atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. равна площади данного кольца. б) Пусть Л вЂ” радиус данного полукруга. Построим отрезок длины 1 — Л вЂ” таким отрезком является, например, половина диагонали квадъ'2 1 рата со стороной Л. Окружность радиуса — Л вЂ” искомая, поскольку кГ2 площадь ограниченного ею круга в два раза меньше площади круга радиуса Л. в) Пусть Л радиус данного сектора. Построим сначала отрезок 1 а = — Л (например, радиус окружности, описанной около равно=,уз 1 стороннего треугольника со стороной Л), а затем отрезок б = — а ъГ2 (см. п. б). Окружность радиуса б искомая, поскольку площадь ограниченного ею круга в 6 раз меньше площади круга радиуса Л. Глава 4 ДВИЖЕНИЯ ф 1.
Понятие движения 1148. Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая, параллельная оси, отображается иа прямую, параллельную оси; б) прямая, перпендикулярная к оси, отображается иа себя. Решение. а) Прямая, параллельная оси, не имеет с осью общих точек. Следовательно, и та прямая, на которую она отображается, не имеет общих точек с осью, а значит, она параллельна оси. б) Пусть А произвольная точка данной прямой, не лежащая на оси. Эта точка отображается в такую точку Аы что прямая АА~ перпендикулярна к оси и, следовательно, совпадает с данной прямой.
Таким образом, каждая точка данной прямой (в том числе и точка пересечения данной прямой с осью) отображается в точку этой же прямой, а значит, вся прямая отображается на себя. 1 149. Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, ие проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую, б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается иа себя. Р е ш е н и е. а) Пусть Π— центр симметрии, А и В -- произвольные точки данной прямой (рис. 93).
Эти точки отображаются в такие точки А| и Вь что АО = ОА~ и ВО = А, .= ОВь Следовательно, четырехугольник АВ|А| — параллелограмм, а значит, прямые АВ и А|В~ параллельны. б) При центральной симметрии каждая точка отображается в точку прямой, проходящей через эту точку и центр А В симметрии. Поэтому каждая точка данной прямой отображается в точку этой Рис. 93 же прямой, а значит. вся прямая отображается на себя.
1151. Докажите, что при движении параллельные прямые отображаются на параллельные прямые. Ре ш е н и е. Докажем это утверждение методом от противного. Допустим, что данные параллельные прямые а и 6 отображаются на две 142 Гл. 4. Движения прямые а~ и Ьп имеющие общую точку ЛХ. Поскольку точка ЛХ лежит на прямой ап то в нее отображается некоторая точка прямой о. По аналогичной причине в точку ЛХ отображается некоторая точка прямой Ь. Следовательно, точка, которая отображается в точку ЛХ, является общей точкой прямых а и Ь.
Но это противоречит условию задачи: прямые а и Ь общих точек не имеют. Следовательно, прямые гм и Ь| также не имеют общих точек, а значит, эти прямые параллельны. 1152. Докажите, что при движении. а) параллелограмм отображается на параллелограмм, б) трапеция отображается на трапецию, в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отображается на прямоугольник, а квадрат— на квадрат. Решение.
а) Пусть Лм Вп С~ и Р~ — точки, в которые отображаются вершины параллелограмма АВСР при некотором движении. При движении каждый отрезок отображается на отрезок, поэтому параллелограмм АВСР отображается на четырехугольник А~В~С~Рм Поскольку прямые АВ и СР, а также прямые ВС и РА параллельны, то А~В~ ~ С~Р~ и В~С~ 'З Р~А~ (см. задачу 1151). Таким образом, в четырехугольнике А~В~С~Р~ противоположные стороны попарно параллельны, а значит, этот четырехугольник — параллелограмм. б) Пусть Ап Вп С~ и Р~ точки, в которые отображаются вершины трапеции АВСР с основаниями А.Р и ВС при некотором движении.
При движении каждый отрезок отображается на отрезок, поэтому трапеция АВСР отображается на четырехугольник А~В~С~Рп Поскольку прямые АР и ВС параллельны, то Л~Р~ 'з В~С~ (см. задачу 1151). Далее, прямые АВ и СР не параллельны, а значит, эти прямые имеют общую точку. Следовательно, и прямые А~В~ и С~Р~ имеют общую точку. Итак, в четырехугольнике А~В~С~Р~ стороны А~Р~ и В~С~ параллельны, а стороны А~В~ и С~Р~ не параллельны, поэтому этот четырехугольник трапеция. в) При движении ромб АВСР отображается на параллелограмм А~В~С~Р~ (см. п.
а), стороны которого равны сторонам этого ромба. Поэтому четырехугольник А~В~С~Р~ — ромб. г) При движении прямоугольник АВСР отображается на параллелограмм А~В~С~Р~ (см. п. а). Поскольку при этом каждый его угол отображается на равный ему угол (см. задачу 1150), то всс углы параллелограмма А~В~С~Р~ прямые, а значит, этот параллелограмм-- прямоугольник. Если четырехугольник АВСР является квадратом, т.
е, прямоугольником и ромбом одновременно, то прямоугольник А~В~С~Р~ является ромбом (см. и. в). Следовательно, в этом случае четырехугольник А~ В ~ С~ Р~ — квадрат. 1153. Докажите, что при движении окружность отображается на окружность того же радиуса. Решение. Пусть ЛХ вЂ” произвольная точка окружности радиуса Хг с центром О, М~ и О~ — точки, в которые при некотором движении 143 в д Понятие движения отображаются точки М и О.
Поскольку О~ЛХ2 = ОЛХ, то точка ЛХ2 лежит на окружности радиуса Л с центром Оь С другой стороны, в каждую точку окружности радиуса Л с центром О2 отображается некоторая точка плоскости, лежащая на расстоянии Л от точки О, т. е. лежащая на окружности радиуса Л с центром О. Таким образом, каждая точка данной окружности отображается в точку окружности радиуса Л с центром Оы и в каждую точку этой окружности отображается какая-то точка данной окружности. Но это и означает, что данная окружность отображается на окружность радиуса Л с пентром Оы т. е. на окружность того же радиуса.
1154. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая точка отображается на себя, является наложением Решение. Из определения движения следует, что отображение, указанное в условии задачи, является движением. Но по теореме п. 115 любое движение является наложением. Следовательно, это отображение наложение. РР ' 1157. Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные стороны и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны смежным сторонам и углу между ними другого параллелограмма. Решение. Пусть АВСР и А2В2С2Р2 — два параллелограмма, у которых АВ = А~Вы АР = А~Р~ и к'А = х'А2 (рис. 95). Треугольники АВР и А2В2Р~ равны по первому признаку равенства тре- 1155.
Даны произвольные треугольники АВС и А~В~Си Докажите, что существует не более одного движения, при котором точки А, В и С отображаются в точки Аь В~ и Сь Р е ш е н и е. Докажем это утверждение ме- м 2 тодом от противного. Допустим, что существует два движения, при которых точки А, В и С отображаются в точки Аы В~ и Сы Тогда на плоскости найдется хотя бы одна такая ! В1 точка ЛХ, которая при одном движении отображается в точку ЛХы а при другом в точку С, ЛХ2 (рис.94).
Из определения движения следует, что АЛХ = А2М~ и АЛХ = А2ЛХ2, поэтому ,4~ЛХ2 = А2М2. Таким образом, точка А2 равноудалена от концов отрезка ЛХ2ЛХ2, а значит, точка А2 лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ЛХ~ЛХ2. Аналогично доказывается, что точки В2 и С~ лежат на том же серединном Рис 94 перпендикуляре. Но это противоречит условию задачи: вершины треугольника А~В2С~ не лежат на одной прямой. Следовательно, движений, при которых точки А, В и С отображаются в точки Аы В2 и Сы не более одного.
144 Гл. 4. Движения угольников, поэтому ВР =- В~Рь Следовательно, существует такое движение, при котором точки А, В и Р отображаются в точки Аы В~ и Р~ (см. задачу 1156). При этом движении прямая ВС отображается на прямую, проходящую через точку В~ и параллельную прямой А~Р~ (см. задачу 1151), т. е. на прямую В~Си Аналогично прямая СР отображается на прямую С~Рь Поэтому при рассматриваемом движении параллелограмм АВСР отображается на параллелограмм А~В~С~Рь Но по теореме п. 115 любое движение является наложением. Тем самым мы доказали, что параллелограммы АВСР и А~В~С~Р~ можно совместить наложением, а значит, эти параллелограммы равны. Рис. 95 1168.
Даны две прямые а, н Ь. Постройте прямую, на которую отображается прямая Ь прн осевой симметрии с осью а. Р е ш е н и е. Отметим на прямой Ь какие-нибудь две точки А и В (рис.96). Построим сначала точку Аы симметричную точке А относительно прямой а. Для этого до- В, статочно провести перпендикуляр АН к прямой а и продолжить его за точку Н на отрезок НА~ = НА, Затем таким же способом построим точку Вы симметричную точке В относительно прямой а„Прямая А~В~ — искомая. В самом деле, искомая прямая должна проходить через точки А~ и Вю а через эти точки проходит только пряРнс.
96 мая А~Вы 1160. Даны точка О и прямая Ь. Постройте прямую, на которую отображается прямая Ь при центральной симметрии с центром О. Р е ш е н и е. Отметим на прямой Ь какие-нибудь две точки А и В (см. рис. 93). Построим сначала точку Аь симметричную точке А относительно точки О. Для этого достаточно провести отрезок АО 1159. Даны прямая а и четырехугольник АВСР. Постройте фигуру Р, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура 1г? Р е ш е н и е. Построим точки Аы Вы С~ и Ры симметричные точкам А, В, С и Р относительно прямой а (см. решение задачи 1!58), и проведем отрезки А~Вы В~Сы С~Р~ и Р~Аь Искомой фигурой Г является четырехугольник А~В~С~Рь О т в е т. Четырехугольник. 145 Э" 2 Параллельный перенос и поворот и продолжить его за точку О на отрезок ОА~ = ОЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
