atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Углы А и  — односторонние углы при пересечении параллельных прямых АР и ВС секущей АВ, поэтому ~В = 180' — 68' = 112', ~С = ~В = 112'. Ответ. 68' 1!2' 112'. 391. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости. Решение. Рассмотрим две плитки две равные равнобедренные трапеции АВСР и А1В1С~Р1 (АВ = СР = А~В1 =- С|Рн АР = =А1Рн ВС=В1СН лА=лР=лА~=лРН лВ=лС=лВ~ = .= л'.С1 (рнс.10, а)). Приложим эти трапеции друг к другу так, чтобы совместились их равные боковые стороны СР и С1РН причем точка С совместилась с Рн а точка Р с С1 (рис.10, б).
Тогда основания ВС и А1Р1 будут лежать на одной прямой, так как сумма углов С и Р1 равна 180'. Действительно, л'.С + л'.Р =- 180', а хР =- л'.Ры поэтому лС; ~Р~ = 180'. 15 Э 2. Параллелограмм и гпрапеция с, СР, РС, б Рис. !О Аналогично, основания АР и В1С1 также будут лежать на одной прямой, причем ВА1 ~ АВ~ (см. рис.!О, б).
Приставляя последовательно указанным способом равные трапеции, можно покрыть любую часть полосы между параллельными прямыми АВ| и ВАь В свою очередь, с помощью таких параллельных полос можно покрыть любую часть плоскости (рис. 10, в). 392. Основания прямоугольной трапеции равны а и 6, один из углов равен о Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4 см„6 = 7 см, о = 60'! б) меньшую боковую сторону трапеции, если а = 10 см, 6 = 15 см, о = 45'.
Р е ш е н и е. Пусть в прямоугольной трапепии АВСЛ с основаниями АР = — Ь и ВС .= а (АР > ВС): ЛА =- л'В = 90', лР = о (рис. 1!). а) Проведем прямую СЕ, параллельную АВ (Е точка на стороне АР), тогда четырехугольник АВСŠ— параллелограмм, поэтому АЕ = ВС = а = 4 см, АВ = СЕ и так как л'.А = 90', то лСЕА = 90'. В прямоугольном треугольнике СЕР ЕР = АР— АЕ = 6 — а = 7 см — 4 см = = 3 см, л'С = 90' — л'Р = 90' — бО' = 30', поэтому СР = 2. ЕР = 6 см. Так как СР— гипотенуза, а СŠ— катет прямоугольного треугольника СЕР, то Рис. 11 16 7л 1 Чеглырехуго,гьники СР > СЕ =- АВ, поэтому СР ббльшая боковая сторона трапеции АВСР. Итак, ббльшая боковая сторона трапеции равна 6 см.
б) В прямоугольном треугольнике СЕР ЕР = АР— АЕ = Ь вЂ” и = 15 см — 10 см = 5 см, к'Р = о = 45', поэтому л'С =- 90' — с'Р =. 45' и, значит, треугольник СЕР равнобедренный: СЕ = ЕР = 5 см. Следовательно, АВ .= СЕ =- 5 см, т. е. меньшая боковая сторона трапеции равна 5 см. Ответ: а) 6 см; б) 5 см. 393. Постройте параллелограмм, а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними. Решение. а) Пусть даны отрезки Р~О1 и РзЯз и угол ггк. Требуется построить параллелограмм АВСР, у которого смежные стороны, скажем, АВ и АР, равны соответственно отрезкам Р1 О1 и РЯз, а угол ВАР равен данному углу Ыс.
Сначала построим треугольник АВР по двум заданным сторонам и углу между ними (п.38, задача 1), а затем достроим его до параллелограмма. Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках Р|Я1 и РзЩ и неразвернутом угле Йй задача имеет единственное решение. б) Пусть даны отрезки Р~О1 и РЯз и угол гг)с. Требуется построить параллелограмм АВСР, у которого диагонали АС и ВР равны соответственно данным отрезкам Р1 Щ и РзЯш угол между ними равен углу )й. Сначала построим угол АОВ, равный данному углу 6)ч а затем на сторонах этого угла и их продолжениях отложим отрезки ОА = ! = ОС = — Р1ОП ОВ = ОР = — РЯш Четырехугольник АВСР и есть 1 2 ' 2 искомый параллелограмм. Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках Р~Я1 и Раб~в и неразвернутом угле йй задача имеет единственное решение.
394. Даны три точки Л, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить) Р е ш е н и е. Пусть А, В, С вЂ” данные точки, не лежащие на одной прямой. Соединим попарно эти точки отрезками и через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.
12) (задача 222). Четырехугольники А1ВАС, С~АСВ, В|АВС вЂ” параллелограммы, так как их противоположные стороны попарно параллельны. Каждый из них удовлетворяет условию задачи. Задача, очевидно, имеет только эти три решения, так 17 а 2. Параллелограмм и трапеция как не существует других прямых, проходящих через точки А, В, С и параллельных прямым ВС, АС, ЛВ соответственно.
Ответ. Три. 395. Даны острый угол п)с и два отрезка Р~б)~ и Рзсгз. Постройте параллелограмм АВСР так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и РС равнялось Р~ 13и АВ =- РЯз и л'А = ай)с Решение. Построим прямоугольный треугольник АРЕ по катету РЕ = Р1()~ и противолежащему острому углу А, равному данному углу Ьй (задача 314, б). На луче АЕ отложим отрезок АВ, равный данному отрезку Рзб1з (рис. 13). Через точки В и Р проведем прямые, параллельные прямым АР и АВ соответственно. Они пересекаются в некоторой точке С. Четырехугольник АВСР по построению параллелограмм, в котором ЛВ = Раста, г'.А = кй)ч и так как РЕ Х АВ, то РŠ— расстояние между параллельными прямыми АВ и СР, причем РЕ = РЯи Итак, построенный параллелограмм АВСР удовлетворяет всем условиям задачи.
Ясно, что если л'А ( !80', то задача имеет единственное решение. 397. Постройте равнобедренную трапецию АВСР. а) по основанию АР, углу А и боковой стороне АВ; б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали ВР Ре ш е н не. а) Пусть даны дй)с и отрезки М)т' и М~М~ (рис. 14, а). Требуется построить трапецию АВСР такую, что АР ~ ВС, АВ = СР, АР .= МХт, АВ = М~НП кА = байки Построение. а) Построим ЬАВР так, чтобы АХ) = М)я', АВ = = М17г и дА = л'.)г)с (см. и. 38, задача 1) (рис. 14, б). Через точку В проведем прямую а, параллельную прямой АР. Затем от луча РА отложим угол АРЕ, равный углу А (см.
рис. 14, 6). Точку пересечения луча РЕ с прямой о, обозначим буквой С. Четырехугольник АВСР и есть искомая трапеция, Действительно, по построению ВС ~ АХ1, а стороны АВ и СР не параллельны (если допустить, Рис. 13 Рис. 12 18 Гл В Чалгьгрехргольники и к М Лг Рис. 14 Рг й г я, я Рис. 15 что АВ ~ СР, то кА т к'.Р = 180', а так как кА = — кР и к'.А+ к'.Р = = 180', то к'.А = к'.Р = 90', но угол равнобедренной трапеции не может быть прямым). По построению АР = ЛХЛг, АВ = Мгдгн лА = к')тк, а так как к'.Р = к'.А 1по построению), то трапеция АВСР— равнобедренная 1задача 389, а).
Таким образом, трапеция АВСР удовлетворяет всем условиям задачи. Если угол И вЂ” тупой, то задача имеет единственное решение. Если же угол 6Л вЂ” острый, то задача имеет единственное решение, если луч РЕ лежит во внешней области угла АРВ, и не имеет решения, если луч РЕ лежит внутри угла АВР или совпадает с лучом РВ. б) Пусть даны отрезки ЛХЛг, ЛХ~Лг~ и ЛХядгя. Требуется построить трапепию АВСР такую, что АР ~ ВС, АВ = СР, ВС = ЛХХт', АВ = ЛХ~ Лги ВР = ЛХзйуз.
Построение. Сначала построим треугольник ВСР по трем сторонам так, чтобы ВС = ЛХЛг, РС = М~Хгг'и ВР = ЛХядгв, а затем достроим его до равнобедренной трапеции АВСР гсм. п.а). Задача не будет иметь решения, если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других отрезков. 398. Постройте прямоугольную трапецию АВСР по основаниям и боковой стороне АР, перпендикулярной к основаниям. ре ше н и е. Пусть даны отрезки Р~СХм РЯя, РЯз (рис. 15, а). Требуется построить прямоугольную трапецию АВСР так, чтобы ее бо- 19 З д.
Прямоугольник, ромб, квадрат ковая сторона АР, перпендикулярная к основаниям, была равна Р~ОН а основания РС и АВ были равны соответственно Рзбтз и Раааа. Проведем две взаимно перпендикулярные прямые и и 6, пересекающиеся в точке А, и от точки А на прямой а отложим отрезок АВ, равный данному отрезку РзЯз, а на прямой 5 -- отрезок АР, равный данному отрезку РЯ1 (рис.15, б). Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой АВ (задача 222), и от точки Р отложим на ней отрезок РС, равный данному отрезку Рсва так, чтобы точка С лежала по ту же сторону от прямой АР, что и точка В.
Соединив точки В и С отрезком, получим трапецию АВСР. Построенная трапеция удовлетворяет всем условиям задачи. Задача имеет единственное решение. ф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат 399. Докажите, что параллелограмм, один нз углов которого прямой, является прямоугольником. Решение. Пусть в параллелограмме АВСР г'А = — 90'. Тогда и г'.С = 90', так как противоположные углы параллелограмма равны.
г'.В = 180' — г'.А = 90', г'.Р = г'.В = 90'. Итак, все углы параллелограмма АВСР прямые, поэтому этот параллелограмм — прямоугольник (по определению). 400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник является прямоугольником Решение. Пусть в четырехугольнике АВСР все углы прямые.
Так как аА = г'.В = 90', то АР ~ ВС, а так как г'.А = г'.Р = 90', то АВ ~ РС. Таким образом, противоположные стороны четырехугольника АВСР попарно параллельны, поэтому четырехугольник АВСР— параллелограмм, а так как все его углы прямые, то АВСР— прямоугольник. 401. Найдите периметр прямоугольника ЛВСР, если биссектриса угла Л делит: а) сторону ВС на отрезки 45,6 см и?,85 см; б) сторону РС на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм. Р е ш е н н е. а) Возможны два случая. В С 1) Пусть биссектриса угла А пересекает сто- 3 рону ВС в точке Е так, что ВЕ =- 45,6 см, ЕС = 7,85 см (рнс. 16).
Так как АР ~ ВС, то г'2 = г'3, а г'2 = г'! — ! по условию, поэтому г'.! =- г'.3. Следовательно, ЛАВŠ— равнобедренный и поэтому АВ = = ВЕ = 45,6 см, ВС = ВЕ+ ЕС = 45,6 ем + Рис 16 + 7,85 см = 53,45 см. Рлноо = 2(АВ 6 АР) = 2(45,6 + 53,45) см = 2 . 99,05 см =!98,1 см. Гл д Чеяырехугольники 20 2) Пусть ВЕ = 7,85 см, ЕС = 45,6 см, тогда АВ = ВЕ = 7,85 см и Рлвсв = 2(7,85 см+ 53,45 см) .= 2 61,3 см = 122,6 см. б) Возможны два случая.
В В 1) РЕ=4,5 дм, СЕ=2,7 дм (рис.!7). Так как ХхАРЕ равнобедренный (см. п. а), то АР = РЕ = 4,5 дм; РС = 4,5 дм+ 2,7 дм = 7,2 дм. Рлвсв = 2(4,5 дм + 7,2 дм) = 2 х х 11,7 дм = 23,4 дм. 2) РЕ=2,7 дм, СЕ=4,5 дм. В этом случае АР = РЕ' = 2,7 дм, Рис. 17 РС = 7,2 дм. Рлвсв = 2(2,7+ 7,2) дм = 2 9,9 дм = 19,8 дм. От в е т. а) 198,1 см или 122,6 см; б) 23,4 дм или 19,8 дм.
403. В прямоугольнике АВСР диагонали пересекаются в точке О Найдите периметр треугольника АОВ, если лСАР = 30', АС = 12 см. Р е ш е н и е. Так как АВСР— прямоугольник, то его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому ХтАОВ равнобедренный, боковая сторона которого равна 6 см. ХхАРС вЂ” прямоугольный с гипотенузой АС, равной 12 см, и ост- 1 рым углом А, равным 30', поэтому катет СР = — АС = 6 см. АВ = 2 = СР = 6 см. Таким образом, ггАО — равносторонний и Рлов = = 3. 6 см = 18 см. Ответ.
18 см. 404. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Р е ш е н и е. Пусть ВЛХ вЂ” медиана прямоугольного треугольника ! АВС, проведенная к гипотенузе АС. Докажем, что ВЛХ = —, АС. 6 Рассмотрим четырехугольник АВСР (рис.18), в котором Р точка, симметричная точке В относительно точки ЛХ. В четырехугольнике АВСР ВЛХ = ЛХР (так как точки В и Р симметричны относительно точки ЛХ), АЛХ = ЛХС по условию, поэтому четырехугольник АВСР параллелограмм (признак 3', п.43).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
