atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 11
Текст из файла (страница 11)
469. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 11 см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС. Решение. Пусть СТ) и АЕ высоты, проведенные к сторонам АВ и ВС соответственно. Так как Вавы = — АВ СВ и Влпы = — ВС АЕ, 1, 1 2 2 то АВ . СВ = ВС АЕ, т. е. !6 см 11 см = 22 см .
АЕ, откуда АЕ =- 8 см. Ответ. 8 см. 470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см Высота. проведенная к большей стороне, равна 2,4 см Найдите высоту, проведенную к меньпгей стороне. Решение. Пусть высота, проведенная к меньшей из заданных сторон, равна 6. Тогда 7,5 см 2,4 см = 3,2 см 6, р 2. Площади параллелограмми, ереугольпика и трапеции 57 откуда Ь, = 7,5 2,4 см: 3,2 см = 5,625 см. Ответ. 5,625 см. 471. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если катеты равны. а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм Решение.
Если а и Ь катеты прямоугольного треугольника, Я вЂ” его площадь, то В = поЬ. 1 2 а) В = —, 4 см 11 см = 22 смз; 1 2 б) Я =. —, . 1,2 дм. 3 дм =- 1,8 дмз. 1 '2 Ответ. а) 22 смз; б) 1,8 дмз. 472. Площадь прямоугольного треугольника равна 168 си~. Найдите ка- 7 теты, если отношение нх длин равно — , 12 Р е ш е н и е. Пусть а и Ь вЂ” катеты прямоугольного треугольника, а 7 7Ь Я его площадь. По условию — = —, поэтому а = —. Ь 12' 12' В= — а Ь= —.— Ь.Ь= — Ь 2 2 2 12 24 и так как В = 168 смз, то !68 смз = — Ьз, откуда Ьа = 168 смз 7 24 24 7 = 576 смз, откуда Ь =- 24 см, а =.
— Ь =- — 24 см =- 14 см. !2 !2 Ответ. 24 см, 14 см, АВС, проведенная к стороне АВ, равна Ь. То- 1 гда Ялвс = — АВ. Ь. Рассмотрим треугольник 2 АВЛХ, где ЛХ вЂ” произвольная точка прямой т, параллельной АВ и проходящей через точку С (рис.74). Так как все точки прямой т, равноудалены от прямой АВ (см. п.37 учебника), то высота, проведенная из точки ЛХ к прямой АВ, равна Ь, и поэтому Рис. 74 ! Влват = — АВ Ь = Влвс 2 Итак, все треугольники с вершинами на прямой т и основанием АВ имеют равные площади. 473.
Через вершину С треугольника ЛВС проведена прямая т, параллельная стороне ЛВ. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой т н основанием АВ имеют равные площади. Ре ш е н и е. Пусть высота треугольника щ 58 Гл 2. Плои1идь 474. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой. Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС проведены медиана ВР и высота ВЕ (рис.
75). Так как ВР— медиана, то АР = — РС. Отрезок ВŠ— высота треугольников АВР и СВР, Ялвв = — АР. ВЕ = — РС ВЕ = сввп. 1 1 2 2 Итак, Ялвв = Всвв О т в е т. Площади треугольников равны. 475. Начертите треугольник АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные плошади. Решение. Разделим сторону ВС на три равные части: ВЕ .=- =- ЕЕ = ЕС и проведем через вершину А прямые АЕ и АЕ (рис. 76).
Они разделят треугольник АВС на три треугольника, имеющие равные площади. Действительно, эти три треугольника имеют равные основания и одну и ту же высоту АР (см. рис,76), поэтому их площади равны. 476. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и !4 см; б) 4,6 дм и 2 дм. Решен и е. Пусть в ромбе АВСР диагонали АС и ВР пересекаются в точке О (рис. 77). Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то 1 1 алис =- — АС ВО, Ялвщ = — АС. РО, и поэтому 2 ' ' 2 1 1 Влвсв = Влвс+ Влвс =- — АС ВО+ — АС РО =- 2 2 = — АС . (ВО + ОР) = — АС ВР. 1 Итак, Яанов = — АС ВР, что и требовалось доказать.
2 а) В = †.3,2 дм 1,4 дм = 2,24 дма = 224 смз; 2 РЕ Е Е 11 Рис. 75 Рис. 76 ф2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции 59 б) В= — 4,6 дм 2 дм =4,6 дмз. 1 2 Ответ. а) 224 смз; б) 4,6 дмз. 477. Найдите диагонали ромбз, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см Решен ив.
Пусть  — площадь ромба. Согласно задаче 476 В = 1 = — д! г)з, где А! и дз — диагонали ромба. По условию дз = 1,5д!, 2 а Я = 27 смз, поэтому 27 см = — — Д! гд! =- †(г1!), откуда (г)!) =- 36 см, 3 г 2 2 4 3 е(! = 6 см, а г(з = — 6 см = 9 см. 2 Ответ. 6 см, 9 см.
478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей. Решение. Пусть АВСР— выпуклый четырехугольник, в котором АС 3 ВР, а Π— точка пересечения диагоналей (рис.78). Тогда отрезки ВО и РΠ— высоты треугольников АВС и АРС, поэтому алис = —,АС ВО, Влтзс = —,АС ОР. 1, 1 2 ' ' 2 Следовательно, Влвсв = Влвс+ Влыс = — АС ВО+ — АС ОР = ! 1 2 2 1 = — АС(ВО+ ОР) = — АС ВР. 1 2 2 1 Итак, алис!э = — АС ВР 479.
Точки Р и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника АВС. Найдите: а) Влив, если АВ = 5 см, АС =- 6 см, АР = 3 см, АЕ = 2 см, Рис. 78 Рис. 77 60 Гл. 2. Плон!ада алас = 10 см', б) АР, если АВ = 8 см,,4С = 3 см, АЕ = 2 см, Влас = =. 10 см', Влов = 2 см'. Решение. Так как треугольники АРЕ и АВС имеют по равному углу А (рис. 79), то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих этот угол, т. е.
Влвв: Влив = (АР АЕ): (АВ АС). а) Влрв = Влвс (АР АЕ): (АВ АС) = 1О (3 ' 2): (5 ' 6) =- =-2 смз. б) Из равенства (1) следует, что АР = Влвв. АВ АС: (Ялов АЕ) Поэтому АР = (2. 8 3): (10 2) = 2,4 см. Ответ. а) 2 смз; б) 2,4 см. 480. Найдите плошадь трапеции АВСР с основаниями АВ н СР, если: а)АВ = 21 см, СР = 17 см, высота ВН равна? см; б) лР = 30', АВ = 2 см, СР = 10 см, РА =.
8 см; в) ВС 3 .4В, АВ = 5 см, ВС = 8 см, СР = 13 см Решен и е. а) Влввв = — (АВ + СР) ВН =- — (21 см + 17 см) х 1 ! 2 2 х 7 см = 133 смз. б) Проведем высоту АЕ трапеции и рассмотрим прямоугольный треугольник АРЕ. Так как аР = 30', а гипотенуза АР = 8 см, то АЕ= 4 см. Влвсв = — (2 см+ !О см) . 4 см = 24 см . 1 2 2 в) Так как ВС 2 АВ, то отрезок ВС является высотой трапеции, и, следовательно, блввв =- — (АВ+ РС)ВС = — (5 см+ 13 см) 8 см =- 72 смз. 1 1 2 2, О т в е т, а) 133 смв; б) 24 смв; в) 72 смз. 481.
Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135'. Р е ш е н не. Пусть в прямоугольной трапеции АВСР с основаниями АР и ВС: АР > ВС, аА =- лВ = 90', аС =- 135' (рис. 80). Проведем высоту СЕ к стороне АР. Тогда СЕ =- АВ =- ВС =- 6 см. В прямоугольном треугольнике СРЕ ЛС = 45', поэтому л'Р = = 90' — ЛС = 45' и, следовательно, ЕР = СЕ = 6 см. АЕ = ВС = 6 см (так как АЕ и ВС вЂ” противоположные стороны прямоугольника АВСЕ), поэтому АР =- АЕ+ ЕР = 12 см.
Блввв = — (ВС+ АР)СЕ = — (6 см+!2 см) 6 см = 54 смз. 1 1 2 2 Ответ. 54 смз. 61 Ь) 3. Теорема Пифагора 482. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135', а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции. Решение. Пусть в равнобедренной трапеции АВСР с основаниями АР и ВС г'В =- 135', ВŠ— высота, АЕ =- 1,4 см, ЕР = = 3,4 см !Рнс, 81). В прямоугольном треугольнике АВЕ г'.В = 45', г'.А = 90' — г'.В = =- 45', поэтому ВЕ = АЕ = 1,4 см. Проведем высоту СГ.
Тогда СЕ = ВЕ = 1,4 см, Так как в равнобедренной трапеции углы при основании равны (задача 388, а), то г'.Р = аА = 45'. Поэтому в прямоугольном треугольнике СЕР аС =. 90' — г'.Р = 45' и, следовательно, ЕР = СГ = 1,4 см; ВС = ЕЕ =- ЕР— ЕР =- 3,4 см — 1,4 см =- 2 см; АР =- АЕ + ЕР = 4,8 см; алис и =- — (ВС+ АР) ВЕ = — (2+ 4,8) см 1,4 см = 4,76 смг, ! 1 2 2 Ответ. 4,76 смз. 9 3. Теорема Пифагора 483. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным кате- 3 4 там пи 6 а) а=6,Ь=8;б) а=5,Ь=6;в) а= —,Ь= —; г) а=8,6=8з73.
7' 7' Р е ш е н и е. Пусть с гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и 6, тогда по теореме Пифагора с~ = аз + Ьз, откуда с = )ай+ Ьз а) с = ь)36 ч- 64 = 1О; б) с =- тг25-, '36 .= ь)61; в) с =. ~/ — — ч- — =: —; Г9 16 5 ~) 49 49 7' ) . — 64 + ) 64 — РГ4 — 8-2 — а. О т в е т. а) 1О; б) т))б1; в) —; г) !6. 5 7' 484. В прямоугольном треугольнике а н 6 — катеты, а с — гнпотенуза. Найдите Ь, если, а) а = 12, с =- 13, б) а =- 7, с = 9, в) а =- !2, с = 26; г) о =- .= 2ъ)З, с = 2Ь; д) а = ЗЬ, с = 2ьг!О.
Р е ш е н и е. По теореме Пифагора сз =- аа + Ьз, откуда 6 = ь77 — аз . а) 6 = т)с!69 — 144 = 5. В С' Е Г Рис. 8! Рис 80 Рис 79 62 Гл. 2. Плои)адь б) Ь = ь)81 — 49 = ъ'32 = 4тГ2 в) Так как са = а~ + Ьз, а = 12, с = 26, то 46з = 144 + Ьз, откуда Ьв = 48, 6 = 4ъ)3 г) Так как сз = аз -1- Ьз, а = 2ь)3, с = 2Ь, то 46з = 62 + 12, откуда Ьз=4,6=-2. д) Так как с2 = аз + 62, а = 36, с = 2т)г)00, то 40 = 96з + Ьз, откуда Ьз = — 4, Ь=2. От в е т. а) 5; б) 4х)2; в) 4ъ)3; г) 2; д) 2.
485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60', если гипотенуза равна с. Решение. Если один острый угол прямоугольника равен 60', то другой острый угол равен 30'. Пусть катет, лежащий против угла ! в 60', равен о, а против угла в 30' — равен Ь. Тогда 6 = — с. 2 По теореме Пифагора сз = а2 + Ь~, откуда а = 8,2)сз — Ьз = ст — — св = 1 . С52'3 4 2 съ~ 3 О т в е т. 486. В прямоугольнике АВСР найдите: а) АР, если АВ = 5, АС = 13; б) ВС, если СР = 1,5, АС = 2,5; в) СР, если ВР = 1?, ВС = 15.
Р е ш е н и е. а) Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику АСР: АС =АР 8СР. АР= АС' СР Так как АВСР— прямоугольник, то СР = АВ = 5 и, следовательно, АР = Дб9 — 25 = Л44 = 12. б) ВС вЂ” АС вЂ” АВ . А — СР— 15, » 2 ВС = 5))6,25 — 2,25 = 2. ) СР = 'Вт) ВС = 289 225 =8. Ответ. а) !2; б) 2; в) 8. 487. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1? см, а основание равно 16 см Найдите высоту, проведенную к основанию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
