогда, когда ЛХ1М = МвЛХ, или М1ЛХХв = ЛХзЛХ . Записывая это равенство в координатах, получаем уравнение серединного перпендикуляра к отрезку М~ЛХя.' (х — хо + А)~ + (у — у + В)э = (х — хо — А) + (у — уо — В)~. Если в этом уравнении раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть и разделить на 4, то получим уравнение (1).
Итак, уравнение (!) является уравнением серединного перпендикуляра к отрезку ЛХ~ЛХш Тем самым доказано, что исходное уравнение Ах + Ву + С = О является уравнением прямой. б) Уравнение любой окружности можно записать в виде (х — то) + (у — уо) = г, или х~ — 2хох+ у~ — 2уоу 1 хо+ уо — г~ = О Таким образом, уравнение любой окружности не содержит слагаемого кху, где Й вЂ” не равное нулю число, а в данном уравнении такое слагаемое есть: -ху. Следовательно, данное уравнение не является уравнением окружности. 1264.
Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (х — 1)з + (у — 2)в = 4 и х'+ уз = 1, и вычислите длину их общей хорды. Р е ш е н и е. Координаты (х; у) точки пересечения двух окружностей удовлетворяют каждому нз данных уравнений, поэтому для нахождения точек пересечения нужно решить систему уравнений: < (х — 1)з + (у — 2)з = 4, ха+уз = 1, Вычитая из первого уравнения второе, получаем — 2х — 4у+2 = О, откуда (2) х = — 2у+ 1. Подставив это выражение во второе уравнение системы (1), приходим к квадратному уравнению 5у~ — 4у = О, Задачи повышенной трудности 55 4ъ'5 5 М,ЛХ; = Ответ. (1;0), ( — —; — ), 3 4ч 4чгб 5' 5)' 5 1265. Даны три точки А, В, С н три числа о,,д, т Найдите множество всех точек ЛХ, для каждой из которых сумма оАЛХз + 3ВЛХа + УСМз имеет постоянное значение, если: а) о + 3+ т ф О; б) о+ 3 Ч т = О.
Решение. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на оси абсцисс. Тогда данные точки имеют координаты: А(0;0), В(о; 0), С(6;с), где а, 6, с — какие- то числа. Пусть ЛХ(х; у) — произвольная точка. Тогда АЛХ =х +у, ВМа =- (х — а)а+ у~, СМ' = (: — 6)'+ (у —:)'. Записав в координатах условие оАЛ1з+ уВВЛХа+ "уСЛХ~ =- уч где й заданное число, получим уравнение искомого множества точек: о(х +у)+3((х--а) +у) бу((х — 6) +(у — с) )=пч (1) а) Если а, + 3+ у уУ О, то, раскрыв скобки и разделив на а+ Ху+ у, приведем уравнение (1) к виду (х — хо) + (У вЂ” Уо)' =- т, (2) где ,да+ у6 ус хо= ', Уо= а .,3+э' аэ,джт' т= + й — Ва — у(6 тс) (Ва+ у6) +ус о.ь 3+ т (о+ 3ч- у) Если т ) О, то уравнение (2) является уравнением окружности и, следовательно, искомое множество точек окружность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
