atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Поскольку 1 отрезки ЕР и ЕР~ симметричны относительно прямой АВ, то ЕР = ЕРН Рис. 99 По аналогичной причине ГР =- ГРа. Следовательно, периметр треугольника РЕГ равен ВэГ + ГЕ + ЕРь Из неравенства треугольника следует, что Рзà —: ГЕ > РтЕ, причем знак равенства возможен только в том случае, когда точка Г лежит на отрезке РаЕ. По аналогичной причине РзЕ+ ЕР1 > РаРН причем знак равенства возможен только в том случае, когда точка Е лежит на отрезке РзРР Из полученных неравенств следует, что РаГ + ГЕ + ЕР1 > РаЕ + ЕР~ > Р2РН откуда РзГ + ГЕ+ ЕР~ > РаРН причем знак равенства возможен только в том случае, когда точки Е и Г лежат на отрезке РзРН Таким образом, сумма РзГ+ ГЕ+ ЕР1, равная периметру треугольника РЕГ, принимает наименьшее значение тогда, когда точки Е и Г являются точками пересечения прямой РзР~ со сторонами АВ и ВС данного угла.
1178. На сторонах АВ н СВ параллело~рамка АВСВ построены квадраты так, как показано иа рисунке 100 (рис.332 учебника). Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне .Ш. Р е ш е н и е. При параллельном переносе на вектор АР сторона АР параллело- о грамма отображается на его сторону РС. Поэтому квадрат, построенный на стороне АВ, отображается на квадрат, построенный Р С на стороне РС.
Следовательно, при указанном параллельном переносе центр 0~ первого квадрата переходит в центр Оз второго квадрата, а значит, 0~0а =- АР. Поскольку точки А, В и О~ не лежат на одной пря- о, мой (см. рис. 100), то из полученного равенства следует, что отрезки О~От и АР равны и параллельны. Рис 100 150 Гл. 4. Движения 1179'. На стороне ЛВ прямоугольника ЛВСР построен треугольник ЛВЯ, СС~ 3 АЯ, 00~ 'ь ВЯ (рис. 101, рис. 333 учебника). Используя параллельный перенос, докажите, что прямые ЯК и ЛВ взаимно перпендикулярны. Р е ш е н н е. При параллельном переносе на вектор ВС отрезок АВ отображается на отрезок РС, поэтому треугольник АВЯ отображается Е, на треугольник РСЯн где Я~ — точ- ка, на которую отображается точка Рис.
1О! Я. Поскольку прямые АЯ и РЯ1 параллельны, а прямые АЯ и СС~ взаимно перпендикулярны, то прямые РЯ~ и СС~ взаимно перпендикулярны. По аналогичной причине прямые СЯ~ и РР~ взаимно перпендикулярны, а значит, точка К является точкой пересечения высот треугольника РСЯы Из этого следует, что прямая Я~К перпендикулярна к прямой СР, а значит, параллельна прямой ВС. Прямая ЯЯ1 также параллельна прямой ВС.
Следовательно, точка Я| лежит на прямой ЯК, причем эта прямая параллельна прямой ВС, а значит, перпендикулярна к прямой АВ. 1 180. В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника АВС и А~В~Си причем вершины обозначены так, что направление обхода по дуге АВС от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге А~В~С~ от точки А~ к точке Сь Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые ААн ВВ~ и СС~ либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
Решение. Рассмотрим поворот вокруг точки О на угол 120', при котором вершина А треугольника АВС отображается на вершину В (рис.102). При этом повороте вершина В отображается в вершину в, Рис 102 15! Дополнительньщ задачи С, а вершина С вЂ” в вершину А. Кроме того, вершина А! отображается в вершину В!, а значит, прямая ЛА! отображается на прямую ВВс. По аналогичной причине прямая ВВ! отображается на прямую ССс, а прямая СС! — на прямую ААс. Если прямая ААс проходит через точку О (центр поворота), то и прямая ВВс, а значит, и прямая СС! проходят через точку О (рис.102, а).
Если же прямая ААс не проходит через точку О, то и прямая ВВ! не проходит через точку О. В этом случае прямые АА! и ВВс, пересекаясь, образуют угол в 60' (рис. 102, б), Аналогично, прямые ВВ! и ССс, а также прямые СС! и ААс, пересекаясь, образуют угол в 60'. Следовательно, прямые ЛАс, ВВс и СС!, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник. 1181. Даны две пересекающиеся прямые и точка О, не лежащая на них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку О так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой О пополам Ре ш е н и е.
Пусть а и Ь данные прямые, М вЂ” точка их пересечения (рис. 103). Построим сначала точку ЛХс, симметричную точке ЛХ относительно точки О. Затем проведем через точку Л(с прямые, параллельные прямым а и Ь до пересечения с прямыми Ь и а в точках В и А соответственно. Прямая АВ искомая. В самом деле, четырехугольник АМВМ! — параллелограмм, отрезки МЛХс и А — его диагонали. Поскольку точка 0 — середина диагонали МЛХс, то диагональ АВ проходит через точку О и делится этой точкой пополам.
1 182. Используя параллельный перенос, построй~с трапецию по ее основаниям и диагоналям. Р е ш е н и е. Допустим, что требуется построить трапецию АВСР с основаниями АР и ВС. Построим сначала отрезок АР, равный одному из данных оснований, и продолжим его за точку Р на отрезок РРы равный другому основанию (рис.104). Затем построим треугольник АСР!, стороны АС и СР! которого равны данным диагоналям.
Наконец, построим точку В, в которую отооражается Рис. !04 Рис. !03 152 Гл. 4. Движения точка С при параллельном переносе на вектор Р|Р. Четырехугольник АВСР— искомая трапепия. В самом деле, стороны АР и ВС этого четырехугольника параллельны и равны данным основаниям трапеции, отрезок АС равен одной из данных диагоналей. Диагональ ВР этого четырехугольника получается из отрезка СР~ параллельным переносом на вектор Р1Р. Поэтому ВР =.
СРы а значит, диагональ ВР равна второй из данных диагоналей. Задачи повышенной трудности 1291. Прн данном движении д точка Л отображается в точку В, а точка  — в точку Л. Докажите, что д — центральная симметрия нли осевая симметрия. Р е ш е н и е. Ясно, что и симметрия относительно середины отрезка АВ и симметрия относительно серединного перпендикуляра к этому отрезку обладают указанным в условии задачи свойством. Тем самым требуется доказать, что не существует никакого третьего движения д, обладающего этим свойством. Докажем это.
Пусть ЛХ вЂ” произвольная точка серединного перпендикуляра к отрезку АВ, не совпадающего с серединой О этого отрезка (рис. 105). При движении у точка ЛХ отображается в такую точку ЛХн что ЛХ1А = ЛХВ = ЛХА = ЛХ1В. Следовательно, точка ЛХ1 также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Прямоугольные треугольники АОЛХ и ВОЛХ~ равны по гипотенузе и катету, поэтому ОЛХ =- ОЛХь Представляются только две возможности: либо точки М н М1 лежат на разных лучах с началом Π— в этом случае точка О является серединой отрезка ЛХЛХ~ (рис.105, а); либо эти точки лежат на одном луче с началом О и, следовательно, совпадают (рис.!05, б).
В первом случае существует не более одного движения, при котором точки А, В и ЛХ отображаются, соответственно, в точки В, А и М~ (см. задачу 1155). Во втором случае также существует не более одного движения, при котором точки А, В Рис 105 Зада ш повышенной шрудности 153 с, в, Рис. 106 и М отображаются, соответственно, в точки В, А и ЛХ (это доказывается аналогично). Следовательно, движений, обладающих указанным в условии задачи свойством, не более двух, что и требовалось доказать. 1293.
Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого. Решение. Пусть АВСВ и А ~ В~ С~ В~ — данные параллелограммы, О и О~ — точки пересечения их диагоналей (рис. 107).
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то треугольники АОВ и А~О~В~ равны по первому признаку равенства треугольников, с, Рис. 107 1292. Даны два равных отрезка ЛВ и А~Вы Докажите, что существуют два н только два движения, прн которых точки А н В отображаются, соответственно, в точки Л~ и Вь Р е ш е н и е. Построим равнобедренный треугольник АВС с прямым углом А, проведем через точку А~ прямую, перпендикулярную к прямой А~Вы и отметим на ней точки С~ и Сз, для которых А~С~ = .= А~Се = АС (рис. 106). Поскольку при движении угол отображается на равный ему угол, то точка С отобразится либо в точку Сн либо в точку Сз.
Движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки соответственно Ан В~ и Сн существует, и притом только одно (см. задачу 1156). Аналогично, существует одно и только одно движение, при котором точки А, В и С отображаются в точки Ан В~ и Сз. Тем самым существуют два и только два движения, при которых точки А и В отображаются в точки соответственно А~ и В1. !54 Гл. 4. Движения а значит, АВ = А~Вы Следовательно, существует такое движение, при котором точки А, В и О отображаются в точки Аы В! и О~ (см. задачу 1156). При этом движении прямая ОА отображается на прямую О~Ам прямая ОВ на прямую О~Вы а значит, вершина С на вершину Сы а вершина Р— на вершину Ры Поэтому при рассматриваемом движении параллелограмм АВСР отображается на параллелограмм А~В~С~Рп Но по теореме и. 1!5 любое движение является наложением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
