atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следовательно, бвпьс. 5опнс — -Л М 2Л Л вЂ” 3 4. Ответ. 3: 4, 1098. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности Р е ш е н и е. По формуле (3) п. 108 учебника находим г = Л сон 60' = = — Л. 2 а) из = ЛуЗ = 2уЗ г, Р = бгьгЗ, Л = ЗтГЗ г', б) аз = ЛтГЗ, Р = ЗЛт/3, Я = зэьз Ле 4 Ответ. а) ЗтгЗ гз; б) ' Лз.
а Зъ/3 з 4 Р е ш е н и е. Пусть Π— центр, Л вЂ” радиус окружности, описанной около данного правильного восьмиугольника АП4з... Аа 1рис.68), Ь' — площадь четырехугольника АзАлАтАз. Так как АЗА7 = 2Л и А4Аа =- 2Л, то ЛАзАаАт — 'АзАлАт =-- 90', поэтому четырехугольник АзА4АтАа — прямоугольник. Его площадь можно вычислить по фор- 1 муле Я =- — АзАт А4Ав в)п о (зада- 2 ча 1059), где сь — угол между диагоналями АзАг и АлАа, равный 45'. лг Рис. 68 1099. Правильный восьмиугольник А~Аз ...
Аз вписан в окружность радиуса Л Докажите, что четырехугольник АзАи4г4а является прямоугольником, и выразите его площадь через о. 1!5 Э 2. Длина окружносоги и площадь круга Итак, В = — 4Ва з(п 45' = тг2 Лт. 2 Ответ. тг2 Лз. 1100. С помошью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильяый треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник. Решение. а) Сторона правильного шестиугольника, вписанного в данную окружность, равна радиусу этой окружности (формула 6, п.!08 учебника), поэтому задача решается аналогично задаче 1, п. 109.
б) Сначала впишем в данную окружность правильный шестиугольник А~Аз... Аз (см, п. а)). Треугольник А1АзЛз — искомый. в) Проведем два взаимно перпендикулярных диаметра А|Аз и АзА4 данной окружности. Четырехугольник Л1АаАзЛ» — искомый квадрат. г) Сначала впишем в данную окружность квадрат (см. п. в), а затем, воспользовавшись идеей задачи 2 п.109, построим искомый восьми- угольник. ф 2.
Длина окружности и площадь круга 1101. Перечертите таблицу и, используя формулу длины С окружности радиуса В, заполните пустые клетки таблицы Воспользуйтесь значением к=314. 82 18к 6,28 3 0,7 Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой для вычисления длины окружности С = 2кЛ (п. 110 учебника): !) так как Л = 4, то С = 2 т 4 = 25 12; 2) так как Л = 3, то С =. 2п . 3 = !8,84; 3) так как С =. 82, то Л = — ' = 13,06; С 27г с 4) таккакС=18л, тоВ= — '=9; 2т 5) так как В = 0,7, то С = 2я. 0,7 = 4,40; 6) так как С = 6 28, то Л = — ' = ' =- 1; С 6,28 2п 6,28 7) так как В =. 101,5, то С = 2х 101,5 =- 637,42; 8) так как В=2 —, тоС=2п 2 — =14,65; 1 ! 3' 3 9) так как С = 2н 2, то В =- — ' = — = 0,45. С йъ2 2п 6,28 О т в е т.
Слева направо: С = 25,12; С = 18,84; Л = 13,06; В = 9; С=4,40; Л= 1; С=637,42; С= 14,65; В=0,45. !16 Гл. 3. Длина окружности и площадь круга 1102. Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза: в) увеличить в й раз; г) уменьшить з к раз? Ре шеи не. Так как длина окружности равна С = 2пЛ, то: а) длина окружности увеличится в три раза; б) длина окружности уменьшится в два раза; в) длина окружности увеличится в й раз; г) длина окружности уменьшится в к раз. Ответ. а) Увеличится втрое; б) уменьшится вдвое; в) увеличится в й раз; г) уменьшится в й раз. 1103.
Как изменится радиус окружности, если длину окружности. а) увеличить в й раз; б) уменьшить з Ь раз? Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой для вычисления длины окружности С = 2кЛ. а) Радиус окружности увеличится в й раз; б) радиус окружности уменьшится в й раз. Ответ. а) Увеличится в й раз; б) уменьшится в й раз. 1104. Найдите длину окружности, описанной около; а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами а и Ь; в) равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь; г) прялюугольннка со стороной а н острым углом о между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 24лГЗ смг. Решение. Пусть Л вЂ” радиус окружности, описанной около данного многоугольника, С длина этой окружности. а) Л =- —, поэтому С = 2яЛ = а 2па 2ка~ 3 Л' д з (рис. 69, а). б) Л =, поэтому С = я~'а~ + Ьз (рис.
69, б). лгаа 4 Ьг 2 в) Пусть Ь вЂ” высота данного равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, а Я вЂ” его площадь (рис.69, в). Тогда Л =- — а — т?4Ь~ — аа =- — л?46~ — ао. 2 2 4 Рис. 69 Э" 2. Длина окружности и площадь круга 117 аЬ С другой стороны, В =- †. Следовательно, 4Л Л= иС= Ьз 2кЬ т74Ьз — а' э74Ьз — о' г) Пусть АЛСОС вЂ” данный прямоугольник, ЛАОВ = гл, АВ = = а !рис. 69, г).
В прямоугольном треугольнике АВС угол АСВ равен 2' —, АС =- 2Л, и поэтому 2Л= и С=- а ка а а з111— вш 2 2 д) Пусть Ь' =- 24кгЗ смз — площадь данного правильного шестиугольника. Так как площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса Л, можно вычислить по формуле; ЗЛ З 2 то 24т78 смз = ', отсюда ЗЛЯ З 2 Ля = 16 см", Л =- 4 см и С .= 8п см. Ответ. а); б) я~а' +Ь'; в) '; г),; д) 8я см. 2каь' 3 2яЬ т;а ъ' 4ЬЯ вЂ” аз зш 2 1105.
Найдите длину окружности, впнсаннои а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотеиузой с; в) в прямо- угольный треугольник с гипотенузой с н острым углом сй г) в равнобедренный треугольник с углом при основании о н высотой Ь, проведенной к основанию. Р е ш е н и е. Пусть г — радиус окружности, вписанной в данный многоугольник, С вЂ” ее длина. а а а) Очевидно, г = —, поэтому С = 2я — = па, 2 ' 2 б) Пусть окружность вписана в равнобедренный треугольник АВС, в котором аС = 90', а гипотенуза АВ = с !рис.70, а).
С одной стороны, площадь В этого треугольника равна половине произведения тг2, с" катетов, каждый из которых равен — с, т. е. В = —. С другой 2 ' ' ' 4' 1 с с с стороны, Я = -Рг =- — (1+ э'2)г, Таким образом, — = — (1+ кг2)г, 2 2 4 2 откуда г = — --- — и 2(! -Ь тГ2) С = = яс (тг2 — !). (! + ъ'2) !!8 Гл. 3. Длина окружноспьи и площадь круга в) Пусть окружность вписана в треугольник АВС, в котором г'С = 90', гипотенуза АВ = с, а г'.А = ст (рис. 70, б), тогда АС = = ссояа, ВС = сяйта, а значит, площадь Я этого треугольника равна ! 1 с(сйп о -Ь соя а+ 1) — сгя!носова. С другой стороны, о = — Р.г = — ' 2 2 2 г.
! з . с(я!по+ соя о+ 1) Таким образом, — сзя!пасоягг = ' г, откуда 2 2 сяшосояа и (я1по+ сова 4 !) С = ' ' = кс(я!по+ спесь — 1). 2пс сйп о соя о (я|пьт+ сояо+ !) г) Пусть окружность вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, в котором ЛА =- г'.С = сг, а высота ВР, проведенная 6 о к основанию, равна )ь (рис. 70, в). Тогда АР =., г =- АР.! !8о' 2 тйо 2кй !8— С= 2, тяп 2пп 18— Ответ. а) ка; б) лс(т72 — 1); в) кс(я!ног+ сова — !); г) !ко 1106. Тепловоз прошел 1413 м.
Найдите диаметр колеса тепловоза, если известно, что оно сделало 300 оборотов. Р е ш е н и е. Пусть С вЂ” длина окружности колеса тепловоза. По условию 300 С = 14!3 м, отсюда С = 4,71 м. Если д — диаметр колеса, то С = пг), поэтому ь( = 4,71 м: 3,14 = 1,5 м. Ответ. 1,5 м. и с Рис. 70 р 2. Длина окружносгаи и площадь круга !!9 ! 1107. Метр составляет приближенно земного экватора Най- 40 000 000 дите диаметр Земли в километрах, считая, что Земля имеет форму шара. Решение.
Пусть гг — диаметр Земли. Тогда д =- — ' = 4 !О м; 314 = 4.!О км; 3!4-12739 км. Ответ. = 12739 км. 1109. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее градусная мера равна: а) 30', б) 45', в) 60', г) 90' Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой п. 110 учебника для вычисле- кЛо ния дуги окружности 1 = а) ! = см = я см; б) 1 = см = 1,5я см; в) а 6 30 к 6 45 180 ' !80 х 6 60 гг 6 90 ем=2я.см; г)1= см=Зяем.
180 ' 180 Ответ. а) я см; б) 1,5я см; в) 2я см; г) Зя см. 1110. Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно 47,! мм. Диаметр колеса равен 450 мм. Сколько зубьев имеет колесо? Р е ш е н и е. Пусть и, — количество зубьев колеса, С вЂ” длина окружности колеса. Тогда и = С: 47,1 млз = 3,14 450 мм: 47,1 мм = =. 14130: 471 = 30. Ответ. 30, 1111. Шлифовальный камень, имеющий форму диска. находится в защитном кожухе (рис. 316 учебника).
Диаметр камня равен 58 см, дуга незащищенной его части равна 1!7'. Найдите длину дуги незащищенной части камня. Решение. Пусть ! — длина, сь — градусная мера дуги выреза незащищенной части шлифовального камня, а Л вЂ” радиус шлифовального камня (рис. 71). Тогда яЛо я 29 117 592 см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
