atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 18
Текст из файла (страница 18)
!80 !80 Ответ. = 59,2 см. Рис. 71 1108. Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от Земли, а радиус Земли равен 6370 км. Р е ш е н и е, Пусть Л вЂ” радиус круговой орбиты искусственного спутника Земли, тогда Л = 6370 км -~- 320 км = 6690 км и С = = 42 013 км. О т в е т. = 42 013 к м. !20 Гл. 3. Длина окружноспьи и площадь круга 1112. Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет 38', а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 24 см. Решение. Пусть Л вЂ” длина маятника, ы — угол колебания маятника, а 1 — длина дуги, которую описывает маятник.
Тогда 1 = пЛо — †., откуда 180'' 180' .1 180 24 см по 3,14 38 1113. Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная мера дуги закругленияй Р е ш е н и е. Пусть Л вЂ” радиус, о — угол, а 1 длина дуги яЛО закругления пути железнодорожного полотна. Тогда 1 =,, откуда 180' ' 180 1 0,4 180 4а3У хЛ 5 3,14 1114.
Перечертите таблицу и, используя формулу для площади Я круга радиуса Л, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением к = 3,14. Решение. Л = пЛз, поэтому если: 1) Л=2, то о =4я=12,56; 2) Л =. 5, то Я =--25я =-78,5; 3) Я = 9, то Л =- ~( — ' = = 1,69; '1/ я у' 3,14 4) Л= —, то Л= — =0,26; 7' 49 5) 5=49тг, тоЛ= ь)г — =7; Г49л 6) Л = 54,3, то Я = я(54,3)в = 9258,26; 7) Л= чг3, то 5=9,42; 8) Я = 6 25, то Л = ~1 ' = 1,41.
Г6,25 г !2! ф 2. Длина окружности и площадь круга Ответ. Слева направо: Л = 12,56; В = 78,5; Л = 1,69; Я = 0,26; Л = 7; 5 = 9258 26; Я = 9 42; Л = 1,41. 1115. Как изменится плошадь круга, если его радиус а) увеличить в 6 раз; б) уменьшить в й раз' Ре шеи не. Так как площадь круга равна Я =- кЛз, то: а) площадь круга увеличится в 6г раз; б) площадь круга уменьшится в 6а раз. Ответ. а) увеличится в 6з раз; б) уменьшится в йл раз. 1116. Найдите плошадь круга, описанного около. а) прямоугольника со сторонами а и Ь, б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом оп в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой 6, проведенной к основанию. Решение. Пусть Л вЂ” радиус описанной окружности, а Я площадь круга. зуав ч- Ье к(а ж Ь ) а) Л =, поэтому Я = 2 4 б) Л =,, поэтому т =- яп о' 4в!и а в) Пусть Ь боковая сторона равнобедренного треугольника, тогда Л =- (см.
задачу 1104, в). Так как Ьа = 6~ + †, то Ь а з ь/46~ — ае (о. 446 ) 86 к(а 4-46 ) 646~ к(ае + Ьг) ьгае к(ав + 46е)э Ответ, а) ;б) в;в) 4 4яп а 646 1117. Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной оч б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом сн в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом ои противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с ббльшим основанием а и острым углом о. Р е ш е н и е.
Пусть г — радиус вписанной окружности, Я вЂ” площадь круга. а) г = (рис. 72, а), поэтому В = а~3 Зка ка 6 Зб 12 б) Пусть в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С катет ВС равен а, прилежащий к нему угол В равен сь (рис.72, б). !22 Гл. 3. Длина окружносяи и площадь круга в а. а !иа Тогда АС =- а!да, АВ = ', а значит, алис = .
С другой сов а 2 стороны, а олнс — — !вша + сова + 1) 7'. 2 сова аяпа Из этих выражений находим: г =- — — — — —.--, а значит, япа-Ь сова Ь ! з па вш" а (в!па Е сова+ 1) в) Пусть АР— высота равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС !рис. 72, в). Поскольку угол ВАР равен —, то ВС = 2' = 2О,ЯП вЂ”, ПОЭТОМУ ПЛОЩаДЬ алис =- РГ = а 1 1+ВШ вЂ” ) Г. С ДРУГОЙ 2' 2/ стороны, ВАнс = — а япа.
Из этих выражений для площади находим: 1 2 аяпа т=— и 2 (1 + яп — ) па яп а г 4 (1 -ь яп — ) С а В б Рис. 72 123 ф 2. Длина окружности и площадь круга г) Пусть Π— центр окружности, вписанной в данную трапецию АВСР грис. 72, г). Тогда с'ОАР = с'.ОРА — — —. Следовательно, тре- 2 угольник ОАР равнобедренный и его высота ОН является медианой. Из прямоугольного треугольника ОАН находим: ОН =- г =- — й 2 м2' поэтому 2 ха па 4 " 2 2 2 я Ответ ) ка б) Яа сап сх ) +соь + ) 4 (1+в1а — ) 2! г)— 4 2' 1118.
Диаметр основания царь-колокола, находящегося в Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания колокола. Решение. Пусть Р— диаметр, Н вЂ” площадь основания колокола. Тогда яР я 6,6 я 342 я 4 4 Ответ. = 34,2 ме, 1119. Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диаметр и площадь арены. Р е ш е н и е. Пусть С, Р и Я вЂ” соответственно длина окружности, диаметр и площадь цирковой арены, Тогда Р = — = = 13,06 м. С 41м я 3,14 лР т 13,06 ь 133 84 а 4 4 Ответ.
= 13,06 м; = 133,84 мв. 1120. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами Л~ и Лг, Л~ < Л.. Вычислите площадь кольца, если Л~ = 15 сьц Ль = 25 см. Решение. Пусть Я вЂ” площадь кольца. Тогда Я = аЛг ~— лЛ~~ — — л(Л~Я вЂ” Л~~) = л12,5 — 1,5~) см = 4п см~. Ответ. 4я сма. !24 Гл. 3. Длина окружности и алаи!адь круга 1121.
Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволоки, имеющей площадь сечения 3!4 ммз, чтобы она проходила сквозь отверстие диаметром 18,5 ммр Г314ммз Решение. Радиус проволоки равен з,! = 10 мм. Следовательно, с проволоки нужно снять слой толщиной Е = (10 — †. 18,5) мм = 0,75 мм. 1 2 О т в е т. 0,75 мм. 1122.
Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на 1 ме дорожки требуется 0,8 дмз песка? Р е ш е н и е. Пусть Я площадь дорожки вокруг клумбы, а х количество песка. Тогда Я = х(4 м)з — я(3 м)Я = 7я мз Поэтому х = (0,8 7я.) дмз = 5 бтг дмз -17 б дмз Ответ. = 17,6 дмз. 1123. Из круга радиуса г вырезан квадрат, вписанный в окружность, которая ограничивает круг.
Найдите плошадь оставшейся части круга. Р е ш е н и е. Площадь круга равна шгз, а площадь квадрата 2гз. Поэтому площадь оставшейся части круга равна хтз — 2гз = т~(х — 2). Ответ. тз(тг — 2). 1124. На мишени имеются четыре окружности с общим центром, радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите плошадь наименьшего круга, а также площадь каждого из трех колец мишени. Р е ш е н и е. Пусть  — площадь наименьшего круга, В|, Яз, В!в площади соответствующих колец мишени (рис.
73). Тогда В =-. ОАЯ = В! = пОВЯ вЂ” тгО.4з = Зтг; Яя =- яООЯ вЂ” тгОВз =- бх; Вз= О7де — ОС'=7 . Ответ. тг, Зя, 5х, 7х. 125 82. Длина окружности и площадь круга Рис. 74 Рис. 73 1125. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах. Решение. Пусть АВС вЂ” данный прямоугольный треугольник с прямым углом С, а Я, Я1 и Вг — площади полукругов, построенных на отрезках АВ, АС и ВС как на диаметрах (рис.
74). Тогда ! 7АВз~ кАВ .гАС яВСз 1 Вг = 2 (,2,) 8 ' 8 ' 8 Так как по теореме Пифагора АВз = АСз + ВС~, то В = Я~ + Яз. 1126. Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в 60'. Найдите площадь оставшейся части круга. Р е ш е н и е. Оставшаяся часть круга также является круговым сектором. Дуга этого сектора равна 300', поэтому его площадь равна п(10 см)г 300 з 360 Ответ. = 262 смг. 1127. Плошадь сектора с центральным углом 72' равна Яй Найдите радиус сектора. кВ 72 Решение. Пусть Л вЂ” радиус окружности. Тогда Я = 360 Я 58 откуда Вз = = — и 72п к Г5Я Ответ, ~( — ' !26 Гл. 3. Длина окружности и площадь круга 1128.
Сторона квадрата (рис. 3!7 учебника) равна а. Вычислите плошадь заштрихованной фигуры. Р е ш е н и е. Заштрихованная фигура представляет собой квадрат, из которого вырезаны четыре сектора (рис. 75). Поскольку из этих секторов а можно составить круг радиуса —, то площадь за- 2' штрихованной фигуры равна Рис 75 хи 4 — х з а и 4 4 4 — х Ответ, — а .
4 Дополнительные задачи 1129. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из внешних углов которого равен: а) 18'; б) 40', в) 72', г) 60'? Ре ш е н не. Пусть один из внешних углов правильного п-угольника равен сл. Так как сумма внешних углов правильного многоугольника 360' равна 360' (задача 1082), то псл = 360', откуда и = а) и = — = 20; б) п = — = 9; в) п = — = 5; г) и = — = 6.
360 360 360 360 !8 ' 40 ' 72 ' 60 От в ет. а) 20; б) 9; в) 5; г) 6. 1130. На стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата. Решение. Сторона квадрата, равная стороне правильного треугольника, в Л раз больше радиуса окружности (рис.76), описанной около этого треугольника, т, е, равна Зт73 дм. Радиус окружности, описанной около квадрата, в т72 раз меньше стороны этого квадрата, поэтому он равен З~/3 Зъ'6 дм =.
дм. Рис. 76 Зъ'6 Ответ. дм. !27 Дополнигпельные задачи 1 131. Найдите периметр правильного шестиугольника Л~Л ЛзЛчЛзЛь, если Л~Л4 = 2,24 см. Р е ш е н и е. Отрезок А!Ал — диаметр окружности, описанной около данного шестиугольника (рис. 77). Сторона шестиугольника равна радиусу этой окружности, т, е. равна 1,12 см. Следовательно, периметр шестиугольника равен А4 Рис. 77 6.
1,12 см = 6,72 см. Ответ, 6,72 см. 1132. Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности. Решение. а) Воспользовавшись формулами (4) и (5) п.108 учебника, получим; ЗЕЫЗ Зчт8 Зчуб 4Вч72 4ъ'2 б) Пусть г радиус вписанной окружности. Так как сторона данного треугольника равна 2тГЗ г (задача 1098, а), то его периметр равен бх73 г. Поскольку периметр квадрата равен 8г, то искомое отношение 3 З равно ) З,б ) З,ГЗ 1133. Диагонали А~Ля и ЛяЛд правильного двенаднатиугольника пересекаются в точке В (рис. 318 учебника) Докажите, что: а) треугольники Л~ЛеВ и ЛьЛяВ равносторонние; б) Л~ Ль = 2г, где ~ -- радиус вписанной в двенадпатиугольник окружности. Решение.
а) По свойству угла, вписанного в окружность, имеем: л'.А!АзАз =. 1 ! З60 — А!Аэ = — — 4 = 60', ААвА!Аь = 2 2 12 ! — АзАе = 60', поэтому треугольник 2 А!Ав — равносторонний (рис. 78). Аналогично доказывается, что треугольник ЛеАэВ также равносторонний. Аь Аы ш Рис. 78 128 Гл. 3. Длина окружности и площадь круга 1134. Диагонали А~Ав и АвАт правильного десятнугольника АвАв... Аю, вписанного в окружность радиуса Л, пересекаются в точке В !рис. 319 учебника).
Докажите, что: а) АвАт =- 2Л; б) А~АвВ и ВАвΠ— подобные равнобедренные треугольники; в) А~А» — А~Ав =- Л. Решение. а) Так как лАвОАт = АаАт = 5 = 180' 360' 10 — диаметр, следовательно, АзАт = 2Л. б) Поскольку отрезок АзАт — диаметр окружности 1см. п. а), то аАвАзВ = 1 2 — А!А! =- — . 4 = 72'. Да- 1 360' 2 10 лее, аАчОВ = АзАв = 72'. г'АзА!В = 1 — АвА4 = 36', а значит, '.АвВАа = 2 180' — 72' — 36' = 72'. Но углы АвВАз и ОВАв — вертикальные, поэтому г'.ОВАЛ = 72'. Таким образом, в каждом из треугольников А!ВАа и ОВАЛ два угла эти треугольники — равнобедренные и по- !рис. 79), то отрезок АзАт Аз А, Ав Рис. 79 равны 72'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
