atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 37
Текст из файла (страница 37)
т,, — х — у, — у, (х — р) + х. 770. Дан параллелограмм ЛВСР. Выразите вектор ЛС через векторы а н Ь,если:а) а =ЛВ, б =ВС1б) а = — СВ, б =СР;в)~о=ЛВ, 6 =РЛ. Решение. а) а =АВ, 6 =ВС, АС=АВ+ВС= а + 6. б) а = СВ, б = СР; по правилу параллелограмма СА = — СВ+ + СР = а, + б, следовательно, АС = — СА = †( а, + 6 ) = — и — 6 . в) а =- АВ, Ь = — РА; по правилу параллелограмма АС = АВ+ +АР = АВ+( — РА) = а — б. Ответ. а) АС = о + б; б) АС = — а — 6; в) АС = а — 6. 771. В параллелограмме АВСР диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы а = АВ и Ь = АР следующие векторы: РС+ СВ, вд+ ос, вЗ вЂ” ос, Вл — РА.
Решение. !. РС+ СВ = РВ = А — АР, поэтому РС + СВ = =- а — б (рис. 316). 2. ВО+ ОС = ВС = АР, следовательно, ВО + ОС = 6 . 3. ВО - ОС = Во+ Со = Во+ ОА = В А =. - о. 4. ВА — РА = ВА+ АР = ВР = — и + 6 . Ответ. а — б, Ь, — а, — а + Ь. 772. Дан параллелограмм АВСР. Докажите, что Х (+ХС=ХВ+ХР, где Х вЂ” произвольная точка плоскости.
Р е ш е н и е. По правилу вычитания векторов АВ = Х — ХА, РС = ХС вЂ” ХР. Так как АВ = РС (рис. 317), то Х — ХА = ХС— — ХР. Отсюда следует, что хА+ хс = хв+ ХР. 220 Гл 5. Веквгоры Х Рис. 316 Рис. 317 773. Докажите, что для любых двух векторов х и д справедливо неравенство !хх — д ! < !хх! -ь , 'д !. В каком случае ! х — тд! = ! х ! ч- ! д !э Решение. Пусть х = АВ, д = АС. Тогда х — д =АЗ вЂ” АС=СВ. Возможны три случая. а) Векторы х и д не коллинеарны (рис.318, а).
Тогда АВС треугольник и по неравенству треугольника СВ < АВ + АС. Но СВ = = !СВ! = ! х — д !, АВ = !АВ! = ! х !, АС = !АС! = ! д 1, поэтому !х — д! < !х!+ !д,'. б) х" Ц д . В этом случае точка А лежит на отрезке ВС (рис. 318, б), поэтому ВС = ВА+ АС. Но ВС =- !СВ! = ! т — д !, ВА = (АВ! = ! х !, АС = !АС! = ! д !, следовательно, — д!=! !+!д! в) х Т( д. Если хотя бы один из векторов х или д — нулевой, то ясно, что:г — д , '= !х !+ , 'д !. Если х ~ О и д ф О (рис. 318, в), то СВ < АС + АВ, поэтому !х — д ! < ! х !+ ! д1. Итак, , 'х — д ! < !х!+ ~д !; в случаях, когда ххк Ц~ д или когда хотя бы один из векторов х и д — нулевой, !т, — у'! = !х!+ д!.
Ответ. Равенство имеет место при х Ц д или в случае, когда хотя бы один из векторов хх и д — нулевой. А У С х В х в у С в А С б Рис. 318 221 а 3. Умножение вектора но число 774. Парашютист спускался на землю со скоростью 3 м/с Порывом ветра его начинает относить в сторону со скоростью ЗхгЗ м/с. Под каким углом к вертикали спускается парашютист? Р е ш е н и е. Пусть А — вектор скорости В Р парашютиста до порыва ветра, АС вЂ” вектор скорости ветра (рис. 319), тогда !АВ = 3 м?'с, Рнс. 319 )АС) = Зх?3 м?с, а АР вектор скорости парашютиста при ветре. Так как КВАС =.
90', то АВРС прямоугольник, а треугольник АВР— прямоугольный, ВР = АС = Зт?3. По теореме Пифагора АР:= т?сАВа+ВРо = т?9-. '27 = 6. Отсюда следует, что МАРВ = 30' и о = кВАР = 60'. Ответ. 60'. 9 3. Умножение вектора на число 779. Дан вектор р = 3 а, где а ф О. Укажите, как направлен каждый из векторов а, — а, — а, — 2 а, 6 а по отношению к вектору р, и выразите ' 2 их длины через р ~. Решение.
По условию задачи р = Заа. Так как 3) О, то р Т) а. Далее, !р) = !3! а !, откуда а1= — !Р~). 3' Аналогично получаем: -а)) Р ~ -а~ = ~а! = З 1г — ч 1 — ~ 1 ч !— — а )1 р,!-а)=-!а = — р(; 2 '2 2' 6 — 2 а Ц р, ( — 2 а' = 2) а'! = — ( р 1; ба')1 р',~ба)=6(а =2)р . Ответ. Направления: )), !1, 11,11, П; длины: — 1Р ~, — Р ~ — ~ Р 1, 1 --~ 1 — ч — р(, 2)р(. 780. Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства: а)1 о=а;б)( — 1) а= — а.
222 Гл 5. Векторы Решение. а) По определению ~1 а ~ = ~1~ ~ а ~ =- ~ а ~. Так как 1 > > О, то 1. а )Т а. Таким образом, б) Пусть ( — 1) . а = ~р. По определению произведения вектора на число )р) = (( — 1), '~а,) = 1 )'а,) = (оа~, Так как — 1 < О, то ( — 1) а ( Ць а при а ~ О, т. е. р )( а. Таким образом, в этом случае р = — а, т. е. ( — 1) а = — а. Если же а, = О, то р = О, поэтому и в этом случае ( — 1) а= — а.
781. Пусть х = т + и,, у = т — тир. Выразите через т и и векторьп а) 2х 2.~у б) 2хь+ уч в) жх -уы 2' ' 3' Решение. По условию х = т+ и, у = т — и. Поэтому: а) 2з: — 2у = 2(х — у) = 2((т, + и) — (т — и)) = 2(2и,) = 4и. б) 2гх+ — у =2(т+ и)+ — (ит — и) =2тх2и+ — т — — и = 2 2 2 2 5 —, 3 —, = — т+ — и. 2 ' 2 ! 1 1 ! в) — х — — у = — (т+ и) — — (т — и) = — зи — и — — хи+ — зт 3 3 3 3 4 — ~ 2 — ~ = — — ти — — и,.
3 3 5 и 3 — ~ 4 ч 2 — ~ Ответ. а) 4и; б) — т+ — и; в) — — т — — и.. 2 2 ' 3 3 782. В параллелограмме .4ВСР точка Е середина стороны АР, точка С вЂ” середина стороны ВС. Выразите векторы ЕС и АС через векторы РС= а иСВ=- Ь. Р е ш е н и е. На рисунке 320 изображен данный параллелограмм. Точка Š— середина стоРис. 320 роны АР, а точка С вЂ” середина стороны ВС, Я:= а,Слт=- Ь. ЕС = ЕР + РС, ЕР = — АР =- — ВС = — — Ь, РС =- а', поэтому 2 2 2 ЕС= а — — Ь.
2 АС=АВ+ВС=РС+ЕР= а — — Ь. 2 1 — ' — ~ ! — ' Ответ. а — — Ь, а — — Ь. 2 ' 2 223 р 3. Умножение вектора на число 783. Точка ЛХ лежит иа стороне ВС параллелограмма АВСР, причем ВЛХ: ЛХС = 3: 1. Выразите векторы АЛХ и Л1Р через векторы а = АХ) и 6= — АВ. Решен ие. На рисунке 321 изображен данный параллелограмм. 3 ' 3 ' 3 — з ч Зч АЛХ = АВ + ВМ; ВЛХ = — ВС = — АР = — а', АЛХ = 6 + — а . 4 4 4 ' 4 ЛХР = ЛХС+ СР = — ВС+ СР = — АР+ ВА = — а — 6 . 4 4 4 — 3 ~ 1 Ответ.
6 + — ' о, — а — 6. 4 ' 4 784. В параллелограмме АВСР диагонали пересекаются в точке О, 1 а ЛХ вЂ” точка иа стороне АР такая, что АЛХ = пМР Выразите через векторы 2 х = АР и у = АВ следуюшие векторы: а) АС, АО, СО, РО, л!Р+ ВС, АР+ СО, СО+ ОА; б) .4М, МС, ВМ, ОЛХ. Решен ие. На рисунке 322 изображен данный параллелограмм. а) АС = АВ+ АР =- х + у. АО = — АС = — (х + у). — 1 — т ! — ' 1 СО = -СА = — — АС = — — ( х + у ). 2 2 2 РО = — Р В= — (А — АР) =- — ( у — х). АР+ ВС = АР+ АХл = 2х. АР+ СО =. ВС+ СО = ВО = -РО = — (х — у ).
СО + О 4 =- СА =- — АС вЂ” — — х — у . — 1 — ч 1 б) АЛ1 АР х 3 3 МС = МР+ РС= — х + АВ = — х + Ру. 3 ' 3 ВМ = ВА + .АМ = — АВ + АМ = — х — ~у. 3 Р С у Рис. 321 Рис. 322 224 Гл 5. Векторы ОЛХ = О (+ АЛХ = - -'( х + у ) + -' х = - -' х — -' д . 2'3'62 -т —, 1- — 1--,,—, 1- --~ ~ 1 Ответ.а) х;- у, -(х .~- д), --(х + д), -(д — х),2х, -(х— '2 ' ' 2 ' ' '2 ' ' '2 — — б' — — + у1, — х — у;б) — х,— х+ у,— х — у,— — х — — у. 3 '3 '3 ' 6 2 2ЛХ1т' = АР+ СВ, или ЛХУ =- — (АР+ СВ). '2 786.
Отрезки Л.4м ВВ| и СС~ — медианы треугольника АВС. Выразите векторы ААо ВВн СС1 через векторы а =- АС и Ь = ЛВ. Решение. Воспользуемся задачей 1 и. 84. Точка А1 — середина отрезка ВС (рис. 324), поэтому АА1 = — ( а + 6 ). Аналогично, 2 ВВ| = — (ВС+ ВА) = — ( а — 6 — 6) = — а — Ь; 2 2 2 СС~ = — (СА+СВ) = — ( — а + 6 — а) = — а + — Ь. 2 2 2 О т в е т. —, ( а + 6 ), — а' — 6, — а + — 6 .
'2 '2 ' 2 в, й с, Ь А, Рис. 323 Рис. 324 785. Точки ЛХ и ХХ вЂ” середины диагоналей ЛС' и ВР четырехугольника ЛВСР. Докажите, что Л1ХХ = — (ЛР-1- СВ). 2 Решение. На рисунке 323 изображен данный четырехугольник АВСР, ЛХ и ЛХ вЂ” середины диагоналей АС и ВР. По правилу многоугольника сложения векторов имеем: ЛХХт' = ЛХА + АР + РХ, ЛХХт' = МС + СВ + ВХ. Складывая эти равенства почленно и учитывая, что ЛХЛ '- МС = = О, РЛХ+ ВЛХ = О, получаем: 225 Прилгенение векторов к решению видик 787. Точка Π— середина медианы ЕС треугольника РЕГ. Выразите вектор Рс) через векторы и = ЕР и б = ЕЕ. Решение.
Согласно задаче 1 п.84 ЕО = — ( а + б ) (рис. 325), 2 поэтому ЕО =- — ЕС =- — ( а + 6 ); 2 4 — — — — 1 — н ' 1 ' 3 — ~ РО =- РЕ+ ЕО =- — а + — ( и + 6 ) =- — 5 — — а. 4 4 1 — ' 3 > Ответ. — Ь вЂ” — а .
4 4 Применение векторов к решению задач 789. На сторонах треугольника ЛВС построены параллелограммы ЛЕВ~ Лг, ВСС~ Вг, ЛССгЛь Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам Л~Лю В|В, С|С . Р е ш е н и е. На рисунке 326 изображена данная фигура. По правилу вычитания векторов имеем: А~Аз = ААг — ААВ В,вг = ВВ, — Ввы С С .= СС вЂ” СС . Складывая почленно эти равенства и учитывая, что ВВ1 = ААг, СС| = ВВг, АА1 = ССг, получаем: А ~ Аг + В1 Вг + С1 Сг =- ААг — АА1+ ВВг — ВВ~ + ССг — СС1 = 0 . Таким образом, если мы построим сумму векторов А~А~+ В1Вг+ + С1Сг по правилу многоугольника, то получим треугольник ') . 790.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований Решение. Пусть АВСР— данная трапеция с основаниями АР и ВС, где АР ) ВС, а М и Ю вЂ” середины диагоналей АС и ВР. Согласно задаче 785 Мтт' = — (АР+ СВ). 2 ') Отметим, что если отрезки Л1Лг, В|Вг и С~Се параллельны друг другу, то треугольник получится звырожденнымь все его вершины будут лежать на одной прямой 3 Л,С.Атанасян н др Гл 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
