atnasyan-gdz-9-2005 (546189), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ф 3. Уравнения окружности и прямой 960. Какие из точек АГ3; — 4), В(1;О), СГО; 5), РГО;О) и Е(0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением а) х Ч- уг = 25; б) Гх — 1)г -Ь (у+ 3)г = =9;в) (х — — Х1 -Ьу =-? 2,) 4' Решение. а) Уравнению хг+ уз = 25 удовлетворяют координаты точек А(3г + ( — 4)г =- 25) и С(Ог + 5г =- 25), а координаты других данных точек этому уравнению не удовлетворяют. Поэтому из данных Отсюда получаем аЬ = О, а так как а ф О, то Ь = О. Итак, вершина В имеет координаты (О; с), т.
е. вершина В лежит на оси ординат и, следовательно, угол ВАР -- прямой. Поэтому параллелограмм АВСР является прямоугольником. ф 3. Ураенения окружносми и прямой точек только точки А и С лежат на окружности, заданной уравнением та+ уз = 25. б) Из данных точек только координаты точки В удовлетворяют уравнению (х — 1)з + (у + 3)з = 9. Поэтому на окружности, заданной этим уравнением, лежит только точка В. в) Аналогично пунктам а) и б) устанавливаем, что на окружности, 1т~ 1 заданной уравнением (ю — †) + у = †, лежат точки В и Р.
2 2) 4' Ответ. а) А и С;б) В; в) В иР. 961. Окружность задана уравнением (л Э 5) -Ь Гу — 1)' =. 15. Не пользуясь чертежом, укажите, какие нз точек Л( — 2; 4), В( — 5; — 3), С( — 7; — 2) и Р(1;5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью. Решен не. Найдем расстояния от данных точек до центра данной окружности, имеющего координаты ( — 5;1): =- ту)8 =- Зтт2, т"В = — т П ~ 5) в П вЂ” ~) — 42 — 2 Тз. Радиус г данной окружности равен 4. Сравнивая расстояния от данных точек до центра окружности с ее радиусом, получаем: г)л >г, г)в =с, йг; <тч Ав >г.
Отсюда следует, что: а) точка С лежит внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) точка В лежит на окружности; в) точки А и Р лежат вне круга, ограниченного данной окружностью. Ответ. а) С; б) В; в) А и Р. 962. Даны окружность к + у = 25 и две точки Л(3;4) и В(4; — 3). Докажите, что Л — хорда данной окружности. Решение. Координаты точек А и В удовлетворяют уравнению данной окружности, поэтому точки А и В лежат на этой окружности и, следовательно, отрезок А — хорда данной окружности.
24 Гл. й Мешод координаш 963. На окружности, заданной уравнением хз -ь д' = 25, найдите точки: а) с абсписсой — 4; б) с ордииатой 3. Ре шеи и е. а) Пусть точка ( — 4; д) лежит на окружности, заданной уравнением ха+ дз = 25. Тогда ( — 4)з + дз = 25, откуда да = 9 и, следовательно, д =- — 3 или д =- 3. Таким образом, точки ( — 4; — 3) и ( — 4; 3) лежат на данной окружности. б) Аналогично п. а) получаем, что точки ( — 4;3) и (4;3) лежат на данной окружности.
Ответ. а) ( — 4; — 3), 1 — 4;3); б) ( — 4;3), (4;3). 964. На окружности, заданной уравнением (х — 3)з + Гд — 5)а = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5. Решение. а) Пусть точка (3; д) лежит на данной окружности. Тогда (3 — 3)з + (д — 5)а = 25, откуда д — 5 = — 5 или д — 5 = 5, т.
е. д = 0 или д = 10. Итак, точки (3;О) и (3; 10) лежат на данной окружности. б) Аналогично п. а) получаем, что точки ( — 2;5) и (8;5) лежат на данной окружности. Ответ. а) (3;О), (3; 10); б) ( — 2; 5), (8; 5). 965. Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат 5 и радиусами ш = 3, гз = зГ2, гз =— 2 25 Ответ. ха+ да = 9, ха+да = 2, ха+ дз = --. 4 966. Напишите уравнение окружности радиуса г с центром А, если: а) А(0; 5), г =- 3; б) А( — 1; 2), г .= 2; в) А( — 3; — 7), г =- —; г),4(4; — 3), г = 10.
1 2' Ответ. а) ха+ (д — 5)я =9; б) (х+1)з+(д — 2) =4; в) (х+3)ай + (д+ 7)з = —; г) (х — 4)з ч- (д+ 3)а = 100. 967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В( — 1; 3). Решен не. Искомое уравнение имеет вид хз + дз = гз. Так как точка В( — 1;3) лежит на этой окружности, то (-1)~+ 3~ = г~, т. е. т =- !О. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид х~ + д =- 10. Ответ. ха + да = 10.
968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В( — 3; 2). 25 р 3. Уравнения окружносщи и прямой Решение. Искомое уравнение окружности имеет вид ха+ (у— — 6)т =- гт. Так как точка В( — 3; 2) лежит на этой окружности, то ( — 3)~ + (2 — 6)а = гз, т. е, гт = 25. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид ха + (у — 6)з = 25. О т в е т. хт + (у — 6) т = 25. 969. Напишите уравнение окружности с диаметром ЛХ!У, если: а) Л1(-3; 5), !У(7; -3); б) Л1(2, — !), 1в' (4,3).
Решение. а) Л1А' = = Д 64 = 2 тг 41 . 1 Радиус г окружности равен половине диаметра, т. е. г = -Л1Х = 2 = х74! . Центр окружности является серединой ее диаметра ЛХХ, поэтому координаты (хо,уо) центра вычисляем по формулам координат — Зт7 5 — 3 середины отрезка: хо =. = 2, уо = =. 1. 2 ' 2 Искомое уравнение окружности имеет вид: (х — 2)~ + (д — 1)д = 41. б) Аналогично п, а) находим; г =- -Л1Х = — (4 — 2)в + (3+ 1)т = т75, 1 ! 2 2 2 Ч- 4 — ! + 3 хо= =3, до= =1 2 ' 2 Поэтому искомое уравнение окружности имеет вид: !х — 3)' + (д — 1)' = 5. Ответ, а) (х — 2)т + (у — 1)а = 4 1; б) (х — 3)а + (у — 1)д = 5. 970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку Л(1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5 Сколько существует таких окружностей? Ре ш е н не.
Пусть (хо,О) — координаты центра окружности. Тогда центр окружности лежит на оси абсцисс и так как радиус равен 5, то уравнение окружности имеет вид: (х — хю) + у = 25. По условию точка А(1;3) лежит на этой окружности, поэтому (! — хо)~ + 9 = 25, откуда 1 — хо = — 4 или 1 — хо = 4, т. е, хо = 5 или хо = — 3. Таким образом, задача имеет два решения: 26 Гл. В Мемед координах (х — 5)г + дг = 25 и (х + 3)г + дг = 25. Ответ. Две окружности: (х — 5)г+ дг = 25, (х+ 3)г+ дг = 25.
971. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А( — 3;О) и В(0,9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат. Решение. Так как центр окружности (хо1до) лежит на оси ординат, то хо = 0 и искомое уравнение можно записать в виде: х' + (д — до)г „г По условию точки А( — 3; 0) и В(0; 9) лежат на искомой окружности, поэтому ( 3)г + (Π— до)г = т' и Ог + (9 — до)г = "г.
Таким образом, для нахождения до и г имеем систему двух уравнений < 9 + дог = гг (9 — до)г = гг Вычитая второе уравнение из первого, получаем: -72+ 18до = О, откуда до = 4. Зная до, находим: гг = 25. Итак, искомое уравнение имеет вид: ,г+ (д 4)г = 25 Ответ. хг+ (у — 4)г = 25. 972.
Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки а) А(1; — !) и В( — 3; 2); б) С(2; 5) и В(5; 2); в) ЛХ(0; 1) и Х( — 4; — 5). Решение. а) Задача решена в учебнике. б) Запишем искомое уравнение прямой СВ в виде ах+ Ьд+ с = = О. Так как точки С и В лежат на прямой СР, то их координаты удовлетворяют этому уравнению, т. е. 2а+ 5Ь+ с = О, 5а+ 2Ь+ с = О. Из этих уравнений выражаем а и Ь через с: с а= — —, 7' Подставляя эти выражения в уравнение прямой, получаем уравнение с с — -х — — д+с=О. 7 7 р 3. Ураенения окружноспги и прямой 27 При любом с ф 0 оно является уравнением прямой СР.
Удобно взять с = -7. Тогда уравнение прямой СР примет вид т, + у — 7 = О. в) Таким же образом, как в п, б), находим уравнение прямой ЛХЛг: Зт — 2у + 2 = О. Ответ. а) Зх+4у+1=0; б) х+у — 7=0; в) Зх — 2ух2=0. 973. Даны координаты вершин треугольника АВС:,4(4;б), В( — 4;О), С( — 1; — 4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ. Решение. По формулам координат середины отрезка находим координаты (хо) уо) точки ЛХ вЂ” середины стороны АВ: то = 4 ч- ( — 4) =О, 2 б ч- О уо = 2 Искомое уравнение прямой СЛХ запишем в виде ах + Ьу + с = О. Координаты точек С и ЛХ удовлетворяют этому уравнению, т.
е. — а — 4Ь+с=О, ЗЬ+с=О. Из этих уравнений выразим а н с через Ь: а = — 7Ь, с = — ЗЬ. Подставим эти выражения в уравнение прямой СЛХ и положим Ь = — 1. Тогда уравнение прямой СЛХ примет вид 7х — у+3=0. Ответ. 7х — у + 3 .=- О. 974. Даны координаты вершин трапеции АВСР: А( — 2; — 2), В( — 3;1), С(7, 7) и Р(3, 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и ВР; б) среднюю линию трапеции. Решен не. а) Уравнения прямых АС и ВР, каждая из которых проходит через две данные точки, можно найти аналогично тому, как это делалось в задаче 972. В результате для прямой АС получается уравнение х — у = О, а для прямой ВР— уравнение у — 1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
