atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 16
Текст из файла (страница 16)
этот ромб —. квадрат. !08 Гл. 3. Длина окружности и алаи)адь круга 1081. Найдите углы правильного п-угольника, если: а) п = 3; б) п = 5; в) п = 6, г) п = 10, д) и = 18. Р е ш е н и е. Сумма углов выпуклого и-угольника равна (а — 2) 180', а так как по условию многоугольник правильный, п — 2 то каждый его угол равен !80'. 'а а) ссз 180о 60а. 3 — 2 3 б) оз = — 180' = 108', 5 в) оз = — — — . 180' = 120', 6 — 2 6 г) ош = 180' = 144' !Π— 2 !О л) ош = !80' =- 160'. !8 — 2 18 От в ет.
а) 60', б) 108', в) 120', г) 144', д) 160'. 1082. Чему равна сумма внешних углов правильного п-угольннка, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу? Р е ш е н и е. Так как каждый угол правильного и-угольника равен и — 2 180' (см. задачу 1081), то внешний угол при каждой вершине а равен )0 и — 2 180л и п Поэтому искомая сумма равна 360'.
Ответ, 360'. 1088. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60', б) 90', в) 135', г) 150'о Ре ш е н не. Пусть и — число сторон правильного многоугольника. и--2 Каждый его угол вычисляется по формуле а„= !80' (см. задан чу !08!), поэтому: а) 60' = 180', откуда и = 3; п б) 90' = 180', откуда и. =- 4; в) 135' = 180', откуда и, = 8; и г) 150' .= 180', откуда п = 12. и — 2 От в ет. а) 3; б) 4; в) 8; г) 12.
109 р 1. Правильные многоугольники 1084. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60', б) 30', в) 90', г) 36', д) 18', е) 72"7 Р е ш е н и е. Так как правильный многоугольник вписанный, то каждая его сторона является хордой окружности. У правильного многоугольника все стороны равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги.
Так как вся дуга окружности содержит 360', то каждая из указанных 360' дуг равна о =, где и -- число сторон правильного многоугольника, п 360' откуда п = а) 360'; 60' = 6; б) 360': 30' = 12; в) 360'; 90' = 4; г) 360'; 36' =-. = 1О; д) 360'; 18' = 20; е) 360': 72' = 5. Ответ. а) 6; б) 12; в) 4; г) 1О; д) 20; е) 5. 1085. Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают Ре ш е н не. По теореме п.
106 учебника около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Следовательно, существует точка, равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, а потому серединные перпендикуляры ко всем сторонам этого многоугольника проходят через эту точку. А это означает, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника не могут быть параллельными, поэтому они либо пересекаются, либо совпадают. 1086. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.
Р еще н не. По теореме п. 107 учебника в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну, причем центр этой окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис всех углов данного многоугольника. Таким образом, биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности. Следовательно, прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, имеют общую точку и поэтому не могут быть параллельными, т. е. либо пересекаются, либо совпадают.
1087. На рисунке 311, а учебника изображен квадрат, вписанный в окружность радиуса г1. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а4 — сторона квадрата, Р— периметр квадрата, 8 — его площадь, г — радиус вписанной окружности). !!0 Гл. 3. Длина окружности и площадь круга Решение. 1) По условию ил = 6, Поскольку аз = Лъ'2, то б = = Л~2, Л .= 3~2; г .= Лсоз —. = Зь/2 сов45' =- 3; Р =- 6. 4 =- 24; !80' 4 Л = -Р г =- — 24 3 = 36.
1 1 2 2 2) По условию г =- 2, поэтому Л =, =- 2т72; аа = 2ъ 2 т72 =- соа 45' =4; Р=16; Я= — 16 2=16. 2 3) По условию Л = 4, поэтому а4 = 4т72; г = = 2т72; Р = 4чг2 2 = 16т72; Я = — 1бз72 2тГ2 = 32. 4) По условию Р = 28, поэтому ал = 7; Л = — = = 3,5 ъ'2; 7 7ъ2 ,72 2 с=35 тГ2 — =35;Я= — 28 35=49.
ъ~2, 1 2 ' ' 2 5) По условию Я = 16, но Я = — Р г, поэтому 32 = 2(ал) и ил = 4; ! 2 2 Л = — =- 2т72; г = 2, Р = 16. 4 ч'2 Ответ. !) Л=Зть2; г=З; Р=24; 5=36; 2) Л=2т72; ил = 4; Р = ! б; Я =- 16; 3) г = 2т72; ал = 4тг2; Р =- !бтг2; 8 = 32; 4) Л = 3,5~2; т = 3,5; ал = 7; Я = 49; 5) Л = 2т72; т = 2; и4 = 4; Р = 16, 1088. На рисунке 311, б учебника изображен правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса Л. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (аз — сторона треугольника, Р— периметр треугольника, Л вЂ” его площадь, г — радиус вписанной окружности).
Решение, !) По условию Л =. 3, поэтому аз = ЛтГЗ = Зт73; 1Л !5 Р 9 73 о ! 9 /3 !5 1 9ъ73 3 27ъгЗ 2 ' ' ' 2 ' 2 2 4 ф 1. Правильные многоугольники 2) По условию Я =- 10; поскольку о =- — Р. т., то 1О = — Р. г =- 1 1 2 ' 2 Зав и, Л ~ ),'З 40 !О'3 Р !ОЗ л = -2Д0,3; = -!До,з. 3 ' 3 3) По условию т' = 2, поэтому Л = 4; аа = 4утЗ; Р = 12у'3; Я = = 12этЗ. 5этз 5ттЗ 4) По условию аа = 5, поэтому Л =; г =; Р = 15; Я = 3 ' 6 25тт 3 4 5) По условию Р = 6, поэтому аа = 2; Л =; г = —; Я = тГЗ.
2ттз ттз 3 ' 3 Ответ. 1) г = 1,5; а — - ЗьтЗ; Р = 9ттЗ; Я =; 2) Л = 27ъ'3 4 = — тт10ъ'3. т = — ъ'10ъ'3 а =2 Р=6 3) Л=4 ав = 4 ьГЗ; Р = 12ътЗ; Я = 12эГЗ; 4) Л = —; т — —; Р = 15; Я =- 5ъ'3 5ъ 3 3 ' 6 25ъ 3 5) Л 2~ 3 ъ 3 2 о д 4 ' 3 ' 3 1089. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 13 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. Р е ш е н и е. По условию периметр Р правильного треугольника равен 18 см, поэтому его сторона равна 6 см и радиус описанной бттЗ окружности равен см = 2ътЗ см. Следовательно, сторона квадрата 3 равна 2ъз тт2 см = 2этб см. Ответ.
2тГ6 см. !12 Гл. 3. Длина окружносгаи и алои4адь круга 1090. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль? Ре ш е н не.
Пусть д — искомый диаметр. Из условия следует, что сторона правильного треугольника, вписанного в окружность диаметра г), равна 3 см, поэтому радиус этой окружности равен ьгЗ см, а значит, г1 =-2зУЗ см. Ответ. 2у'3 см. 1091. Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска. Р е ш е н и е. Так как поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной б см, то наибольший диаметр круглого стержня, который можно из него выточить, также равен 6 см (рис. 64).
Ответ. б см Рис. 64 1092. Около окружности описаны квадрат н правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см. Ре ш е н не. Пусть г — радиус окружности, около которой описаны квадрат и правильный шестиугольник. Тогда искомый периметр Р равен 8г. Из условия задачи следует, что сторона шестиугольника равна 8 см, поэтому в прямоугольном треугольнике АОВ (рис.бб) ОВ = г, АВ = 4 см, ОА =- 8 см, следовательно, г = 4тг'3 см и Р = 32тггЗ см. Ответ. 32тгЗ см.
1093. Около правильного треугольника описана окружность радиуса В. Докажите, что Л =- 2г, где г — радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение. Пусть около правильного треугольника АВС описана окружность с центром О, ОА = В, ОЛХ = т (рис.бб). Тогда г = Л гйп 30' = —, т. е. В = 2г. л 2' А Рис. 66 Рис 65 4 1. Правильные многоугольники !!3 о = — Р. г =- — 24 см 3 см = 36 см; 2 2 2 б) п=З,аз=8см,Л=-- — см= см,г.=- —,— см, 8 8х73 4хг3 ,ГЗ 3 ' 3 Я =- 12 см см =- !бхГЗ см; 4ъ'3 3 в) и = 6, г =, поэтому Л = бн3 см = аь, 77н 3 2 Я = — 36Л см 9 см = 162х73 сма; 2 г) и = 8, г = Лсов22,5', а = 2Лв)п22,5' = 2г1822,5' = 1Ох73 см х х !822,5', о = —.8 см 10ъ'3 см.1822,5' 5х73 = 2 =.
(6001822,5') смз = 248,52 ем~. Ответ. а) 36 смя; б) 1бхгЗ сма; в) 162ьгЗ смх; г) = 248,52 смх. 1095. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, верхнее основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь верхнего основания. Р е ш е н и е. Пусть г, В, ав — радиусы вписанной и описанной окружности и сторона шестигранной головки болта (рис.67). Из условия задачи следует, что г=1,5см:2=0,75 ем; Л=, = — см; г хг3 сов 30' 2 3 ае = Е= — см; 2 3 3 9 3 2 2 4 8 Рнс. 67 й 3 Ответ, смт. 1096.
Стороны правильного треугольника, квадрата н правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников. 1094. Найдите площадь Я правильного н-угольника, если: а) и = 4, 77 = З~'2 см; б) гь =. 3, Р = 24 см; в) и = 6, г .= й ем; г) н =- 8, г = 5~ 3 см. Решение. По формулам п. 108 учебника находим: а) и = 4, ал =- Лх72 = Зх72 см х72 = 6 см, г =. = 3 см, Зъ'2 хг2 Гл.
3. Длина окружности и площадь круга !14 Решение. Пусть а — сторона указанных многоугольников, Яз, Лл, Яа — площади соответственно правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника. Тогда а'"тГЗ з ба'"тг3 '3: 4: 6 '3. 4 4 Ответ. тгЗ; 4; бъ 3 . 1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников— вписанного в окружность и описанного около нее. Решение. Используя формулы п.108 учебника, получим: Я,о„= = — Л~ъ'3; ав = — Лъ'3 1ав — сторона правильного шестиугольника, 2 ' 3 описанного около окружности), Я„„=- 2ЛзттЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
