atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 2
Текст из файла (страница 2)
а) Рассмотрим параллелограмм АВСР, в котором ЛА = 84'. Так как л'.А и аС вЂ” противоположные углы параллелограмма АВСР, то АС =- л'А =. 84'. Углы А и  — односторонние углы при пересечении параллельных прямых АР и ВС секущей АВ, поэтому лА+ г.'В =- 180', откуда лВ =- 180' — 84= =- 96'. Углы В и Р— противоположные углы параллелограмма АВСР, поэтому они равны, т. е. г'В = л'Р = 96'.
б) лА+ ЛВ = !80' (см. п. а), а по условию л'А — ЛВ = 55', следовательно, 2ЛА = 235', л'А =. 11?'30', лВ =- 62'30'. Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому аА = =- аС =- 117'30', л'.В = ЛР = 62'30'. в) Так как лА н АС вЂ” противоположные углы параллелограмма АВСР, то они равны, а так как по условию л'.А+ л'.С = 142', то лА = = л'.С = 142': 2 = 7!'. лА+ л'В = 180' (см. п. а), следовательно, ЛВ = !80' — 71' = 109'. Углы В и Р— противоположные углы параллелограмма, поэтому лВ = л'Р = 109'. г) лА+ лВ = 180', а так как л'.А = 2 л'.В по условию, то 2 ЛВ+ + 'В .= 180", 3 лВ = 180', л'В = 60', а ЛА = 120".
Итак, аА = .'С = 120', лВ =- 'Р = 60'. д) Рассмотрим треугольник АРС. По условию в этом треугольнике л'А = 16', ЛС = 37', поэтому л'Р = 180' — (16' + 37') = 127'. Углы Р и  — противоположные углы параллелограмма АВСР, поэтому л'В = лР = 127'. лР+ л'С = 180' (см. п. а), следовательно, л'С = 180' — !27' = 53'. 10 Гл й Чгглырехугольники Углы А и С противоположные углы параллелограмма АВСР, поэтому АА = г'.С = 53'. Ответ.
а) 84', 96', 84', 96', б) 117'30', 62'30', 1!7'30', 62'30', в) 71', 109', 71', 109', г) 120', 60', !20", 60', д) 53', 127', 53', 127'. 377. В параллелограмме Л!Л"РО. проведен перпендикуляр НН к прямой ЛХЯ, причем точка Н лежит на стороне ЛХЯ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что ЛХН = 3 см, НЯ = 5 см, АЛХЛГН = 30'. Решение. Точка Н лежит на отрезке М~~ (рис. 3), поэтому МН + НО = ЛХг.,) = 8 см и Хт'Р = ЛХО. = 8 см. В прямоугольном треугольнике Л|НН АЛХМН = 30', следовательно, АЛХ = 90' — 30' = 60', а катет МН, лежащий против угла в 30', равен половине гипотенузы.
Итак, ЛХЛг = РО = 6 см, Так как противоположные углы параллелограмма равны, то АР = = л'ЛХ = 60', Лйг = 180' — л'ЛХ = 120', лГ;) = Лдг = !20'. Ответ. 6 см, 8 см, 6 см, 8 см; 60', 120', 60', !20'. 379. Из вершин В и Р параллелограмма АВСР, у которого АВ ф ВС и АА острый, проведены перпендикуляры ВК и РМ к прямой АС. Докажите, что четырехугольник ВМРК вЂ” параллелограмм Решение. Пусть в параллелограмме АВСР углы ВАК, РСЛХ, ВКЛХ, РЛХК обозначены цифрами 1, 2, 3, 4 соответственно (рис. 4).
Рассмотрим прямоугольные треугольники АКВ и СМР. Эти треугольники равнь| по гипотенузе и острому углу (АВ = РС по свойству противоположных сторон параллелограмма, л'1 = А2, так как эти углы — накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и СР секущей АС), поэтому ВК = РМ.
По условию г'3 = А4 = 90', и эти углы — накрест лежащие при пересечении прямых ВК и РЛХ секущей ХтЛХ, поэтому ВК ~ РЛХ. Итак, в четырехугольнике ВМРК стороны ВК и РЛХ равны и параллельны, поэтому четырехугольник ВЛХРК вЂ” параллелограмм (признак 1' параллелограмма, п.43 учебника). 380.
На сторонах АВ, ВС, СР и РА четырехугольника АВСР отмечены соответственно точки ЛХ, Лг, Р и СХ так, что АЛХ = СР, ВХ = РО, ВМ =- = РР, ЛгС = ОА. Докажите, что АВСР и ЛХМРО. — параллелограммы. А Рис 4 Рис 3 Э 2. Параллелогралглг и трапеция Решен не. 1) Рассмотрим четырехугольник АВС1Э (рис. 5). Так как АВ = АЛХ+ ЛХВ, ОС = РР + РС и по условию АЛХ = РС, ЛХВ =- = Х1Р, то АВ =- РС. Аналогично можно доказать ВС =- АО. Итак, в четырехугольнике АВСХ) противоположные стороны попарно равны, поэтому четырехугольник АВСХ) — параллелограмм (признак 2', п.43 учебника).
2) Треугольники ЛХАО и РСХх' равны по двум сторонам и углу между ними (АЛХ = СР, АЯ = Сдг — по условию, углы А и С равны как противоположные углы параллелограмма АВСВ), следовательно, ЛХЯ =. РК. Аналогично можно доказать, что треугольники ЛХВХх и РВО равны и, следовательно, ЛХЛХ = РО, Итак, в четырехугольнике ЛХЛгРЯ противоположные стороны попарно равны, поэтому ЛХ1х'РьХ вЂ” параллелограмм. 381. На рисунке 163 учебника изображены два одинаковых колеса тепловоза Радиусы Оы4 и ОзВ равны Стержень АВ, длина которого равна расстоянию О~О между центрами колес, передает движение от одного колеса к другому Докажите, что отрезки АВ и О~Оа либо параллельны, либо лежат иа одной прямой Ре ш е н и е.
Рассмотрим положение стержня АВ, показанное на рисунке б. Четырехугольник О~АВОв — параллелограмм, так как его противоположные стороны равны; О~А = ОвВ и О~Оз = АВ гпо условию), поэтому АВ ~ О~Оа. Так как ~АО~Ов = аВОвВп где угол ВОвВ~ — смежный с углом ВОз06 то при повороте колеса на угол АО~Оз точка А совместится с некоторой точкой А~ прямой О~Ою а точка  — с некоторой точкой В~ этой прямой и, следовательно, отрезки АВ и О~Ов будут лежать на одной прямой. Итак, отрезки АВ и О~От либо параллельны, либо лежат на одной прямой. 382. Диагонали параллелограмма АВСР пересекаются в точке О Докажите, что четырехугольник А~В~С~Рп вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и Оо, — параллело~рами Решение. Так как диагонали АС и ВХ) параллелограмма АВСР точкой пересечения делятся пополам, то ВО = ОР, а так как точки В~ и Р, — середины отрезков ВО и ОХ), то В~О = ООп Аналогично можно доказать, что А~О = ОСп Таким образом, в четырехугольнике Рис.
5 Рис. 6 12 Гл В Челгырехргольники А|ВгС11Э1 диагонали АгС1 и В~Р1 пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, этот четырехугольник— параллелограмм (признак 3' параллелограмма, п.43 учебника). 383. На диагонали ВВ параллелограмма АВСР отмечены две точки Р и Сй так, что РВ = (ХР.
Докажите, что четырехугольник АРССХ вЂ” параллелограмм. Р е ш е н и е. Возможны два случая. 1) Точка Р лежит между точками В и Я (рис.7, а). Так как АВ ~~ СР, то и'АВР = и'СХ)В и ЬАВР = глСРС~ по двум сторонам и углу между ними (АВ = СР, РВ = Я~Х), и'АВР = ~СХ)Я).
Отсюда следует, что АР = СО. Аналогично доказывается, что ХтАХ1Я =- = сзСВР и поэтому АЯ =- СР. Итак, в четырехугольнике АРСО противоположные стороны попарно равны (АР = СЯ, АО = СР), поэтому АРСц — параллелограмм (признак 2', п.43 учебника). 2) Точка О лежит между точками В и Р (рис. 7, б). В этом случае из равенства ВР = РСХ получаем: РР =- ЯВ, после чего доказательство утверждения, что четырехугольник АРСΠ— параллелограмм, проводится так же, как в первом случае. 386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.
Решение. Пусть точки М и Лг середины боковых сторон АВ и СР трапеции АВСР. Проведем через точку ЛХ прямую, параллельную основаниям АХ) и ВС трапеции АВСХ). Эта прямая по теореме Фалеса (задача 385 учебника) пересечет отрезок СХ) в его середине, т. е. пройдет через точку Лг. Таким образом, отрезок ЛХЛг, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции. 387.
Найдите углы В и В трапеции ЛВСР с основаниями ЛВ и ВС, если кА = 36', кС = 117'. Р е ш е н и е. В трапеции АВСР основания АР и ВС параллельны, углы А и В, углы С и  — односторонние углы при пересечении Рис. 7 Э 2. Параллелограмм и трапеция параллельных прямых ЛР и ВС секущими АВ и СР соответственно, поэтому 'В =- 180' — г'Л =. 180' — 36' = 144', хР = 180' — г'.С = 180' — 117' = 63'. Ответ. л'В = 144', л'Р = 63'.
388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны, б) диагонали равны Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию АВСР с основаниями АР и ВС. Пусть АР ) ВС. а) Проведем прямую ВЕ, параллельную прямой СР, Š— точка на отрезке АР (рис.8, а). Так как ВСРŠ— параллелограмм, то СР = ВЕ. Но СР = АВ (АВСР равнобедренная трапеция), поэтому АВ = ВЕ, т. е. треугольник АВЕ равнобедренный и, значит, кА — — ГАВЕЛ. Так как ВЕ ~ СР, то г'ВЕА = г'Р, следовательно, л'А = г'Р, т. е. углы при основании АР равны.
Далее, л'.В = 180' — л'.А, г'.С =- 180' — л'Р, поэтому г'.В = г'.С. Итак, углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны. б) Треугольники АВР и РСА равны по двум сторонам и углу между ними (АВ = СР, АР общая сторона, л'.А = г'Р по доказанному в п.а) (рис.8, б), следовательно, ВР = АС. 389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.
Решение, а) Пусть в трапеции АВСР с основаниями ЛР и ВС ВС ( АР, л'.А = 'Р (рис.9, а). Проведем прямую СЕ, параллельную прямой АВ (точка Е лежит на прямой АР). Тогда а ! и аЗ вЂ” соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и СЕ секущей АР, поэтому г'3 = л'!. По условию х! = г'2, следовательно, к2 = г'3 и поэтому треугольник ЕСР равнобедренный: СР = СЕ. Так как четырехугольник АВСŠ— параллелограмм, то СЕ = = АВ, а так как СЕ = СР, то АВ = СР, т, е. трапеция АВСР— равнобедренная. В С В С Рис.
8 14 Гл Х Челгиргкугольники В С В С Рис. 9 б) Пусть в трапеции АВСХ) с основаниями АР и ВС диагонали .4С и ВР равны (рис.9, 6). Через вершину С проведем прямую СЕ, параллельную диагонали ВР (точка Е лежит на прямой АР). Образовавшийся четырехугольник ВСЕР— параллелограмм (ВС ~~ РЕ и ВР ~~ СЕ), поэтому СЕ = = В.Р = АС и, следовательно, треугольник АСЕ равнобедренный с основанием АЕ, а значит, х'.! = л3. Так как л2 = г'3 (соответственные углы при пересечении параллельных прямых ВР и СЕ секущей АЕ) и л'.! = л3, то г'.1 =. г'.2.
ХзАСР = ХтРВА по двум сторонам и углу между ними (АС = РВ по условию, АР— общая сторона, г'! = л2), следовательно, АВ = = СР, т. е. трапеция АВСР равнобедренная. 390. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68'. Найдите остальные углы трапеции Решен не. Пусть в равнобедренной трапеции АВСР с основаниями АР и ВС лА = 68'. Так как углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны (задача 388, а), то лР = лА = 68'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
