atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Следовательно добные друг другу. в) Имеем: А1А = А!А4 А!В = ВА4 = ОАл = !см. п. б). 8 г п тощадь которого равна шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника н его площадь б) Пусть Н вЂ” основание перпендикуляра, проведенного из точки О к прямой А!Ав !рис. 78). Так как отрезок А!Аг — диаметр окружности, то аНА!О = ААаАвАт = — АаАт = 15', и нз прямоугольного 2 треугольника А!НО находим: АвН = Лсоз15', где Л = ОА! — радиус описанной окружности. С другой стороны, радиус г окружности, вписанной в правильный двенадцатиугольник, также равен Лсов 15'. Осталось заметить, что отрезок ОН, будучи высотой равнобедренного треугольника ОА1Аь, является и его медианой. Следовательно, АвАв = = 2АвН = 2г.
!29 Дополнип»ельнь»е задачи ГЗб~гсмз Решение. Радиус круга равен»! = 6 см, поэтому сторона шестиугольника также равна 6 см. Следовательно, площадь шестиугольника равна — (6 см)з . 6 = 54ъ'3 смз. 4 Ответ. 6 см, 54х»3 смз. Аз В»Сз = В»Аз+ АэСз = = (Л х» 2 — Л) ъ' 2 = Л( 2 — хг 2 ), В1 Сз =- ВзС» =- ВзС~ = В»Сз. Итак, все стороны восьмиугольника равны.
Далее, все углы восьмиугольника равны !35', поскольку смежные с ними углы равны 45'. Таким образом, восьмиугольник В~СзВзС»Взѻ»Сз — правильный. Поскольку этот восьмиугольник представляет собой квадрат, из которого вырезаны четыре треугольника, то его площадь равна А~А~~ — 4 — А~В~~ = (Лч2)~ — 2(Лч»2 — Л)~ = = 2Лз — 4Л'+ 4Л Л' — 2Л' = 4Л'( г2 — !). Ответ. 4Лз(хг2 — !). З Л.С.
Атанесян и др. 1136. Квадрат Л~ЛзА»Л» вписан Аз в окружность радиуса Л (рнс. 320 учебника). На его сторонах отмечены во- Сз семь точек так, что Л~ В, = ЛзВ» = = АзВз = Л»В» = А~С| = А Сз = А»С» = = А»Сч = Л Докажите, что восьми- ф; угольник В1 С»Вэѻ»С1 В»С правильный, и выразите площадь этого восьми- угольника через радиус Л. Р е ш е н и е. Поскольку сторона С, з квадрата равна Лъ'2 (рис.
80), то В» Аз = Л ъ' 2 — Л, А» Сэ = Л ъ' 2 — Л, Рис. 80 СзВ» = АзСз — В!Аа = Л вЂ” (Лъ'2— — Л) = Л!2 — э»2), СзВ» = СзВз = С»Вз = ѻ». Из прямоугольного треугольника В»АзСз находим: Гл. 3. Длина окруаеносгли и плоа~адь круга 130 искомая высота 6700 км — 6370 км = 330 км. Ответ. 330 км. В С 1138. Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны О 6 см и 8 см; б) сторона ромба равна а и острый угол равен а. Р е ш е н и е. Пусть О точка пересечения диагоналей АС и ВР ром- Н В ба АВСР, ОН = — г — радиус вписанной в ромб окружности (рис. 81). Рис. 81 а) В треугольнике АОР АО = 90', АО =- 4 см, РО =.
3 см, следовательно, АР = 5 см. Так как АО ОВ = г АР (эта величина равна удвоенной площади треугольника АОР), то А АО ОВ 4 3 12 г 1В 5 см 5 см 12 и длина окружности, вписанной в ромб АВСВ, равна 2х — см = 5 24 = — я см = 15,1 см. 5 б) Площадь ромба равна аз шпгл — — 2аг, откуда г — "- — а вшсг и длина 1 2 вписанной в ромб окружности равна хазшст. Ответ, а) = 15,1 см; б) паз(псл.
1139. Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти участок по опушке. идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить на 45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру. Найдите длину опушки данного участка. Р е ш е н и е. Пусть Р— диаметр лесного участка (в километрах). яВ Время, затраченное на обход участка по опуп|ке леса, рзвно — ч; 4 В время, затраченное на путь по диаметру, равно — ч. По условию 4 яВ В 3 — ч — — ч= — ч, 4 4 4 1 137. За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космический корабль проделал путь в 84 !52 км.
На какой высоте над поверхностью Земли находился корабль, если радиус Земли равен 6370 км? 84 152 км Решен не. Радиус орбиты равен =- 6700 км. Поэтому 4я !3! Дополнищельньте задачи 3 откуда Р(н — 1) = 3 км, или Р = км. Следовательно, длина тг — 1 опушки равна Зтт ~гР= — . км=4,4 км. (тг — 1) О т в е т. = 4,4 км. 1140. В правильный многоугольник вписана окружность.
Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника. Решение. Пусть г — радиус круга, Р— периметр многоугольника. Отношение площади круга к плошади многоугольника равно тг 2п т ! Р '2 1141. Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, опирающимися на общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, а для другой — вписанного правильного шестиугольника.
Найдите периметр фигуры. Решение. Радиус окружности, для которой данная хорда явля- 6 ется стороной квадрата (рис.82), равен см. Следовательно, длина ъ'2 ее большей дуги, стягиваемой этой хордой, равна 3 2п 6 9п 9пъ'2 — см = —,— см =- 2 см Радиус второй окружности равен 6 см, а длина ее большей дуги, стягиваемой данной хордой, равна 5 6 — 2п 6 см = 10тг см. Рис. 82 Таким образом, периметр фигуры равен 9пъ'2 см + 1Оп см = — (9ът2 + 20) см. тг Ответ. —,(9хт2 + 20) см. 2 Гл. 3.
Длина окружносгпи и пло44!адь круга !32 1 142. Основания трапеции, около которой можно описать окружность, равны 4 см и 14 см, одна из боковых сторон равна 13 см Найдите длину этой окружности. Р е ш е н и е. Пусть в трапеции АВСР (АР ~ ВС) АР .= 14 см, ВС = 4 см, АВ = = 13 см (рис.83), проведены диагональ АС и высота СР. Так как по условию около данной трапеции можно описать окружность, то трапеция АВСР— равнобедренная (задача 710), поэтому Рис. 83 ГР =- =. 5 см и АГ = 14 см — 5 см = 9 см. АР— ВС 2 Из прямоугольных треугольников СРР и АСР находим: СК = 92СР Рг =- 9499 24 = 42 АС=-РАК 4С9 =, 944 Я4 = 49 Для нахождения радиуса Л окружности, описанной около трапеции АВСР, воспользуемся тем, что эта окружность описана около треугольника АСР (см.
рис.83). Площадь Я треугольника АСР равна ! — АС АР а)пл'САР. Но а)паСАР = ' (см. задачу 1033), поэтому СВ АС АВ СВ 1 о = ' ' . О другой стороны, Я = — АР. СР. Таким образом, 1 АС АВ С — АР СЕ = — — '- — — — —, отсюда 2 4В. АС СВ 15 13 65 2СР 2 12 8 65п и длина описанной окружности равна — см. 4 65.2 Ответ. см. 1143. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разделяет его на два подобных треугольника (задача 2, и. 63 учебника).
Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников. Решение. Пусть Р— периметр одного из треугольников, г— радиус вписанной в него окружности. Тогда площадь В этого треуголь- 1 2Я ника равна -Рг, откуда г = †, а значит, длина С вписанной окруж- 2 Р' Доаолнительные задачи 4ггЯ ности равна ' . Периметр другого треугольника в й раз больше (й-- коэффициент подобия), а его плошадь — в й~ раз больше В.
Поэтому длина вписанной в него окружности равна 4М Я й 4яЯ йР Р 1144*. Постройте правильный восьыиугольиик, сторона которого равна данному о~резку. Р е ш е н и е. Пусть РО. — заданный отрезок. Требуется построить правильный восьмиугольник так, чтобы его сторона была равна данному отрезку РО (рис. 84, а).
Допустим, что задача решена и правильный восьмиугольник АВСРЕРБ1< — искомый (рис. 84, б). Опишем около него окружность с центром О и заметим, что треугольник АО — равнобедренный, его основание АВ равно РО, а угол АОВ равен 45'. Поэтому можно поступить так; сначала построить равнобедренный треугольник АОВ по основанию и углу, противолежащему основанию, а затем достроить его до восьмиугольника.
Построение. Построим угол с вершиной О, равный 45', и на сторонах этого угла от его вершины отложим произвольные, но равные между собой отрезки ОА~ и ОВь Получим треугольник ОА~Вы подобный искомому (рис. 84, в). Затем на луче А~В~ отложим отрезок А~Ва, равный данному отрезку РО,. Если точка Вз совпадает с точкой Вы то ЛА~ОВ~ искомый. В противном случае проведем через точку Вз прямую, параллельную ОАь Эта прямая пересечет луч ОВ~ в точке В.
Далее через точку В проведем прямую, параллельную А~Вы Она пересечет луч ОА~ в точке А. Четырехугольник А~ ВаВА — параллелограмм по построению, поэтому АВ = А~Ва = РО,, аО = 45' и треугольник АОВ— искомый. Рис 84 Гл. 3. Длина окружности и плоигадь круга Теперь построим правильный восьмиугольник. Для этого проведем окружность с центром О и радиусом ОА, и на этой окружности, не меняя раствора циркуля, равного отрезку АВ =- РЯ, отметим точки С, Х), Е, Р, С, К так, чтобы выполнялись равенства АВ =- ВС = СР = ВЕ =- ЕР = ЕС = СК .= КА.
Соединяя последовательно отмеченные точки, получим искомый правильный восьмиугольник. 1145*. Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей данных кругов Решение. Пусть х — радиус искомого круга, выразим его через радиусы г и Л данных кругов. По условию задачи .ггд + хЛ~ = ях~, или хз = г~ + Лз; отсюда следует, что х — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами г и Л,. Поэтому сначала построим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С так, чтобы АС = г, ВС = Л. Затем проведем окружность радиуса АВ.
Построенная окружность является границей искомого круга. 1146. Около данной окружности опишите. а) правильный треугольник; б) правильный шестиугольник Решение. а) Допустим, что задача решена, т. е. правильный треугольник АВС описан около данной окружности с центром О.
Пусть ЛХ, Х и Р— точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника АВС (рис.85). Так как в четырехугольнике АЛ10Р г'А = 60', БАЛХ = аР = 90', то аЛХОР = 120'. Аналогично, кЛХОХ = = 'РОХ = 120', поэтому схЛХХР— равносторонний. Отсюда следует способ построения треугольника АВС. Впишем в данную окружность правильный треугольник ЛХХ.
Затем через точки ЛХ, Х и Р проведем касательные к данной В окружности. Эти касательные, пересекаясь, образуют искомый треугольник АВС. б) Задача решается аналогично за- М У даче а. Впишем в данную окружность правильный шестиугольник ЛХХРОЛЯ, а затем через вершины этого шебо' стиугольника проведем касательные к данной окружности. Эти касательные, пересекаясь, образуют искомый Рис 85 шестиугольник. 135 Задачи повышенной трудности Рис. 86 1147. Около данной окружности опишите; а) правильный четырехугольник; б) правильный восьмиугольник Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
