atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Докажите, что четырехугольник есть ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапепии. Решение. а) Пусть точки ЛХ, Лг, Р, Я вЂ” середины сторон прямоугольника АВСХ) (рис. 144, а). Тогда четырехугольник ЛХ.ЧРбд — параллелограмм, причем ЛХХ4 = Рбд = — — АС, ЛХО = ЛгР = — ВР (см. ре- ! 1 2 ' 2 Рис. !44 ЭЗ. Применение оодобил к доказательству теорем и решению задач 111 шение задачи 5б7). Но в прямоугольнике диагонали равны, т. е.
АС = = ВР. Следовательно, ЛХХ = РО = МО = ЛгР, т. е. ЛХЛХРΠ— ромб. б) Пусть точки ЛХ, Х, Р, Я вЂ” середины сторон равнобедренной трапеции АВСР (рис.144, б). Тогда четырехугольник МХч'РбХ па- 1 ! раллелограмм, причем МЛХ = РС~ = гАС, ЛХЯ = Хч'Р = -ВР (см. ре- 2 ' 2 шение задачи 567). Но в равнобедренной трапеции диагонали равны, т.
е. АС = ВР (см. задачу 388, б). Следовательно, Л(Хч' = РС~ — — ЛЩ = =- Хч=Р, т. е. 811 чРС~ — ромб. 569. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразяости оснований. Р е ш е н и е. Пусть точки М и ЛХ вЂ” середины диагоналей АС и ВР трапеции АВСР с основаниями АР и ВС, причем АР ) ) ВС (рис. 145). Проведем через точку М прямую МЕ, параллельную АР.
Тогда отрезок МЕ средняя линия треугольника АСР, и значит, 1 точка Š— середина стороны СР и МЕ = — АР. 2 Так как прямая ЛХЕ проходит через середину стороны СР и ЛХЕ ~ ВС, то прямая ЛХЕ пересекает диагональ ВР в ее середине, т. е. в точке Лг. Поэтому отрезок ЛгŠ— средняя линия треугольника РВС и, следовательно, Хт'Е = -ВС. ч 2 Л17ч' =- МŠ— ЛХЕ = — АР— — ВС =- —,(АР— ВС).
2 2 '2 Итак, отрезок ЛХЛ! параллелен основаниям трапеции и равен их полуразности, что и требовалось доказать. 570. Диагональ АС параллелограмма АВСР равна 18 см. Середина ЛХ стороны АВ соединена с вершиной Р. Найдите отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком РМ Решение. Пусть точка ЛХ середина стороны СР, Р и ьХ— точки пересечения отрезков РЛХ и Вйг с диагональю АС (рис. 14б). Т ° МВ = РЛ и МВ ~ РЛ, ° Л)ВМР— параллелограмм и, следовательно, РМ ~ ВХ. Поэтому ЛХР 1 ВЯ и так как точка М середина АВ, то отрезок ЛХР— средняя линия треугольника АВЯ. Значит, АР = — РьХ. Аналогично рассматривая треугольник СРР, находим, что СЯ =- = РЯ.
Рис 145 Рис !46 112 Гл 3 Подобные г ргугольники Итак, АР = РЯ = СЯ. Отсюда получаем, что АР = — АС = 6 см, РС = 12 см. 3 Ответ. 6 см и 12 см. 671. В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ~ пересекаются в точке О Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна Я. Решение. Так как ВО: ОВ! = 2: 1 и так как треугольники АОВ и АОВ! имеют общую высоту, проведенную из вершины А (рис.
147), то Вдов: Вдов, = 2: 1, откуда следует, что ! 3 ~лов~ * Влвв~ — Влов + Вг1ов~ Так как медиана ВВ! разделяет треугольник АВС на два треугольника с равными площадями, то Нлвс = 2ВАвв, = ЗВ О т в е т. ЗЯ. В условиях задач 572 — 574 использованы следующие обозначения для элементов прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С и высотой СН; ВС=а, АВ=с, АС=Ь, СН=6, АН=Ь„НВ= = ас (рис. 148).
672. Найдите а) Ь„а и Ь, если Ь, = 25, и, = 16; б) 6, а и Ь, если Ья =- 36, а, = 64; в) и, с и о,„если Ь = 12, б„= 6; г) Ь, с и Ь„если и = 8, а, = 4; д) 6, Ь, а, и Ь„если о = 6, с = 9. Решение, а) 6 = хга, Ь, = тт25.16 = 20; — ий,.— д,+5д,— ПИ вЂ” 4 41; Ь = /сЬс = т741 25 = 5ьг41. б) 6=ч'36 64 =48; = ДЗб+б4! 64 =80; Ь = ьЛОО 36 = 60.
Рис. 148 Рис. 147 яд. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач 113 в) Из равенства 6 = тУс. Ь, следует: 6 !2 = — = — --24; = ч.г е = ч24 12 =-12 '3. 6„6 Из равенства о, = гс . а, следует: а' (12ъ 3) 18 с 24 82 г) с= — = — =16; а, 4 Ь =- т7с~ — аз .=;~16~ — 8а =- 8ъ'3; Ь =- =- ч ) =- 12. с !6 д) 6 = асса — аз = тг9т — бз = ЗчГ5; с 9 ' ' с 9 6 =- тгга, 6, .=- чг4 5 .= 2тГ5. Ответ. а) 20, 4т741 и 5чг41; б) 48, 80 и 60; в) 12ч'3, 24 и 18; г) 8Л, 16 и 12; д) 2тГ5, Зъ'5, 4 и 5.
573. Выразите а, н Ь, через о, б н с. Решение. Из формул а = ус а,, 6 =- т/с бе следует: а 6 ас = — —,6, = —. с с а" бз Ответ. а, =, 6, =- с ' с 574. Докажите, что: а) 6 =; б) аб а б с а, Ь, Решение. а) Для площади о' прямоугольного треугольника справедливы равенства: о' = — аб и Я =,— сб,. 1 ! 2 2 6, = —. с б' з — (см, задачу 573) следует; с =— с а, Отсюда получаем аб =- сбч или е б) Из формул а, = — и 6, = с Ь и с= Ь,' Следовательно,— а, Ь, 575. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3: 4, а гипотенуза равна 50 мм Найдите отрезки, на которые гнпотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого угла.
114 Гл 3 Подобные шреугольники Р е ш е н и е. По условию Ь: а = — 3; 4, с = 50 мм (см. рис. 148). а Ь Используя равенства и, = —, 6, = — (см. задачу 573), получаем: с с Ь, Ьз Ь 9 9 9 Так как а, + 6, = — с, то а,, + — а,, =-50 мм, откуда 16 а, =- 32 мм, 6, .=- 18 мм. Ответ. 32 мм и !8 мм.
576. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 1! см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как б: 5. Решение. Пусть ие = Ье+ 11 см (см. рис. 148). Так как а, > 6„ то 'с а, > Х7сЬ,, т.
е. а > 6, Поэтому, со~ласно условию задачи, а:6=6:5.Но-= — '= — ' и,значит, — ' =-,откуда — '= 6 хГс Ь, )!Ь. ' '~(Ь, 5' Ь, 36 36 = —, т. е. а, = —. Ь,. 25' ' ' ' 25 36 Следовательно, —,— 6, = б, + 11 см. Отсюда находим: Ье = 25 см, а, = Ьг + 11 см = 36 см, с=а,+Ь, =61 см. Ответ. 61 см. 577. В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и !3 см, проведена высота к большей стороне Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону. Решение. Так как 5з + 12" =- 13-', то данный треугольник— прямоугольный, причем гипотенуза равна 13 см. Пусть а, = 12 см, 6 = = 5 см (см, рис. 148), Требуется найти а,, и 6,. 2 я 2 а Ь аг а Из равенства — =- — (см.
задачу 574, б) следует, что а, Ь, Ья 6 !44 144 25 ' ' ' ' 25 !44 Так как и, + 6, = с = 13 см, то †в,-ь 6, = 13 см, откуда находим: 25 25 12 144 ! Ье= — ем=! — см, а,= — см=!1 — см. 13 13 ' ' 13 13 1 12 Ответ. 11 — см и 1 — см, !3 13 ад. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач 115 579. Для определения высоты столба А~Сг, изображенного на рисунке 149 (рис !99 учебника), использован шест с вращающейся планкой Чему равна высота столба, если ВС~ =- 6,3 м, ВС = 3,4 м, АС = 1,7 мт Р е ш е н и е. Треугольники АВС и А~ВС~ подобны по двум углам (угол В— общий, углы С н С~ прямые), поэтому А~С~ ВС~ АС ВС' В С с, Рнс. 149 откуда АС ВС~ 1,7 6,3 ВС 3,4 Ответ.
3,15 м. Ответ. 6,936 м. 581. Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке 150 (рнс.203 учебника) Луч света ЕР, отражаясь от зеркала в точке Р, попадает в глаз человека (точку В). Определите высоту дерева, если АС = 165 см, ВС = 12 см, АР .= = 120 см, РЕ = 4,8 м, к! = а2. Решение. Треугольники АВР и ЕЕР подобны по двум углам (а! =- а2 по условию, углы с вершинами А и Š— прямые).
Поэтом А зеркало Рнс. 150 АВ ЕГ 165 — 12 ЕЕ АР РЕ' 120 480 см' откуда ЕЕ = 612 см = 6,12 м. Ответ. 6,12 м. 582. Для определения расстояния от точки А до недоступной точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок АС н углы ВАС" и АС'В Затем построили на бумаге треугольник А~В~Со подобный треугольнику АВС. Найдите АВ, если АС = 42 м, А~С~ = 6,3 см, А~В~ = 7,2 см.
Решение. Из подобия треугольников АВС и А~В~С~ следует, что АВ АС А~В~ А~С~ ' 580. Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева. Р е ш е н и е. Пусть А~ С~ — высота дерева, АС вЂ” высота человека, ВС~ — длина тени дерева, ВС вЂ” длина тени человека (см. рис. 149).
Тогда АС ВС~ 1,7 10,2 ВС 2,5 Гл 3 Подобные г ргугольники 116 Л|В| ЛС 7,2 42 откуда ЛВ = —, — = — ' — — м = 48 м. Л1 С~ 6,3 Ответ. 48 м. 583. На рисунке 151 (рис.204 учебника) показано, как можно определить ширину ВВ~ реки, рассматривая два подобных треугольника ЛВС и ЛВ~Сь Определите ВВн если АС = 100 м, .4С~ = 32 м, ЛВ~ = 34 м. Решение. Из подобия треугольников АВС и АВ!С! следует, что ЛВ г1С 34 и л- ВИ !00 АВ| .4С| ' 34 м 32 Отсюда находим: ВВ! = 72,25 м. Ответ. 72,25 м.
Рис 1о! Задачи на построение 585. Начертите отрезок ЛВ и разделите его в отношении а) 2 . 5; б) 3: 7; в) 4: 3. Решение. а) Проведем луч А1Х, не лежащий на прямой АВ. От точки А на этом луче отложим 7 равных отрезков произвольной длины: АА!, А!Аш ..., АаАг.
Проведем прямую А!В, а через точки А!, Аш ..., Ав проведем прямые, параллельные прямой А!В (как это сделать, описано в решении задачи 222). Эти прямые разделяют отрезок АВ на 7 равных отрезков; АВ!, В!Вш ..., ВвВ. Очевидно, что АВа . ВзВ = 2: 5. б), в) Построение выполняется аналогично. 586. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины меньшего из данных углов. Решение. Задачу нужно понимать так: даны два неравных угла и отрезок (рис.152, а); требуется построить треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а биссектриса треугольника, проведенная из вершины меньшего из этих двух углов, равна данному отрезку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
