atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Отрезок КА перпендикулярен к АВ и равен РС, отрезок СЛХ перпендикулярен к ВС н равен АР. Докажите, что отрезки ЫВ и КВ равны. Р е ш е н и е. Пусть АВ = с, ВС = а, ВР = 6 !рис. 126). Используя теорему Пифагора, получаем: КВ =-АК +с =-РС +с =-а — 6 +с, ВЛХз = СЛХз+ аз =. АРз+ аз = сз — 6з+ а~.
Таким образом, КВ =- ЫВ, поэтому КВ = Л1В. 846. Внутри прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С взята точка О так, что Волв .= Яово = Вола. Докажите, что ОА'+ ОВ' = 5 ОС~. Решение. Проведем перпендикуляры ОЛХ и ОАг к прямым АС и ВС !рис. 127). Пусть площадь треугольника АВС равна В. По условию задачи алою = — Я, илн — ОМ АС = — — АС ВС. 1 1 1 ! 3 ' 2 3 2 1 Отсюда следует, что ОМ = — ВС. Аналогично доказывается,что 3 ОАг = ! АС. 3 Заметим, что СМ = ОАг = — АС, поэтому АМ =. АС вЂ” СЛ1 = — АС. 1 2 3 3 2 Аналогично, ВА' = — ВС.
3 Рнс 126 Рис. 127 образовавшихся прямоугольных треугольников ЫРА, ЫРВ, ЛХОС и ЛХЯР. Глава 3 ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ ф Т. Определение подобных треугольников 534. Пропорциональны ли изображенные на рисунке 128 (рис.189 учебника) от- А резки; а) АС, СР и ЛАМП ММн б) АВ, ВС, СХ) и ММ, Л1Мн М|Мл в) 4В, ВРи ММ, МЛХ? Р е ш е н и е. Примем за единицу измерения отрезков отрезок ЛХЛХн Тогда ММ1 = 1, МЛХз = 3 ЛХНЛХз = 2 АВ=9, АС=!2, ВС=-З, ВР=-9, Рис 128 СР= 6. т. е.
отрезки АС и СР пропорциональны отрезкам ЛХ~ЛХя и ЛХЛ10 б) Аналогично п. а) получаем: Мз 1-4-1-1 Мз АВ ВС СР ЛХЛХя Л1 М1 ЛХ~ М т. е. отрезки АВ, ВС и СР пропорциональны отрезкам ЛХМз, ЛХЛ71 и ЛХ~Л7з. АВ 9 ВР 9 АВ ВХ) в) — — — = —, — — = —, следовательно, — - ф — — —, т. е. отЛХЛХ1 1' ЛАМ: 2' ЛХЛХ1 ЛХ~ ЛХ) ' резки АВ и ВР не пропорциональны отрезкам ММ1 и ЛХ|Л1я. Ответ. а) Да; б) да; в) нет. 4 Л.С Атаиасяи и др 533. Найдите отношение отрезков АВ и СР, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах? АВ 15 см 3 Р е ш е н и е. Отношение не изменится, если длины отрезков выразить в милли- ,4В 150 мм 3 СР 200 мм 4 3 Ответ, —; не изменится.
4' Гл. 3. Подобные треугольники АВ= ' = ' см=-15 см. АР. ВС' 7,5 9 б) Так как л'.ВРС = л'.С, то треугольник ВРС ный (см, рис, 129), т. е, ВС =. ВР = 16. АР АВ Из равенства „ = , следует: АР ВС 20 1б !О АВ 30 3 равнобедрен- Ответ. а) 15 см; б) 10 —. 2 3' 537. Отрезок АР является биссектрисой треугольника АВС. Найдите ВР и ВС, если АВ = 14 см, ВС = 20 см, АС = 21 см Решение. Пусть ВР = зн тогда РС = ВС вЂ” ВР = 20 см— — х (рис. 130).
Рис. 129 Рис. ! 30 Так как АР— биссектриса треугольника АВС, то = —, или ВР !В х !4 20 см — х 21 Отсюда следует: 21х = 14(20 см — х), 35х = 280 см, х = 8 см. Итак, ВР = 8 см,РС = 20 см — 8 см = 12 см. Ответ. ВР = 8 см, РС =!2 см. 538. Биссектриса АР треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки СР и ВР, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ и,4С, если периметр треугольника АВС равен 42 см. Решение. ВС=ВР+СР= 13 5 см+45 см = 18 см.
536. Отрезок ВР является биссектрисой треугольника АВС. а) Найдите АВ, если ВС = 9 см, АР = 7,5 см, РС = 4,5 см. б) Найдите РС, если АВ = =ЗО,АР=20, ВР=1би г'ВРС=~С. Р е ш е н и е. а) Так как ВР биссектриса треугольника ЛР ЛВ АВС (рис. 129), то, = —, (см. задачу 535). Отсюда получаем: Э Х. Определение подобных гпреугольников 99 АВ+ АС = 42 см — 18 см = 24 см; АВ ВР 13,5 АС РС 4,5 откуда АВ = ЗАС. Итак, ЗАС+ АС = 24 см, поэтому АС=бсм, АВ=18см. О т в е т. АВ =- 18 см, АС = 6 см. 539. В треугольник ЛХЛ'К вписан ромб МРЕГ так, что вершины Р, Е и Г лежат соответственно на сторонах ЛХЛг, КК и МК.
Найдите отрезки ЛгЕ и ЕК, если Л!Е = 7 см, ЛХК = = 6 см, ЛХК .= 5 см. Р е ш е н и е. Диагональ МЕ ромба делит его углы пополам, поэтому отрезок ЛХЕ биссектриса треугольника ЛХЛгК (рис. 131). Следовательно, Рис. !3! ЛХЕ ЛХЛь ЕК ЛХК' ЛьЕ 7 6 см — ЛХЕ 5' Отсюда находим: 5 ЛгЕ = 42 см — 7 МЕ, 12 ЛХЕ = 42 см, ХтЕ = 3,5 см, ЕК = 6 см — ЛгЕ =-2,5 см. Ответ. ЛгЕ = 3,5 см, ЕК = 2,5 см. СХд СГ 8 2 2 РГ ГГ !2 3' откуда СР = 3РЕ СЕ = СГ + ГЕ = 8 см +!2 см = 20 см; СР+ РЕ = 55 см — СЕ = 35 см, т. е.
— РЕ+ РЕ = 35 см, откуда РЕ = 2! см. 2 3 СР =- — 2! см =- 14 см. 2 3 Ответ. СР = 14 см, РЕ = 2! см. 540. Периметр треугольника СРЕ равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб РЛ!ГК так, что вершины М. Г и Лг лежат соответственно на сторонах СР, СЕ и РЕ. Найдите стороны СР и РЕ, если СГ' = 8 см, ЕГ = 12 см Решение. Диагональ РГ ромба является биссектрисой треугольника СРЕ, поэтому !00 Гл 3 Подобные шреугольники 541. Подобны ли треугольники АВС и РЕГ, если кА = !06', кВ = 34', ~Е = 106', кЕ = 40', АС = 4 4 см, АВ = 5 2 см, ВС = 7 6 см.
РЕ = = 15,6 см, РГ = 22,8 см, ЕЕ = 13,2 см? Решение. лА = гЕ; гС =- 180' — !гА+ гВ) =. 180' — !40' =— = 40', т. е. ЛС = лЕ; лР = 180' — !к'Е + г Е) = 180' — 146' = 34', т, е, г'В = г'Р. Итак, углы треугольников АВС и РЕЕ соответственно равны. ВС 7,6 ! РГ 22,8 3 АС 4,4 1 ЕГ 132 3' АВ 5,2 1 РЕ 15,6 3' АВ АС ВС Отсюда следует, что = — =, т, е, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника РЕЕ. Следовательно, треугольники АВС и РЕЕ подобны.
Ответ. Да. ЛХЛг ВС = 2,1, откуда ЛХЛг = 2,1. ВС = 10,5 см; КЛг ,4С =-2,1, откуда Кдг =-2,1 АС = 14,7 см. Ответ. КЛХ =- 8,4 см; ЛХХ = !0,5 см; Кдг = 14,7 см. 543. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам. Решение. Пусть ГхАВС ГтА!В!С!, АВ: А!В! = й, Ь и Ь! высоты, проведенные к сходственным сторонам АВ и А!В!. Тогда 1 — АВ Ь 2 !д ! — А В Ь 2 Влво йз Вл,в,с, Отсюда получаем ( )( — )=й,илий( — )=й. Ь Следовательно, = й. ' Ь1 АВ Ь Итак, =- †, что и требовалось доказать. Ь1 ' 542.
В подобных треугольниках АВС и КЛХЖ стороны АВ и КЛХ, ВС и ЛХЛг являются сходственными. Найдите стороны треугольника КЛХХэ', если КЛХ АВ = 4 см, ВС =- 5 см, СА = 7 см, =- 2,!. АВ Решение. КЛХ = 2,1 АВ = 2,1 4 см = — 8,4 см; у 1 Определение подобных треугольников 101 544. Площади двух подобных треугольников равны 75 мг и 300 м . Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника. Р е ш е н и е. Пусть коэффициент подобия данных треугольников 75 2 равен )х Тогда — = )г~, откуда к~ = †, 1г = †. Искомая сторона 300 4' 2' равна )г 9 м, т. е.
4,5 м. Ответ. 4,5 м. 545. Треугольники АВС и А~В~С~ подобны, и их сходственные стороны относятся как 6: 5. Площадь треугольника ЛВС больше площади треугольника А~В~С~ на 77 ем~. Найдите площади треугольников Решение. Площади треугольников АВС и Л~В1С1 обозначим через Я и Ян г6т~ 36 Тогда Я: Я = 1Х вЂ” ) =, откуда В = 'х5) 25' 36 = 77 смз, т. е. — Я1 — Я1 = 77 смз, или 25 = 175 смз. 36 Ян По условию  — Я1 = 11 25 — Я! = 77 смз, откуда Я~ = В = Я1 + 77 ем~ = 252 смз. О тает. алис = 252 смз, Вл,в,с, = 175 смз.
87,5 з 1 =)г, где к= Отсюда Я = (100000)з 87,5 смз == 87,5 кмг. Ответ. 87,5 кмз. 547. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Решение. Пусть г"ьЛВС ььА1В|СО причем АВ ВС СА А~В~ В~С~ С~А~ (где и — коэффициент подобия). Тогда АВ = к А1Вн вс=й в с, СА = й. С1АО 546. План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображенного на плане треугольника равна 87,5 смг. Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в масштабе 1: 100000 Р е ш е н и е. Пусть Я вЂ” площадь земельного участка, выраженная в квадратных сантиметрах. Тогда Гл 3 Подобньге мрвугольники 002 Складывая эти равенства, получаем: АВ + ВС + СА =- )с (А!В! + В!С! + С!А!), откуда АВ+ ВС+ СА 41В| т В|С| + С|А| что и требовалось доказать.
ВС" !40 см В|С~ 56 см О т в е т. 2,5. 549. Стороны данного треугольника равны !5 сы, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 26 см. Р е ш е н и е. Отношение периметров данного треугольника и треугольника, подобного данному, равно коэффициенту подобия (с, т. е. 15+ 20+ 30 26 Стороны треугольника, подобного данному, в к раз меньше сторон данного треугольника, т.
е. искомые стороны равны 15 см: 2,5 =- 6 см, 20 см: 2 5 = 8 см, 30 см: 2 5 = 12 см. Ответ. 6 см, 8 см, 12 см. 9 2. Признаки подобия треугольников 550. Но данным рисунка !32 (рис. 193 учебника) найдите л и гь Р е ш е н и е. а) На рисунке 132, а прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (они имеют 20 8 б 12 б а Рис. ! 32 548. Треугольники АВС и А|В~С~ подобны. Сходственные стороны ВС и В1С~ соответственно равны 1,4 и и 56 см.
Найдите отношение периметров треугольников АВС и А|В~Со Решение. Отношение периметров подобных треугольников АВС и А!В!С! равно коэффициенту подобия, т. е. отношению сходственных сторон ВС и В!С!. э" 2. Признаки подобия треуголеникое 103 551.
На стороне СР параллелограмма ЛВСР отмечена точка Е. Прямые ЛЕ н ВС пересекаются в точке Е. Найдите; а) ЕЕ и ЕС, если !3Е = 8 см, ЕС = 4 см, ВС' = 7 см, ЛЕ =. 1О см; б) РЕ и ЕС, если ЛВ = 8 см, ЛР = 5 см, СЕ = 2 см. Решение. Треугольники АВЕ и ЕСЕ на рисунке 133 подобны по первому признаку подобия треугольников 1углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и ВЕ секущей АГ, углы 3 и 4 равны как вертикальные). Из подобия треугольников следует: Рнс. 133 ЕЕ ГС ЕС АЕ АР РЕ а) Из этих равенств получаем: ЕЕ ЛЕ ЕС РЕ ГС= ' РЕ 10.4 8 см = 5 см, 7 4 8 см = 3,5 см.
б) Из тех же равенств следует: ЕС ЕС 2 2 РЕ = Ар = 5' откуда ЕС = 5ВЕ Так как ВЕ ч- ЕС = ВС = АВ = 8 см, то ВЕ+ — ВЕ = 8 см. 2 Отсюда 5 40 5 РЕ = — см = 5 — см; 7 7 ЕС = — ВЕ = †. — см = 2 — см. 2 2 40 2 5 5 7 7 Ответ. а) ЕЕ = 5 см, ЕС = 3,5 см; б) ВЕ = 5 — см, ЕС = 2 — см. 5 2 7 ' 7 552. Диагонали трапеции АВСР с основаниями АВ и СР пересекаются в точке О Найдите: а) АВ, если ОВ = 4 см, ОР = 10 см, РС = 25 см; по равному прямому углу и по равному острому углу о). Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: х б 12 8' — — †, откуда х = 9. б) На рисунке 132, б прямоугольные треугольники также подобны, поэтому д 28 28 6 = —, откуда д = = 21.
ъ'10з — 8Я 8 Ответ. х =. 9, у = 21. 104 Гл 3 Подобньге шроугольникн б) —, и, если АВ = а, РС =- Ь; в) АО, если АВ = 9,6 дм. РС = 24 см, АО ВО ЛС =!5 см. Р е ш е н и е. На рисунке 134 треугольники АОВ и СОР подобны по двум углам (углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и РС секущей ВР, углы 3 и 4 равны как вертикальные). Из подобия треугольников следует: АВ,4О ВО РС ОС ОР Рис. 134 Отсюда получаем: а)АВ=- ' = см=-10см; РС ВО 25 4 ЛО ВО а ОС ОР Ь' ЛВ ЛО 96 АО РС АС вЂ” АО' нлн 24 15 — АО' Отсюда находим: 4(15 см — АО) = АО, АО = ! 2 см. Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
