atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 15
Текст из файла (страница 15)
зА .яА зА 2 2 2 А 1+ соя А Отсюда следует, что соя — = А 26с соя— Итак, АА! = 6+с 1273. Выразите диагонали вписанного в окружность четырехугольника через его стороны. Решение. Пусть АВСР— данный вписанный четырехугольник, АВ = а, ВС = 6, СР = с, РА = с(, АС = т, ВР = у, л'.АВС = а (рис. 59). По теореме косинусов для треугольников АВС и АРС имеем: ха = аа -Ь Ьз — 2аЬ соя а, ха = са + с1з — 2сг! соя л' СРА. Рис. 59 !О! Задачи повышенной трудности Так как ССРА + сч = 180', то второе равенство запишется так: та = са + с1~ + 2сс~сов сч.
Отсюда получаем: х~сс) = а сс6 ч- 6~ос) — 2абсд сова, хааЬ = саиЬ+ дааЬ+ 2абсс). сова. Сложив эти равенства, находим х: Аналогично получаем О т в е т. где а, б, с и с! стороны четырехугольника. 1274. Докажите, что площадь четырехугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле где р — полупернметр, а а, 6, с, д — стороны четырехугольника. Р е ш е н и е. Пусть АВСР— вписанный четырехугольник, АВ = а, ВС =- Ь, СР— — с, РА =.
д, АС =. х, с'АВС вЂ” -- сс !см. рис. 59). Выразим сначала зшсс через а, 6, с, д. По теореме косинусов для треугольников АВС и АРС имеем: хз =. аз + Ьз — 2иб сов о, х~ = с + с1~ + 2сд сов о !см. решение задачи 1273). Приравняем эти равенства; а~ + б~ — 2а6 соз а =- сз + ас~ + 2сх) сов а, откуда а +6 — с — д а созо = — — — — — —. 2!аб+ сд) 102 Гл. 2. Соотношения между сторонама и углами треугольника Далее, Отсюда после преобразований получаем: 2 вшО— аЬ+ сс1 где р — полупериметр четырехугольника АВСР.
Очевидно, 1 . 1 В = Вгтлгзс+ Яалгто = — аЬьша+ — спзш(180' — сь) 2 2 = -(аЬ+ сд) яп о. 1 2 Подставив сюда значение явсь, будем иметь: 1275. Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника. Рещение. По условиям задачи данный треугольник АВС не является равнобедренным, поэтому центры О и ЛХ описанной и вписанной окружностей не совпадают и точки О, М ЛХ, В не лежат на одной прямой (рис. 60). Пусть А~ — середина стороны АС, ЛХ~ — точка касания вписанной окружности и прямой АС, ЛХ,Н а ВВ~ — высота треугольника.
Докажем сначала, что ОЛХ Х ЛХВ то~да Рис. 60 и только тогда, когда точка ЛХ~ — середина отрезка А~В~ (см. рнс.60). Для этого продолжим отрезок ВЛХ до пересечения с описанной окружностью в точке Р. Так как ВЛХ вЂ” биссектриса угла АВС, то Р -- середина дуги АС, поэтому РА1 д АС и А~ — точка отрезка О.Р.
Пусть ОЛХ Х ЛХВ, тогда в равнобедренном треугольнике ОВР отрезок ОЛХ вЂ” высота, поэтому и медиана, т. е. ВЛХ = — ЛХР. Отсюда следует, что А~ЛХ~ = ЛХ~Вы Обратно, если А~ЛХ~ =- ЛХ~Вы то РЛХ .= = ЛХВ, следовательно, ОЛХ вЂ” медиана равнобедренного треугольника ОВР, а значит, и высота этого треугольника, т. е. ОЛХ Х ЛХВ. Задачи повышенной г рудности 103 26 = а, + с.
Выразим длины отрезков А!ЛХ! и ЛХ!В! через а, Ь и с. Пусть ЛХв и ЛХз — точки касания вписанной окружности и сторон ВС и АВ. Тогда если АЛХ! = х, СЛХ! = у, ВЛХз = -, то щ+ у .= 6, у+ з = а, а+ + ю =- с. Отсюда находим щ и у: 6+с — а у = 2 ат6 — с у= поэтому А!ЛХ! = АЛХ! — АА! = 2 Далее, ВВ! — — а — В!С = с — (Ь вЂ” В!С), откуда ВС вЂ” а+6 —,. 2 3 з 26 Поэтому ЛХВ =ЛХС вЂ” ВС— 2 26 2Ь Допустим, что А!ЛХ! = ЛХ!В!, тогда = ( . Упростив 2 26 это равенство, приходим к равенству (1), поэтому стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Обратно, допустим, что 26 = а + с. Тогда ЛХ В вЂ” (а — с)(Ь вЂ” а — с) с и — А ЛХ '! ! 26 2 ! 1 ° 1276. В прямоугольной трапеции АВСР меньшее основание АР равно 3, а боковая сторона СР, не перпендикулярная к основаниям, равна б.
Точка Š— середина отрезка СР, угол СВЕ равен о. Найдите площадь трапеции АВСР Р е ш е н и е. По условиям задачи у данной трапеции АВСР: АР— меньшее основание, АР = 3, РЕ = ЕС = 3, с'.ЕВС = с! (рис. 61). Для того чтобы найти площадь В трапеции, достаточно определить ее сто- Таким образом, для решения задачи достаточно доказать утверждение: стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда точка ЛХ! — середина отрезка А!В!. Пусть а = ВС, Ь = СА, с = ВА.
Условие: а, 6, с образуют арифметическую прогрессию -- равносильно равенству 104 Гл. 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника роны ВС = а и АВ = 6, поскольку сторона АВ трапеции является также ее высотой. Проведем перпендикуляры ЕЕз и РР~ к прямой ВС. Так как РЕ = 1 6 = ЕС, то Р~Е~ = ЕтС и ЕЕ~ = -РР1 = —.
Из треугольника ВЕЕ~ 2 2' имеем: ЕЕз = ВЕ~ .'ьйсг. Но ВЕ! = ВР~ + Р1ЕыВР~ = З,Р~Е! = Р~С о,— 3 2 2 следовательно, -" = (3+ ' 3) таей, откуда 6 = (а+ 3) !до. Для нахождения а воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника РР~С: Зб = 6~+ (а — 3)~, или 62+ а — ба — 27 = О. (2) Решая совместно уравнения (!) и (2), получаем: 6 = — 12з1гтст. спасе,а = 12созз сг — 3.
В =- 6 = бсоз о 12ьчигл созо = 72вшст соз' ст. а+3 д е .,з 2 Ответ, 72з(псе совзо. 1277. В остроугольном треугольнике АВС сторона АВ больше стороны ВС, отрезки АМ и Сдг — высоты треугольника, точка Π— центр описанной окружности Угол АВС равен д, а площадь четырехугольника ХОЛ7В равна В.
Найдите сторону АС. Решение. По условию сзАВС вЂ” остроугольный треугольник, поэтому точка О не лежит на его сторонах (рис. б2). Проведем диаметр АА! и рассмотрим треугольник АСАы Так как л'.А! =- лВ = В, то АС =-2Л з(гт,д, где Л вЂ” радиус описанной окружности. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы выразить Л через,В и В. Площадь Я четырехугольника ЛгОЛТВ равна сумме площадей треугольников ОВЛХ и ОВХ. Выразим площади этих треугольников через Л и 1з. 105 Зада ш повышенной трудности ВМ Воовм = —, Ялово, так как треугольники ОВ111 и ОВС имеют ВС общую высоту. Но ВМ = АВ. сов В, Вгьовс = — Л Л.
яшЛВОС = -Л' яш2А = Л япАсояА. 1 2, 2 2 2 Отсюда следует, что АВсовд Вговм = — — ' — '- Л япАсояА. ВС АВ япС Так как †' = ' , то ВС яшА' Вповяг = Л я1п С сов Асов 1З. а . Аналогично находим площадь треугольника ОВДг: ВДг Вдовы = — Ваолв, АВ Воолв = Л~ ч1пС соя С Яаовм = ЛвсояСяпАсояЗ, Итак, В = Воовтм 4- Ягьовв = Л~ сояЯя1гтСсояА+ сояСяшА) = = Л~ соя,З яш(А + С) = Л~ соя 1З я1п(180' — 1З) = Л~ соя 3 яп 3. В Отсюда следует, что Л .= . По формуле 11) находим сояд яш1З ' АС: АС =. 2 " я1п1З вЂ” — 2~~3 В соя З я|п 1З О т в е т. 2 тггВ 18 В . А, В, Е, Рис. 62 Рис. 61 !06 Гл. 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 1278.
В треугольнике АВС проведены высота АН длиной 6, медиана АЛХ длиной 6 биссектриса Адь. Точка дч — середина отрезка ЛХН. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника АВС. Решение. На рисунке 63 изображены данный треугольник АВС, описанная окружность с нентром О и проведены высота АН = 6, биссектриса Адг и медиана АМ = 6 По условию ЛХЛХ = гУН. Докажем сначала, что АР = 2ОМ, где Р— точка пересечения высот треуголь- Р ника. Если ЛХ~ — середина стороны АВ, М то ХЛОЛХЛХ1 ХтРАС, так как их стороны соответственно параллельны. Учитывая, что АС = 2ЛХМ~ (МЛХ~ — средняя линия тре- 0 угольника АВС), получаем: АР =- 2ОЛХ.
Таким образом, задача сводится к нахождению отрезка ОМ. Пусть Š— точка пересечения прямой Рис. 63 Адг с описанной окружностью. ХхАНХ =- ХхЕЛХхт', так как ЛХК =- ХтН, л'ЛХЖЕ = — л'НхУА; следовательно, Адг = НЕ, т. е. в равнобедренном треугольнике АОЕ отрезок ОЛг медиана. Отсюда следует, что Оху Л АЕ. Легко видеть, что ЬЛХОЛ' ХхНЛгА (л'.ЛХЛгО = лНАЛ", так как их стороны взаимно перпендикулярны, лОЛХЛг = лАНК = 90'), следовательно, ОЛХ ЛХЛь ЛХЛГе ЛХЫе ~~ХХ вЂ” — ХХА, откуда ОМ= 6 46 По теореме Пифагора для треугольника АЛХН имеем: МНз+6' = Р Итак, ОЛХ =, позтому АР = Р— 6' ь'з — 6з 26 Р 6г О т в е т.
Глава 3 ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА ф 1. Правильные многоугольники 1078. Верно лн утверждение. а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте. Р е ш е н и е. а) Верно по определению. б) Неверно. Например, прямоугольник, отличный от квадрата, является выпуклым, но не является правильным.
Ответ. а) Да; б) нет. 1079. Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырехугольник с равными сторонамн является правильным? Ответ обоснуйте. Решение.
а) Это не так. Например, ромб, отличный от квадрата, не является правильным. б) Это верно, так как у такого треугольника все стороны равны и треугольник — выпуклый многоугольник. в) Это верно, так как равносторонний треугольник — выпуклый многоугольник, у которого стороны и углы равны. г) Это не так. Например, ромб, отличный от квадрата, правильным не является.
Ответ. а) Нет; б) да; в) да; г) нет. 1080. Докажите, что любой правильный четырехугольник является квадратом. Р е ш е н и е. По условию четырехугольник правильный, поэтому он выпуклый и все его стороны равны, т. е. этот четырехугольник ромб. Так как у правильного четырехугольника все углы равны, то каждый из углов этого ромба равен 90', т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
