atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 6
Текст из файла (страница 6)
6' а Следовательно, АЕ = —. 6' АЕ а АО Ь' Учитывая, что АО = а, ВО =- Ъ, получаем равенства — Отсюда следует, что прямоугольные треугольники ЕАО Дополнительные зада ш и АОВ подобны. Поэтому й1 = й2. Но Л1+ лЗ = 90' и, значит, й2+ йЗ = 90'. Следовательно, з 4 = 90', т. е.
прямая 1 перпендикулярна к стороне АВ. Ответ. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная к стороне ромба. Дополнительные задачи 988. Векторы а и Ь не коллинеариы. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы р и ~~ были коллинеарны: а) р = 2 а — б, =аехб;б) р=ха — 6, ~~=а+хЬ;в) р=аехЬ, д=а — 2Ь; г) р=2о+Ь,цо =хач-Ь Решение. а) Так как векторы и и Ь не коллинеарны, то р = = 2 а — Ь ф О, Поэтому, согласно лемме о коллинеарных векторах, — — ~ ' — г если р =- 2 а — б и д =- а + х 6 коллинеарны, то существует число Ьч такое, что 4' = йр, т. е. а -ь х 6 = Ц2 а' — 6), или "а'+ х 6 = =- 26 а — й 6. Отсюда следует гв силу единственности разложения любого вектора по двум данным неколлинеарным векторам), что 1 = =26, х= — Ь.
Из этой системы двух уравнений находим: ! х = 2 1 л — ь 1 — ' Итак, если х = — —, то г) = и — — 6 2' 2 векторы р и г1 коллинеарны. б) Если векторы р' = х а — 6 и д' = а ществует число Й, такое, что о = й р, т. е. ! — ь 1 = — р, т. е. при з: =-- 2 ' ' ' 2 + х б коллинеарны, то су- а+хб =й1хи' — Ь),или а+хЬ =йха — ЬЬ. Отсюда следует, что 1 = Ьх,х= — Е Исключая 6, приходим к уравнению ха = — 1. Ясно, что это равенство не выполняется ни при каком х, Поэтому не существует такого числа х, при котором векторы р = х а — Ь и д = и — х 6 коллинеарны. Аналогично п.
а) получаем, что: — — — > в) векторы р = а + х 6 и о = а — 2 6 коллинеарны при х = — 2, г) векторы р = 2 а + Ь и о = ха + Ь коллинеарны при х = 2. 1 От в ет. а) — —; б) решения нет; в) — 2; г) 2. 2' Гл. й Метод коордонат 989. Найдите координаты вектора р и его длину, если: а) р = 7 а — 3 6, а'(1; — 1), 6(5; — 2);б) р =4а — 26, а(6;3), Ь(5;4);в) р =5а, — 4Ь, а, —; —, 6(6; — 1); г) р =-3( — 2а — 46), о!1;5), Ь( — 1;1).
(5' 5) ' Решение. а) Используя правила нахождения координат суммьй разности векторов и произведения вектора на число, находим, что координаты вектора р равны (7 ! — 3 5;7( — 1) — 3( — 2)), т. е. ( — 8; — 1); в~ = вв:8)' В-вт =, вв. Аналогично п, а) получаем: б) р (14;4), ~ р ~ =- ху!42+ 4я = 2тг53; в) р",— 21;5), / р / = хвв( — 2!)~ ч-бз = ъ466; ,в р(в;-ввВ, ~в~ — вввв в. Вввя =вЕвв.
О т в е т. а) ( — 8; — 1) и тгбб; б) (!4; 4) и 2т753; в) (-21; 5) и хв 466; г) (6; — 18) и бх710. 990. Даны векторы а,(3;4), 6(6; — 8), с(1;5) а) Найдите координаты векторов р = а + Ь, вт = 6 ч- с, г = 2 а — 6 г с, е' = а — 6 — с . б) Найдите (а,, ) Ь(, (р, о) Решение. а) Используя правила нахождения координат суммы, разности векторов и произведения вектора на число, получаем: р (9; -4), в7 (7; -3), в.(1;21), е (-4;7). б) а ~ = т732 + 42 =. 5, в в — вВ -вв.
Р = вв'в В-вГ = ввв. ф = вгв' в  — вВ' = в вв. Ответ. а) (9; — 4), (7; — 3), (1; 2!), ( — 4; 7); б) 5, 1О, тг97, тг58. 991. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками М~ (ай О) и Мв(хв,О) оси абснисс вычисляется по формуле д = (а~ — х~). Решение. По формуле расстояния между двумя точками получаем: 992. Докажите, что треугольник АВС, вершины которого имеют координаты А(4; 8), В(12; 11), С(7;0), является равнобедренным, но не равносторонним. 37 Дополнительные зада ш Р е ш е н и е. По формуле расстояния между двумя точками находим: |е=ао — ч ~(Π— ь) = '73, = — ту)46.
ВС =- Таким образом, АВ = АС ф ВС, т, е. треугольник АВС вЂ” равнобедренный, но не равносторонний. 993. Докажите, что углы А н С треугольника АВС равны, если А(-5; 6), В(3; — 9) н С( — 12; — 17) Р е ш е н и е. По формуле расстояния между двумя точками находим: = 17, =- 17. Таким образом, АВ = ВС, т. е. треугольник АВС' — равнобедренный с основанием АС, и поэтому л'А = л'С. 994. Докажите, что точка Р равноудалена от точек А, В и С, если а) Р(1;!), А(5;4), В(4; — 3), С( — 2;5); б) Р(1,0), А(7; — 8), В( — 5; 8), С(9; 6). Решен не.
а) По формуле расстояния между двумя точками находим: АР = )7Х(5 — 1)з + (4 — 1)а = 5, Таким образом, АР = ВР = СР, т. е. точка Р равноудалена от точек А, В и С, б) Аналогично п. а) получаем, что АР = ВР =- СР = !О. 995. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек ЛХ~( — 2;4) и ЛЦ6,8). Решение.
Пусть ЛХ(зх0) — искомая точка. По условию ЛХЛХ| = =- ЛХЛХм откуда ЛХЛХ1з = ЛХЛХзз, т. е. (-2 — л) + 4 = (6 — ж)з + 8~. Отсюда находим: л = 5. Итак, искомая точка имеет координаты (5;О). О т в е т. (5; О). Гл. !. Мешод координал) 996. Вершины треугольника АВС имеют координаты А( — 5; 13), В(3,5), С1 — 3; — 1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведенную к стороне АС; в) средние линии треугольника. Решение.
Пусть точки ЛХ)(х),.у)), ЛХз(хз,)уа), ЛХз(хз,уз) — соответственно середины сторон АВ, ВС и СА. а) По формулам координат середины отрезка находим: Итак, ЛХ)( — 1; 9), ЛХз(0;2), ЛХз( — 4;6). По формуле расстояния между двумя точками находим: б) медиану ВЛХз, проведенную к стороне АС: = 5ту2; в) средние линии ЛХ)Мз, МОМз, М)М)) 323Р =фО+1) 2)2 2) =3 2, = Аъ'2, = Зъ'2. МаЛХЗ = МзМ) = Ответ. а) ( — 1;9), 10;2), ( — 4;6); б) 5ъ'2; в) 5ь)2, 4з)2, Зз)2. 997. Докажите, что четырехугольник АВСР, вершины которо~о имеют координаты А)3) 2), В)0) 5), С( — 3; 2), Р)0) — !), является квадратом. Р е ш е н и е. По формуле расстояния между двумя точками находим: АВ = )))Π— 3)г 3-)3 — 2)г = 3 '2, = Зъ'2, = Ззг2, ВС = ВА = 2))3 — О) 2)2 2 1)' = 3 '2, АС =- Таким образом, АВ = ВС = СР = РА и, следовательно, четырехугольник АВСР— ромб.
Кроме того, АВз+ ВСа = АСз, откуда — 5-'г 3 2 3 3- 2 — 3 — 5 — 21 2 13 4 5 у) = — =9, 2 5 — 1 уз= =2, 2 — 1+!3 Уз = 2 = 6. 39 Дополнительные зада ш следует, что треугольник АВС вЂ” прямоугольный с прямым углом В. Итак, в ромбе АВСР угол  — прямой, поэтому ромб АВСР является квадратом. 998.
Докажите, что четырехугольник АВСР, вершины которого имеют координаты А( — 2; — 3), В(1;4), С(8;7),Р(о;О), является ромбом. Найдите его площадь. Р е ш е н и е. По формуле расстояния между двумя точками находим: АВ = )((7 4 2) 4 (4 4 3) ВС = 87(8 — 7) 4 (7 — 4) СР = )((3 — 8)г 4 (3 — 7)' РА = = ъ'58, .= ч(58, = х758, = ъ'58, 4С= )7(8422) ) 44-((774433)) = 73 2 ВР = )(г(5 — 1)з+ (Π— 4)з = 4ь(2.
Так как АВ = ВС = СР = РЛ, то четырехугольник АВСР ромб, Его площадь равна половине произведения диагоналей 4С и ВР, т. е, ! ! алиев = — АС ВР = — 10ъ'2 4ъ(2 = 40, 2 2 О т в е т. 40. -3 = 5 — 79), откуда х = О, р = 8. — 1= — 1 — х, 999. Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма по заданным координатам трех его вершин; ( — 4; 4), ( — 5; 1) и ( — 1; 5). Сколько решений имеет задача? Решение. Воспользуемся утверждением: если АВ = РС и векторы АВ и РС не лежат на одной прямой, то четырехугольник АВСР— параллелограмм. Справедливость этого утверждения следует из того, что равенство ЛВ = Р С обеспечивает равенство и параллельность сторон АВ и СР четырехугольника АВСР, откуда, в свою очередь, следует, что четырехугольник АВСР— параллелограмм (признак 1', п.43 учебника).
Обозначим три данные точки так: А( — 4;4), В( — 5;1), С( — 1;5). 1) Найдем такую точку Р(т; р), что ЛВ =- РС. Вектор АВ имеет координаты ( — 1; — 3), а вектор РС координаты ( — 1 — х; 5 — у). Записывая равенство АВ =- РС в координатах, получаем: 40 Гл. 1. Мемед коорднна~п Итак, если точка Р имеет координаты (О;8), то АВ = РС.
Убедимся в том, что векторы АВ и РС не лежат нв одной прямой. Найдем координаты вектора АР: (О+ 4; 8 — 4) = (4;4). Координаты вектора АР(4;4) не пропорциональны координатам вектора ЛВ( — 1; — 3), поэтому эти векторы не коллинеарны (задача 927) и, следовательно, точка Р не лежит на прямой АВ. Поэтому векторы АВ и РС не лежат на одной прямой, а поскольку они равны, то четырехугольник АВСР— параллелограмм.
2) Аналогично можно найти такие точки Р! и Рю что четырехугольники АВР!С и АРвВС будут параллелограммами. Используя условия ЛВ =- Рнс. 20 = СР! и АРа = СВ и проведя такие же вычисления, как в п, 1), получим, что точка Р! имеет координаты ( — 2;2), а точка Рз — координаты ( — 8; 0). Итак, мы нашли три решения задачи: точки Р(0;8), Р!( — 2;2), Ре( — 8;0). Соответствующие им параллелограммы АВСР, АВР1С и АРзВС изображены на рисунке 20.
Других решений, очевидно, нет. Ответ. Три решения: (О; 8), ( — 2;2), ( — 8;0). 1000. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности а) (х — !)а+(у+2)а=25;б) хв ! Гу47)е= 1;в)х +уел 8х — 4ух40=0, г) х~ + у — 2х+ 4у — 20 = О; д) х~ + у~ — 4х — 2у+ ! = О. Р е ш е н и е. а) Данное уравнение является уравнением окружности, центр которой имеет координаты (1; — 2), а радиус равен 5. б) Данное уравнение является уравнением окружности, центр которой имеет координаты (О; — 7), а радиус равен !. в) Запишем данное уравнение в виде (х+ 4)~ + (у — 2)е = — 20. Так как для любых х и у левая часть уравнения не отрицательна, а правая часть отрицательна, то этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
