atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 14
Текст из файла (страница 14)
задачу 384). Рис. 94 Гл. 2. Площидь В треугольнике ВСР: ВС = 34 см, РС = 2йГС = 30 см, следовательно, вь — /34 — 10 — 'бт. ° — и Влвш = — АС ВР =- — (,АМ-е йгС) ВР = †. 40 см. 16 см = 320 см . я 2 2 2 Ответ. 320 сме. 517. Найдите плошадь четырехугольника АВСР, если АВ = 5 см, ВС =- = 13 см, СР = 9 см, РА .= 15 см, АС = 12 см Р е ш е н и е. Стороны треугольника АВС (рис. 95) выражаются числами 5, 12, 13, а так как 13е =- 12Я + бе, то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВС вЂ”. прямоугольный, и поэтому Ялик= — 12см 5см=30см. 1 2 Аналогично, треугольник АСР— прямоугольный, так как 152 = = 12е + 9е, и поэтому Влсо= — 12см 9см=54см. ! 2 Заметим, что точки В и Р лежат по разные стороны от прямой АС (в противном случае отрезки АР и ВС пересекались бы), поэтому Влвср =- Влвс + Влс р = 30 сме + 54 сма = 84 см~.
Ответ. 84 см-'. 518. Найдите плошадь равнобедренной трапеции, если: а) ее меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45'1 б) ее основания равны 16 см и ЗО см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Решение. а) Пусть в равнобедренной трапеции АВСР: ВС меньшее основание, ВГ и СŠ— высоты трис. 96). ГьАВ — прямоугольный с острым углом в 45', поэтому он равнобедренный и, значит, АГ = ВГ = 9 см. В С В д Рис. 96 Рис. 95 Дополиительиьш задачи 77 Так как трапеция равнобедренная, то ЕР = АЕ = 9 см, а так как ГЕ=ВО=18см,то АР =2АГт ЕЕ= 36 см.
Ълныр = — (ВС+ АР) . ВЕ = — (18 ч- 36) 9 смз = 243 смз. 2 2 б) Пусть в равнобедренной трапеции АВСР с основаниями АР = 30 см и ВС = В С = 16 см диагонали АС и ВР взаимно пер- 43 О пендикулярны и пересекаются в точке О, ЛХХзг — высота трапеции, проходящая через точку О (рис. 97). 1 2 ХзАВР =- ЬРСА по двум сторонам и углу Лг между ними (АВ = РС, АР— общая сторона, кА = кР), поэтому л'1 = '2. Так как Рис.
97 л'3 = л'1, Л4 = л2 (вследствие параллельности ВС и АР), то кЗ = л'.4. Отсюда следует, что треугольники АОР и ВОС равнобедренные, а поскольку АС Х ВР, то эти треугольни- ки — прямоугольные. Высоты ОЛХ и ОЛХ являются также медианами 1 этих треугольников, а потому согласно задаче 404: ОЛг = — АР, ОЛХ = 1 2 = — ВС. Следовательно, 2 ЛХЛ7 = — (АР+ ВС) =- 23 см. 2 Ялныгз = — (АР+ ВС) ЛХХт' = ЛХЛХ~ = (23 см)~ = 529 см~. 2 Ответ. а) 243 смз; б) 529 см". 519. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 6, а диагонали взаимно перпендикулярны. Решен не.
Пусть в равнобедренной трапеции АВСР со взаимно перпендикулярными диагоналями высота равна 6. Тогда — (АР+ ВС) =- 6 (см. решение задачи 518, б). 1 2 ПоэтомУ Ялныгз = — (АР+ ВС) 6 = 6з. 2 Ответ. 6~. 520. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма ее оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции. Решение. Пусть в равнобедренной трапеции АВСР со взаимно перпендикулярными диагоналями АР + ВС = 2а, ЛХМ вЂ” высота Гл.
2. Площадь трапеции (см. рис.97). Тогда Л(М = — (АР+ ВС) = а (см. решение ! 2 задачи 518, б). Поэтому Влвсв = — (АВ+ СР) ЛХЛ! = аз. 2 Ответ. аз. 521. Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника АВСР взаимно перпендикулярны, то АРз -1- ВС = АВ -г С Р~. точка пересечения диагоналей АС Решение. Пусть О и ВР (рис.98). Используя теорему Пифагора, получаем: АРз + ВСд = РОз + АОз + ВО' + СОз; АВз + СРз = АОз + ВОз + СОз + РОз. Следовательно, АР~ + ВС = АВ + СР~. 522. В равнобедренной трапеции АВСР с основаниями ЛР = 17 см, ВС = 5 см и боковой стороной АВ = !О см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание АР в точке ЛХ.
Найдите площадь треугольника ВРЛХ. Р е ш е н и е. Пусть ВК вЂ” высота данной трапеции АВСР, точка Π— середина диагонали АС (рис. 99). ГзАОЛХ = ХхСОВ по стороне (АО = СО) и двум прилежащим углам, следовательно, АЛХ = ВС = 5 см, и поэтому ЛХР = АР— АЛХ = 17 см — 5 см = 12 см. Так как трапеция АВСР равнобедренная, то К АР— ВС =5 см 2 к и Рис 99 Рис. 98 Доаолнительньбе задачи 79 Из прямоугольного треугольника АВК находим: ВК вЂ” А — АК вЂ” Ч 48 — б — 8 ( ).
Вввм = — ЛХХ1. ВК = — 12 см 8 см = 48 смз. 1 1 2 2 Ответ. 48 смз. 523. Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину, причем сторона одного из них лежит В С на диагонали другого. Найдите площадь обшей части этих квадратов О Решение. Пусть АВСХ7 и СКМХ47 дан- Ф ные квадраты, АВ = СК = а (рис. 100). Общей частью данных квадратов является четырех- Е угольник СКРХ! с искомой площадью Я. М В = оЛСВ оЛГГтб 1 а Рис. 100 Ялсв= — о, о,= 2 2 Треугольник АКР— прямоугольный с углом А, равным 45', поэтому этот треугольник равнобедренный и КР = АК = АС вЂ” КС = = атг2 — а = (ъ'2 — 1)а. Следовательно, Влггв = — КЕз = — (т72 — 1)таз = аз.
а 3 — 2ъ'2 2 В = Влсв Влкв =— 2 2 а = (тг2 — 1)а . Ответ. (ъ'2 — 1) аз. 525. Расстояние от точки ЛХ, лежашей внутри треугольника АВС, до прямой АВ равно б см, а до прямой АС равно 2 см Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ = 13 см, ВС = !4 см, АС = 15 см. Решение. По формуле Герона (задача 524) находим: 8 = '24.б.2.8 =84 Соединим точку М с вершинами треугольника АВС и проведем высоты ЛХХ7, ЛХР и ЛХР в образовавшихся треугольниках (рис.
10!). По условию МВ =- 6 см, МР = 2 см, а требуется найти ЛХР. Имеем: в Влвс = Влив Р Злмс + Ввмс = = — АВ 282ХР+ — АС ЛХР+ — ВС МР. 2 2 2 Отсюда, используя условия задачи, получаем: 84 = — (13 6+ 15 2+ 14 ЛХР). 2 Рис. 101 80 Гл. 2. Плои!адь 2 Из этого равенства находим: ЛХР = 4 — см. 7 2 Ответ. 4 — см. 7 4~2 и М 626. В ромбе высота, равная см, со- 2 ставляет — большей диагонали. Найдите пло- 3 щадь ромба.
Р е ш е н и е. Пусть диагонали ромба А тт АВСР пересекаются в точке О, АС ) > ВР, ЛХЛХ вЂ” высота ромба, проходящая Рнс. 102 через точку О, ЛХМ = см, ЛХгч 4ъ'2 9 2 = — АС (рис. 102). Тогда АС = — ЛХЛг = см, ОС = — АС = — см, 2 2ъ'2 1 ъ'2 3 ' ' 3 3 ' 2 3 ОЛХ = — ЛХЛ = — — см.
2ч'2 2 9 Рассмотрим прямоугольный треугольник ВОС. По теореме Пифагора вс — вов . ос — зов' у— 9 Так как Явою = — ОВ . ОС = — ОВ 1 т72 2 6 2 2 ° в„= -ом во= — 'ов'~ — ° '. * 2 9 у' 9 — . ОВ = — ОВз + — смз, ху2 ъ'2 з, 2 6 9 9 илн 3 ОВ = 2 ОВз+ — смз. 2 9 Возведем обе части последнего равенства в квадрат: 9 ОВ =4(ОВ + — смз).
2 9 2ъ'2 Отсюда находим: ОВ = см и, следовательно, 3хГ5 ВР =- 2ОВ = см. 4хг2 3 5 1 ! 2х72 4ъ72 8ъ75 Влнсо = — АС ВР =. †. см. см = см . Зъ5 8тгб Ответ, см . 45 Доаолнительньче задачи 81 527. В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна б см. Найдите площадь трапеции Решение.
Пусть АВСΠ— данная равнобедренная трапеция с основаниями АР и ВС, ВК и СН вЂ” ее высоты (рис. 103). Из прямоугольного треугольника АСН по теореме Пифагора находим: Ае= яс ае = тьч у =8 Так как АК = НО, ВС = КН, то В С К Н Рис. 103 1 1 2 — (АО+ ВС) = — (КН 4-2АК+ КН) =- АК+ КН =- АН. 2 Поэтому Ялнвв = — (АР + ВС) . СН = АН СН = 8 см 6 см = 48 см . 2 Ответ. 48 смз. 528. В трапеции ЛВС12 диагонали пересекаются в точке О.
Найдите площадь треугольника ЛОВ, если боковая сторона СО трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой СО равно 5 см. Решение. Пусть ОŠ— перпендикуляр, проведенный к прямой СР (рис. 104). Тогда ОЕ =- 5 см (по условию), поэтому Ясов = — СВ ОЕ = — 12 см 5 см = 30 см, ! 1 2 2 Согласно задаче 511 б: Ялов = Ямов следовательно, Ялов = =- 30 смз. Ответ. 30 смз.
529. Диагонали четырехугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30'. Найдите площадь этого четырехугольника. Р е ш е н и е. Пусть АВСР— данный четырехугольник, диагонали которого пересекаются в точке О, АЕ и СŠ— перпендикуляры к прямой ВО (рис.105). Рис. 105 Рис. 104 Гл.
2. Площадь Так как х'.АОВ =- ''СОР = 30', то АЕ = — АО, СЕ = — ОС. 1 1 2 ' 2 Следовательно, Влип = — ВР. АЕ = — ВР— АО = — ВР. АО, 2 2 2 4 Ввпп = — ВР СЕ = — ВР— ОС = — ВР ОС. 1 1 1 1 2 2 2 4 1 1 Влвсп =Влвп+аппп = — ВР АО-ь — ВР ОС 4 4 = — ВР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
