atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Тем самым мы доказали, что параллелограммы АВСР и А~В~С~Р~ можно совместить наложением, а значит, эти параллелограммы равны. 1294. Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые стороны одной трапеции соответственно равны основаниям н боковым сторонам другой. Решен не. Пусть АВСР и А~В~С~Р~ — данные трапеции, АВ и А~В~ — их ббльшие основания (рис. !08). Отложим на лучах АВ и А~В~ отрезки АЕ = РС и А~Е~ = Р,С,. В четырехугольнике АРСЕ противоположные стороны АЕ и РС равны и параллельны, поэтому этот четырехугольник — параллелограмм, Следовательно, ЕС =- АР. По аналогичной причине Е~С~ = А~Рь Таким образом, треугольники ВСЕ и В~ С~В~ равны по третьему признаку Р, с, равенства треугольников, а значит, существует такое движение, при котором точки В, С и Е отображаются в точки Вы С~ и Е~ (см.
задачу 1!56). При этом движении прямая АВ отображается на прямую А~Вы точка А — в точку Аы параллелограмм АРСŠ— на параллелограмм А~Р~С~Еы а следовательно, вершина Р— в вершину Рь Итак, при рассматриваемом движении трапеция АВСР отображается на трапецию А~В~С~Рп Но по теореме п.115 лю- А Е л бое движение является наложением. Тем самым мы доказали, что трапеции АВСР и А~В!С~Р~ можно совместить наложением, а значит, эти трапеции равны. Рнс 108 1295. Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им у~лов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.
Решение, Пусть АВС и А~В~С~ — данные треугольники, АВ = = А~Вы АС = А~Си л'. — л'.С = ~В~ — л'С~ > О, АН и А~Н~ высоты данных треугольников, Р и Р~ — точки, симметричные С и С~ относительно прямых АН и А~Н~ (рис. 109). Треугольники АВР и А!В~Р~ равны по первому признаку равенства треугольников: АВ = 155 Задачи повышенной врудности Рис. 109 = А~В~ по условию, ЛР = ЛС = А~С~ = А~Рн з'.ВАР = з'.АВС— — ЕР .= л — х'С = ~В~ — х'С~ = ~В~А~Ры Следовательно, л'Р = = ЕРы Но ~Р = з'С, ~Р~ = ЛСы Таким образом, у данных треугольников з.'С = з'.Сы поэтому лВ = ~Вн а значит, н з'А = х'.Аы Тем самым данные треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.
1296. Вершины одного параллелограмма лежат, соответственно, на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают. Р е ш е н и е. Рассмотрим параллелограмм АВСР, вершины которого лежат на сторонах параллелограмма А~В~С~Р~ (рис. 110). Пусть О точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСР. При симметрии с центром О точка А отображается в точку С, а значит, прямая А~Р~ — на прямую, проходящую через точку С и параллельную прямой А~Ры т. е. на прямую В~Си Аналогично, прямая А~В~ отображается на прямую СгРы Следовательно, точка А~ отображается в точку пересечения прямых В~С~ и С~Ры т. е.
в точку Сы Это означает, что точка Π— середина диагонали А~Си или, что то же самое, точка пересечения диагоналей параллелограмма А~В~С~Рп 1297. Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали, соответственно, на данных окружностях, а высота, проведенная иэ третьей вершины, лежала на данной прямой. Решение. Построим сначала окружность, симметричную одной из данных окружностей относительно данной прямой, и обозначим буквой А одну из точек пересечения этой окружности с другой данной окружностью (рис.!11). Затем построим точку В, симметричную точке С С~ в, л, Рис 111 Рис 110 !56 Гж 4. Движения А относительно данной прямой (она, очевидно, будет лежать на первой окружности). Наконец, отметим на данной прямой точку С, находящуюся на расстоянии АВ от точки А.
Треугольник АВС вЂ” искомый. 1298. На стороне угла АОВ, вершина которого недоступна, дана точка ЛХ. Постройте отрезок, равный отрезку ОЛП Решение. Пусть, например, точка ЛХ лежит на стороне ОВ (рис. 112). Построим сначала прямую, симметричную прямой ОА относительно точки ЛХ (для этого достаточно построить точки, симметричные каким-нибудь двум точкам прямой ОА, и провести через них прямую). Поскольку при симметрии с центром ЛХ прямая ОВ отображается на себя, то точка О отображается в точку С' пересечения построенной прямой с прямой ОВ.
Следовательно, отрезок МС искомый. 1299. Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок, концы которого лежат соответственно на данных окружностях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения данных окружностей. Ре шеи не. Г1усть ЛХ вЂ” одна из точек пересечения данных окружностей (рис. 113). Построим сначала окружность, симметричную одной из данных окружностей относительно точки М, и обозначим буквой А точку ее пересечения со второй из данных окружностей, отличную от ЛХ. Далее построим точку В, симметричную точке А относительно точки ЛХ (она, очевидно, будет лежать на первой окружности).
Отрезок АВ искомый. 1300. Постройте треугольник по трем медианам Решен не. Построим сначала треугольник АОО!, каждая из сто- 2 рон которого равна — соответствующей медианы (рис. 1 И). Затем через 3 середину ЛХ стороны ОО! проведем отрезок АЛХ и продолжим его за точку ЛХ на отрезок ЛХС, равный АЛХ. Наконец, продолжим отрезок О!О за точку О на отрезок ОВ, равный О!О. Треугольник АВС— искомый. В самом деле, поскольку точка М вЂ” середина отрезка АС, то от- 3 резок ВЛХ вЂ” медиана треугольника АВС, равная гООы т. е. равная 2 А Рис. 112 Рис !!3 !57 Задачи повышенной шрудности О Е С Рис.
!!5 Рис. 114 одной из данных медиан. Точка О делит медиану ВЛХ в отношении 2; 1, считая от вершины В, а значит, является точкой пересечения 2 медиан треугольника АВС. Отрезок АО равен — другой из данных 3 медиан, поэтому медиана треугольника АВС, проведенная из вершины А, равна этой данной медиане. Осталось заметить, что четырехугольник АОСО! параллелограмм, поскольку его диагонали АС и ОО! пересекаются в точке Л1 и делятся этой точкой пополам. Следовательно, ОС = АО!, а значит, медиана треугольника АВС, проведенная из вершины С, равна третьей из данных медиан. 1301. Постройте трапецию, стороны которой соответственно равны данным отрезкам Р е ш е н и е.
Построим сначала треугольник ВСЕ', стороны ВСи ВЕ которого равны данным боковым сторонам трапеции, а сторона СŠ— разности ее оснований (рис.!15). Затем построим отрезок АО, получаемый из отрезка ВЕ параллельным переносом на вектор, сонаправленный с вектором СЕ, длина которого равна меньшему из данных оснований. Четырехугольник АВСΠ— искомая трапеция. 1302. Даны две точки А и В и две пересекающиеся прямые с н д. Постройте параллелограмм АВСР так, чтобы вершины С и ТЭ лежали соответственно на прямых с н д.
Р е ш е н и е. Построим сначала прямую г!', получаемую из прямой г! параллельным В С переносом на вектор АВ (рис.!16), и обозначим буквой С точку пересечения этой прямой с прямой с. Затем отметим точку 7Э Р прямой д, которая при указанном пас Ы раллельном переносе отобразилась в точку С. Четырехугольник АВСР— искомый Рис. 116 параллелограмм. Гл. 4. Двиаеения 1303. Даны прямая, окружность и точка А, не лежащая на них. Постройте квадрат АВСВ так, чтобы вершина В лежала на данной прямой, а вершина О— на данной окружности. Р е ш е н и е.
Построим сначала окружность, на которую отображается данная окружность при повороте на 90' вокруг точки А, и обозначим буквой В одну из точек пересечения втой окружности с данной прямой (рис.117). Далее отметим точку О данной окружности, которая при указанном повороте отобразилась в точку В.
Наконец, Рис. 117 проведем через точки В и Р прямые, параллельные прямым А.0 и АВ, и обозначим точку их пересечения буквой С. Четырехугольник АВС.0 — искомый квадрат. Учебное издание АТАНАСЯН Левон Сергеевич БУТУЗОВ Валенагин Федорович КАДОМЦЕВ Сергей Борисович ЮДИНА Ирина Игоревна ГЕОМЕТРИЯ. 9 КЛАСС Редактор В.С. Аролович Оригинал-макет А.А4 Садовский Оформление перепдета: А.А.
Логунов ЛР №07!930 от 06 0799. Подписано в печать 30.12.04. Формат 60х90»»16 Бумага офсетная. Печать офсетная Уел, печ л 1О Уч -изд. л. !1,0. Заказ № Издательская фирма «Физико-лгатематическая литература» МАИК «Наукаг»Иитсрпериодика» 117997, Москва, ул. Профсоюз!»ая, 90 Ечпай !1ггпагбфгпайлп, !пз!за1е(йгпайлп; Ы1р Утчтчтч.!пз! гп Отпечатано с готовил диапозитивов в ОАО «Ивановская областная типография» 153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6 Ечпай 091-018®абгп!пе1.!напето.гп 15ВР! 5-9221-0574-4 9 785922 105743 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
