atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 18
Текст из файла (страница 18)
а) 1О см; б) —; в) 12 см. Ь' 553. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углуу Ответ обоснуйте. Р е ш е н и е. а) Два равнобедренных треугольника, имеющие по равному острому углу, могут не быть подобными. Например, равнобедренный треугольник с углом в 50' при основании и равнобедренный треугольник с углом в 50' между боковыми сторонами не подобны, так как углы первого треугольника равны 50', 50', 80', а второго 50', 65', 65'. б), в) Если два равнобедренных треугольника имеют по равному тупому углу (или по прямому углу), то эти равные углы лежат между боковыми сторонами треугольника. Боковые стороны одного равнобедренного треугольника пропорциональны боковым сторонам другого равнобедренного треугольника.
Следовательно, указанные треугольники подобны по второму признаку подобия треугольников. Ответ. а) Не всегда; б) да; в) да. 654. Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М. Найдите расстояния от точки Лу до концов меньшего основания. Р е ш е н и е. Пусть АВСР— данная трапеция с основаниями АР = = 8 см, ВС = 5 см и боковыми сторонами АВ = 3,9 см, СР = = 3,6 см (рис.
135). Требуется найти ЛХВ и МС. 105 Э 2. Признаки подобия треугольников Треугольники АЛХР и ВЛХС подобны по двум углам (угол М общий; аА = г'.ЛХВС, так как эти углы являются соответственными при пересечении параллельных прямых АР и ВС секущей АМ). Из подобия треугольников следует: МВ ВС ЛХВ 5 , или ЛХА АР' ЛХВ Ч- 3,9 см 8 Отсюда получаем: 8МВ = 5МВ + 19,5 см, ЛХВ = 6,5 см. Аналогично: ЛХС ВС ЛХС 5 ЛХР АР' ЛХС+ 3,6 см 8' откуда находим; МС = 6 см. Ответ. 6,5 см и 6 см. 555. Точки ЛХ, Лг и Р лежат соответственно на сторонах .4В, ВС и СА треугольника АВС, причем ЛХ1У АС, Хт'Р З' .4В Найдите стороны четырехугольника АЛХХт'Р, если: а) АВ = 10 см, АС = 15 см, РХт': ЛХМ = = 2: 3; б) АМ = АР, АВ = а, АС = б.
Решение. а) Четырехугольник АЛХ)т'Р— параллелограмм (рис. 136), поэтому АМ = РЛХ, АР = ЛХХ и, следовательно, АЛХ 2 'ЛХК 3 ХхАВС ЬЛХВХч' по двум углам (г'.В общий, аА = г'.ВМХт'), поэтому АВ ЛХВ 1О 1О см — АЛХ АС ЛХК' 15 МХт' Отсюда следует: 2 10 см 2 4 10 см 3 ЛХХ 3' 3 ЛХЛг ' ЛХЛг = 7,5 см, АМ = — ЛХЛг = 5 см. 2 3 Итак, ЛХХч' = АР = 7,5 см; АМ = РК = 5 см, А Р С Рис. 136 Рис. 135 106 Гл 3 Пег!обные г реугольники б) Так как АЛХ = АР, то = , = 1. АЛХ АЛХ М дг АВ ЛХВ Из равенства †, =- получаем: ЛХ!У а, а — АЛХ а а.
Ь ЛХЛг ' Ь МХУ Отсюда находим: аЬ а Ч- Ь Итак, ЛМ = ЛХ!!г = Х!ХР = АР = аЬ а+6 Ответ. а) 7,5 см, 5 см, 7,5 см, 5 см; б) все стороны равны а6 а+6 557. Стороны угла Л пересечены параллель- Р ными прямыми ВС и РЕ, причем точки В и Р лежат на одной стороне угла, а С н Š— на другой. В Найдите: а) ЛС, если СЕ =- 10 см, ЛР = 22 см, ВР = 8 см; б) ВХО и РЕ, если ЛВ = 10 см, ЛС = = 8 см, ВС = 4 см, СЕ =- 4 см; в) ВС, если С Е ЛВ; ВР = 2: 1 и РЕ = !2 см. Р е ш е н и е. Согласно задаче 556 Рис 137 АВ ВР— (рис.
137). а) АВ=-АР— ВР=14 ем, АС= ' = см=.!7,5см. АВ СЕ 14.!О ВР 8 б) ВР=, = — см=5ем. ЛВ. СЕ 1О. 4 ЛС 8 ГкАРЕ Х!АВС по двум углам (угол А — общий, г'С = г'Е), РЕ АЕ поэтому = , откуда ЛЕ ВС (ЛС -1- СЕ) ВС (8 ч- 4) 4 ЛС АС 8 в) Так как АВ: ВР = 2; 1, то АВ = 2 ВР. Поэтому АР АВ+ ВР 3ВР 3 АВ АВ 2ВР 2 Из подобия треугольников АРЕ и АВС следует: РЕ АР !2см 3 ВС АВ' ВС 2' 12 2 откуда ВС = — — см = 8 см. 3 Ответ. а) 17,5 см; б) 5 см и 6 см; в) 8 см. 107 Э 2. Признаки подобия треугольников 558. Прямые а и 6 пересечены параллельными прямыми ААь ВВь ССь причем точки А, В и С лежат на прямой а, а Аи В1 и С~ — на прямой Ь.
ЛВ Л~ В1 Докажите, что —, = В1 С~ Решен не. Если а а Ь, то четырехугольники АВВ1А| и ВСС|В|— параллелограммы (рис.138, а), и поэтому АВ = А1В| и ВС = В|Си Рис. 138 откуда следует, что АВ Л~В1 ВС ВС Если прямые а и 6 не параллельны, то через точку А проведем прямую Ьы параллельную прямой 6 (рис. 138, б). Она пересекает прямую ВВ~ в некоторой точке Вз, а прямую СС1 в точке Сз. Четырехугольники АВзВ|А1 и ВзСзС|В1 — параллелограммы и потому АВз = А~В1 и ВзСз = В~Си Согласно задаче 556 имеет место равенство ЛВ ВС ЛВг ВзСг Отсюда, используя предыдущие равенства, получаем ЛВ ВС' А~В~ В~С~ ' 559. На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ = 5 см и ЛС = 16 см.
На другой стороне этого же угла отложены отрезки ЛР = = 8 см и ЛВ = 10 см. Подобны ли треугольники ЛСР и ЛГВ7 Ответ обоснуйте. ЛС 16 8 ЛР 8 Решен не. Так как — '„= — = — и —:= —, ЛВ 1О о ЛВ 5' то ЛС ЛР ЛВ ЛВ' т. е. стороны АС и АР треугольника АСР пропорциональны сторонам АГ и АВ треугольника АЕВ (рис.139). Угол А — общий угол треуголь- Р ников АСР и АГВ, заключенный между сторонами АС и АР треугольника АСР и также между 108 Гл 3 Подобные г реугольники 560. Подобны ли треугольники ЛВС и А|В~Си если: а) АВ = 3 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, А~В~ = 4,5 см, В~С~ = 7,5 см, С~Л1 = !0,5 см; б) АВ = 1,7 см, ВС = 3 см, СА = 4,2 см, Л~В~ = 34 дм, В~С~ = 60 дм, С~ А1 = 84 дм7 АВ 3 2 Решение. а) Так как Л~В1 ВС 5 2 В|С~ 75 3' СЛ 7 2 С|Л~ 10,5 3* то Г1АВС Е~А~В1С1 по третьему признаку подобия треугольников.
б) Так как ' =- ', = ' =- —, то АВАНС ГхА~В|С1 ЛВ ВС СЛ 1 по третьему признаку подобия треугольников. Ответ. а) Да; б) да. 561. Докажите, что два равносторонних треугольника подобны. Р е ш е н и е. Три стороны одного равностороннего треугольника пропорциональны трем сторонам другого равностороннего треугольника.
Поэтому два равносторонних треугольника подобны по третьему признаку подобия треугольников. 562. 6 треутольнике ЛВС сторона ЛВ равна а, а высота СН равна Ь. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ЛВС так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне ЛВ, а две другие — соответственно на сторонах ЛС и ВС. Р К Л МН Д Р е ш е н и е. Пусть ЛТМРс) -- квадрат, вписанный в треугольник АВС (рис.140). Тогда МР ~~ АВ, и поэтому если СН вЂ” высота треугольника АВС, то СК высота треугольника йгРС. Пусть ХР = ш, тогда СК = СН вЂ” КН = й — ш, Треугольники АВС и )т'РС подобны по двум углам (угол С— общий; ЛВ = г'.СР)т', так как МР 5' АВ).
Отсюда, согласно задаче 543, МР СК м Ь вЂ” х АВ СП' о Ь ай Из последнего равенства получаем: лй = а(5 — ш), откуда х = а ч- 5 ай О т в е т. а+й сторонами АР и АВ треугольника АРВ. Отсюда по второму признаку подобия треугольников следует, что ГзАСР ГхАРВ. Ответ. Да. э" 3. Применение подобая к доказательству теорем и решению задач 109 Ответ. а) —; б)— 1 1 2' 4 ф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач 564.
Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, б см, 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника Решен и е. Сторонами треугольника с искомым периметром являются средние линии данного треугольника, каждая из которых равна половине соответствующей стороны данного треугольника. Поэтому искомый периметр равен 1 2 — (8+ 5+ 7) см = 10 см.
О т в е т. 10 ем. 565. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его бблыпую сторону, равно 2,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника. Р е ш е н и е. Пусть ОЛХ вЂ” перпендикуляр, проведенный из точки Опересечения диагоналей прямоугольника АВСР к его большей стороне АР (рис. 142). Тогда ОЛХ ~ АВ и так как точка Π— середина отрезка ВР, то ОЛХ Рис. 142 563. Через точку ЛХ, взятую на медиане АР треугольника АВС, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К.
Найдите ЛК ЛЛ! 1 отношение „если. а) ЛХ вЂ” середина отрезка ЛР, б) Р е ш е н и е. Пусть РЕ (~ ВК (рис. 141). Тогда, согласно задаче 556, имеют место равенства А ВР КЕ АЛХ АК К РС ЕС' ЛХР КЕ' Е а поскольку ВР = РС, то КЕ =- ЕС. а) Так как точка ЛХ вЂ” середина отрезка С АР, то АЛХ = ЛХР, и поэтому АК = КЕ.
Итак, В Р АК =- КЕ =. ЕС, следовательно, КС =- 2АК, ЛК 1 Рнс. 141 КС 2' АЛХ ! АК 1 б) Так как = —, то = —, т. е. КЕ = 2АК, а поскольку ЛХ КЕ =- ЕС, то КС =- 2КЕ =- 4АК. Поэтому АК 1 КС 4 Гл 3 Подобные г реугольники средняя линия треугольника АВХ). Поэтому АВ =- 2ОЛХ, а так как по условию ОМ = 2,5 см, то АВ = 5 см. Итак, меньшая сторона прямоугольника равна 5 см.
Ответ. 5 см. 566. Точки Р н Я вЂ” середины сторон ЛВ и ЛС треугольника АВС. Найдите периметр треугольника ЛВС, если периметр треугольника ЛРСХ = = 21 см. Р е ш е н и е. Так как Р и г„) — середины сторон АВ и АС, то АВ = = 2АР, АС = 2АЯ, а поскольку отрезок РЯ средняя линия треугольника АВС, то ВС = 2РЯ. Следовательно, АВ+ ВС+ СА = 2(АР+ АЯ+ РО) = 2. 21 см = 42 см. О т в е т.
42 см. 567. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Решение. Пусть точки ЛХ, Лг, Р, Я середины сторон четырехугольника АВСР (рис. 143). Тогда Л(Х4 и РΠ— средние линии треугольников АВС и АРС; поэтому ЛХК ~~ АС, ЛХХ = —,,АС и РЯ!~ АС, РО = — АС. 2 Рис. 143 Отсюда следует, что ЛХХ4 ~~ РЯ и ЛХЛг = РьХ. Следовательно, четырехугольник ЛХЛ'РьХ вЂ” параллелограмм. 568.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
