atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Тогда ЛХА'— высота параллелограмма, проведенная к противоположным сторонам АВ и СР. Так как О центр симметрии параллелограмма, то ОАг = = ОМ и поэтому ЛХАг=2 ОМ=4см. Ялвсп = АВ МХь', или 24 смз = 4 см. АВ, откуда АВ = 6 см. Аналогично, от каждой из двух других противоположных сторон параллелограмма (АР и ВС) точка О удалена на 3 см, поэтому высота параллелограмма, проведенная к сторонам АР и ВС, равна 6 см. Из равенства 24 сма = 6 см АР получаем АР = 4 см.
Рлвсп = 2(АВ ч АР) = 2(6 см + 4 см) = 20 см. О т в е т. 20 ем. 70 Гл. 2. Плои1адь 504. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит ее на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма. Р е ш е н и е. Пусть в параллелограмме АВСР АВ < АР, АВ = = 29 см, ОЛХ вЂ” перпендикуляр, проведенный из точки О пересечения диагоналей к стороне АР, А)1г = 33 см, ЛгР = 12 см (рис. 86). Проведем высоту ВЛХ данного параллелограмма. Так как ВО = ОР и ВМ ~ ОК, то МЛХ = ЛгР = 12 см (см.
задачу 384) и, следовательно, Рис. 86 АМ = А)т' — "т'ЛХ = 33 см — 12 см = 21 см. Применив теорему Пифагора к треугольнику АВЛХ, найдем высоту ВЛХ: ВЫ вЂ” ~29 — 2Р— 8.50 — 20 ( ). Влвшв = АР ВМ = 45 см 20 см = 900 ем~. Ответ. 900 смз. 505. Докажите. что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая — Ь, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.
Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС: ВС .= а, АС = Ь, АР = 5„ 1 где АР— высота треугольника. Тогда Влив = —, а. Ь,. а. Если стороны АС и ВС не перпендикулярны, то АР < АС (пер- 1 пендикуляр меньше наклонной), т. е. Ь, < Ь и поэтому Влвс < -аЬ. Если же АС Х ВС, то сторона АС совпадает с высотой АР, т. е. Л = Ь. В этом случае 1 Влвш =- — аЬ. 2 Таким образом, наибольшую площадь имеет тот треугольник, у которого стороны, равные а и Ь, перпендикулярны.
506. Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны? Р е ш е н и е. Искомые прямые не могут пересечь одну и ту же сторону квадрата, так как в этом случае площадь одной из трех указанных в задаче фигур (четырехугольник АВСЛХ на рисунке 87, а) больше 1 — Я, где Я площадь квадрата. Поэтому искомые прямые, проведенные 2 через вершину А, пересекают стороны квадрата АВСР в точках ЛХ и Х так, что одна из этих точек, например, точка ЛХ, лежит на стороне ВС, а другая — на стороне РС (рис.
87, б). 71 Дололнительньче задачи Рис. 87 Пусть АВ = а, ВЛХ = зь По условию ! . а 1 1 2 Ьлвы = — Ь = —, т. е. — ах = — о, откуда х = — а. 3 3' 2 3 3 Итак, ВЛХ = — ВС. Аналогично В)ч' = — )лС. 2 2 3 3 507*. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что плошадь первого треугольника больше пло1цади второго треугольника? Решение. Приведем пример, показывающий, что площадь первого треугольника может быть меньше площади второго треугольника. Пусть в треугольнике АВС: АВ = ВС = 13, АС = 24, ВР— высота, а треугольник А!В!С! равносторонний со стороной, равной !2 !рис.
88). Тогда АР = — АС = 1 2, 1 2 ВР— чА — Ао = ччЗ вЂ” ~2 — ь. Ялпщ = — АС ВВ = — 24 5 = бО ! 1 2 2 12 . тч3 Вл,п,с; = (задача 489), т. е. ВА~В|с~ = Збъ'3 > 60 > ВАВС. Итак, площадь треугольника АВС, каждая сторона которого больше любой стороны треугольника А!В!С!, меньше площади треугольника А1В1С1. Ответ. Нет. В, 12 !2 А~ 12 С1 Рис. 88 Гл. 2. Плоа1адь Отсюда следует, что РМ+ РОг =, т. е.
сумма РХ1| и Рт'Х 2Влвс не зависит от выбора точки Р. 509. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки. Р е ш е н и е. Пусть О произвольная точка, лежащая внутри равностороннего треугольника АВС со стороной, равной а,, а ОК, ОЛХ и Отт — перпендикуляры к прямым, содержащим стороны этого треугольника (рис.
90). Тогда сАВС = сАОВ + ВВОС + ВСОА = 2 = — (ОК . АВ ч- ОЫ ВС + ОХт' АС) = — (ОК + ОМ + ОХ!). 2 2Влвс Отсюда получаем ОК+ ОМ+ О)т' =- с, т. е. сумма ОК+ а + ОМ+ ОХт' не зависит от выбора точки О. 510*. Через точку Р, лежащую на стороне ВС треугольника АВС, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и Е. Докажите, что треугольники СРЕ и ВРЕ имеют равные площади.
Решение. Пусть ВМ вЂ” высота треугольника ВРЕ, а СК— высота треугольника СРЕ (рис. 91). Заметим, что ВЛХ и СК равны высотам параллелограмма АЕРЕ, поэтому 1 1 ВВОВ = ' ВАВОВ ВСОВ = ' ВАВВВ 2 ' ' ' ' 2 и, следовательно, Бвпв = ВООВ. В С Рис. 89 А к Рис. 90 508*. Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки. Решение. Пусть Р— произвольная точка на основании АС равнобедренного треугольника АВС, а РМ и Ртт' — перпендикуляры, проведенные из этой точки к прямым АВ и СР (рис.
89). 1, ! ВАВС = Я,!ВО + ЯВСО = — АВ РМ+ — ВС РХ = 2 = — АВ(РМ + РХт'). 2 Доаолнительньче задачи 73 Е С р 2 Н Рис. 91 Рис. 92 511. В трапеции ЛВСР с боковыми сторонами ЛВ и С0 диагонали пересекаются в точке О. а) Сравните площади треугольников ЛВ0 н ЛС!?. б) Сравните площади треугольников ЛВО и СРО. в) Докажите, что ОЛ х хоВ=ОС ОР. Решение. а) Треугольники АВР и АСР имеют равные высоты ВН = Сю (рис.92) и общее основание АР, следовательно, Ялвр =- = олсп. б) Злвп = Влво+ Влоп, Влср = Всрп+ Влоп. Но по доказанному в п.
а) Влвр = Влсп, поэтому Влво = Испо. в) Углы 1 и 2 равны, поэтому Влво: Нспо =- (ОА. ОВ): (ОС ОР). По доказанному в п. б) Ялво = лспо, следовательно, ОА ОВ =- ОС. ОР. О т в е т. а) Площади равны; б) площади равны. 5121 Основания трапеции равны а и Ь. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две трапеции, площади которых равны.
Найдите длину этого отрезка. Решение. Пусть АВСР данная трапеция, АР = а, ВС =- Ь, а ЕГ указанный в условии задачи отрезок (рис.93). Высота ВЛг трапеции пересекает этот отрезок в точке Л1. Пусть ЕЕ = ю, ВМ = Ьы Л1дг = Ье. По условию Ввсвв = Ялввр, и, значит, С В ,Е р Лг А Влвсп = 2Вввсв Запишем эти равенства, используя формулу площади трапеции: Ь+л Ь а+* 2 2 ' ()И + Ьа) (Ь+ 4) ' Ьч Гл. 2.
Плои1идь Разделим оба эти уравнения на 6~ и положим -- = у. Получим систему 62 62 двух уравнений с двумя неизвестными х и у: Ь+ х = !а+ х)у, (а+ 6)(!+у) = 2(Ь-ьх). Исключив из этих двух уравнений у, получим: 1а + Ь) (! + — ') = 216 + х). Га+6 Отсюда находим; х = 21 2 2 12 Ответ. г/ 513. Диагонали ромба равны 18 м и 24 и.
Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами. Р е ш е н не. 1) Пусть в ромбе АВСР диагонали АС и ВР пересекаются в точке О, Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике АОВ л'.О = 90', ОА = 12 м, ОВ = 9 м, и по теореме Пифагора находим: АВ = 'ОА -9ОВ = ~Г22 -';9 = 29 Рлвс р = 4 АВ = 4 . 15 м = 60 м. 2) Расстояния между попарно параллельными сторонами ромба равны высоте 6 ромба. Так как Влвср = АВ. 6, а с другой стороны Ялвср =- — АС ВР (задача 476), то АВ . 6 = — АС.
ВР, откуда 1 1 2 2 АС ВР 24 18 2.4В 2. 15 Ответ. 60 м и 14 4 м. 514. Площадь ромба равна 540 см', а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба. Решен и е. Пусть в ромбе АВСР диагонали АС и ВР пересекаются в точке О, АС = 4,5 дм = 45 см, Сначала найдем диагональ ВР: Влвср = — АС ВР, 1 2 откуда ВР 2Влвср 2 540 = 24 см. АС 45 75 Донолнительньче задачи Треугольник АОВ прямоугольный, и его катеты ОВ и ОА равны 12 см и 22,5 см, поэтому АВ = Г2 <- 2ч.ь = '60,2Б = 2ь.ь ( ) и Р = 4 25,5 см — — 102 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба равно половине высоты 6 ромба.
Так как Влнщр = АВ 6, то Влвогз 540 3 6 = — ' — = — см = 21 — см, ЛВ 25,5 17 — 6, = 21 — см: 2 = 10 — см. 1 3 10 2 17 17 1О О т в е т. 10 — ем. !7 515. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30'! б) высота, проведенная к боковой стороне, равна б см и образует с основанием угол в 45'. Решение, а) Пусть в равнобедренном треугольнике АВС: АВ = = АС =- 20 см, аВ =- 30', отрезок АР высота. Тогда ВР =- РС = 1 = — ВС, и из прямоугольного треугольника АВР находим: АР = 2 1 = — АВ = 10 см (по свойству катета, лежащего против угла в 30').
2 П ТЗЬ вЂ” А — ЛР ЧЬЬ вЂ” 100 10 3( )( Ч Пифагора) и ВС = 2ВР = 20чг3 см. Влпс = — ВС. АР = — 20тГЗ см !О см = 1ООт/3 смз. 1 1 2 2 б) Пусть в равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена высота ВР к боковой стороне АС, тогда по условию ВР = = б см, аРВС = 45'. Треугольник ВРС вЂ” прямоугольный с углом В, равным 45', поэтому хС =- 45'.
Так как треугольник ЛВС равнобедренный, то и аАВС = 45', а это означает, что угол РВС совпадает с углом АВС, т. е. треугольник АВС вЂ” прямоугольный с катетами, равными 6 см. Следовательно, Вавы = — 6 см б см =!8 см . 1 2 Ответ. а) 100т73 сма; б) !8 смз. 516. В треугольнике АВС: ВС =- 34 см. Перпендикуляр йуйг. проведенный из середины ВС к прямой АС, делят сторону ЛС на отрезки Лдг = 25 см и МС .= 15 см. Найдите площадь треугольника ЛВС. Р е ш е н и е. Проведем высоту ВР данного треугольника (рис.94). Так как точка 7ьХ середина стороны ВС' и ЛТйг ~~ ВР, то РХ = = ХС (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
