Главная » Просмотр файлов » В.А.Зорич-Математический анализ(часть2)

В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 96

Файл №522404 В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (В.А. Зорич - Математический анализ) 96 страницаВ.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404) страница 962013-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 96)

1 и примере 1 исходное семейство «ступенек» б„, конечно, является б-образным при а-ьО. Приведем другие, примеры б-образных семейств функций. П р и ме р 2. Пусть йе 1«-~-1« — произвольная неотрицательная интегрируемая на Р финитная функция такая, что ~>р(х)д»=1. '! /»> Прн а)0 построим функции /2 (х):= — >р( — ). Семейство этих функций при а->-+О, очевидно, является аппроксимативной единицей (см, рис. 101).

П р н м е р 3. Рассмотрим последовательность функций при >х(~1, (> 2»)в 0 при >х>) 1. Для того чтобы установить б-образность этой последовательности, надо лишь проверить, что, кроме условий а), Ь) для нее при базе и-ьоо выполнено и условие с) определения 4. Но ведь при любом вен)О, 1) ! ! 0~~ (1 — х')" ах(~(1 — е')" /(х= =(1 — е')'(1 — е)- О, когда п->-оо, откуда и следует, что условие с) выполнено.

П р и м е р 4. Пусть и/2 соз»в(х)7 ~ соз»вх/(х при >х(~п(2, йв(Х)= 0 при >х>) и/2. Как и в примере 3, здесь остается проверить лишь условие с). Заметим сначала, что Г(п+ — ) Г( — ) Г( — ') соз "хйх= РВ(п+ о, о) — о Г(„1 ° „) С другой стороны, при е ен 10, п72[ а/2 а/2 СОР Х а» ~ ~ СОЗ«в Е йХ С вЂ” (СОЗ В)'". в в Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что, каково бы ни было число е ен 10, п)21, и/2 ) й„(х) /(х-+.0 при п-ьоо, в откуда и следует, что условие с) определения 4 выполнено. Определение 5. Будем говорить, что функций 7! б-~-С 12/>вномерно непрерывна на множестве Ес:б, если для любого в)0 можно указать число р)0 такое, что при любом х~ Е и любом у ен 6 из р-окрестности (/вь (х) точки х в б выполненосоотно- >шенне >/ (х) — 7 (у) ~: е. В частности, если Е=б, мы возвращаемся к определению ';функции, равномерно непрерывной на всей своей области опре- 'деления. Теперь докажем следующее основное Утверждение 5.

Лусть /: 1« — ~С вЂ” ограниченная функция, :а (бв», ае= А) — б-образное семейство функций при а — о>. Если тори любом аен А свертка /во суи(ествует и функция ~ равно- ;мерно непрерывна на множестве Ес:1«, то (/ в о ) (х) =а / (х) на Е при а -> ь>.

Итак, утверждается, что семейство функций /вца равномерно "бходится к функции 7 на множестве Е ее равномерной непрерыв- -ности. В частности, если Е состоит только нз одной точки х, условие равномерной непрерывности / на Е сводится к условию 'непрерывности. функции / в 'точке х, и мы получаем, что фьб )(х)-~7(х) при а-ьь>. Это и послужило нам в свое время 'поводом для записи соотношения (7). Докажем утверждение 5. 4 Пусть >/(х) ~~М на 1«. По числу е)0 подберем в соот- ,ветствии с определением 5 число р)0 и обозначим через Г/(0) .ф.окрестность нуля в 1;>.

Учитывая симметричность свертки, получаем следующие Мнении, справедливые однбвременно для всех точек х ~ Е' 'И/в/»а)(х) — /(х)! ~)/'(» — У)/Аа(у)йу — /(х)~~ >я - ~ 1 д(х-у) — 1(х)) Л„(у) йу~:ц; ') '>/( — у) — Г(х)~>72 (у)йу+ $ ~У(х-у) — Р(х)) й (у)йу( и !о> и;и !о> (а $ Аа(у)ду+2М $ /1!а(у)>1У~Е+2М $ ба(у)йу и <о> е",и!о> и,и!о> При а-ьо> последний интеграл стремится к нулю, значит, фачиная с какого-то момента, при всех х он Е будет выполнено ',42вравенство > (/ в б ) (х) - / (») ) .с 2е, :что и завершает доказательство утверждения 5. , Следствие 1.

Любую финитную непрерывную на Р функцию ьцожно равномерно аппроксимировать финитными бесконечно дифг 2/)еренци руемыми функциями, о ч, сэаРткА ФункциЙ » Т„(х) = ~ алсозйх+Ьлз)пйх. 448 Гл ХУП ИитЕГРАЛЫ ЗАВИСящнв ОТ ПАРАМЕТРА 4 Проверим, что в указанном смысле С', ' всюду плотно в С,. Пусть, например, !р(х) = й.ехр(- — о) при (х!(1, 0 при )х!)1, где коэффициент й выбран так, что ~ !р(х)е(х=!. Функция !р финнтна и бесконечно дифференцируема. В таком случае семейство бесконечно дифференцируемых функций 6„= 1 Я! = — !р( — 1, как отмечалось в примере 2, является 6-образным при а (а~' !х-Р+О.

Если ЬыС„то ясно, что и Ь'»Л„~С,. Кроме того, по утверждению 4 Ь'ФЛ„~С,' '. Наконец, из утверждения 5 вытекает, что )л Л„~~ на Я при а — э.+О. Замечание 2. Если рассматриваемая функция ~АССР при. надлежит классу С11,"', то, каково бы ни было значение и ы ~ [О, 1, ..., т], можно гарантировать, что (1»Л )!"1=»11»1 на )~ при а-Р+О. М ДЕйетВИтЕЛЬНО, В ЭТОМ СЛуЧаЕ (Ь'Л Л„)!»1 =Ь'!»ЬЛ Ь, (СМ. утверждение 4 и замечание 1). Остается сослаться на доказанное следствие 1.

о Сл едет в и е 2 (аппроксимационная теорема Вейерштрасса). Каждую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизить на этом отрезке алгебраическим многочленом. 4 Поскольку при линейной замене переменной многочлен переходит в многочлен, а непрерывность и равномерность аппроксимации функций сохраняются, следствие 2 достаточно проверить иа любом удобном нам отрезке [а, Ь]с Я. Будем поэтому считать, что 0(а(Ь:1, и пусть р=ппп (а, 1 — Ь). Заданную нам функцию 1~С[а, Ь] продолжимдо непрерывной на Я функции Р, полагая Р(х)=0 при хаЩО, 1[ и, например, линейно сопрягая 0 с 1'(а), ь'(Ь) с 0 на участках [О, а] и [Ь, 1] соответственно. Если теперь взять 6-образную последовательность функций Л„ нз примера 3, то на основании утверждения 5 можно заключить, Чта РФЛ„--лЬ'=Р)1», Ь1 На [а, Ь] Прн И-РСС. НО Прн Х я [а, Ь] С с [О, 1] Рл Л„(х)! $ Р(у) Л„(х — у)!(у=)Р(у) Л,(х-у)!(у= — чл о 1 ! / л -!»Ь!» О-О-л1»»л-!»О1(Х !»1*")»»- о О А О Последнее выражение является многочленом Р,„(х) степени 2п, и мы показали, что Ро„~) на [а, Ь] при п- сс.

3 а м е ч а н и е 3. Несколько развив проведенные рассуждения, можно показать, что теорема Вейерштрасса остается в силе, даже если отрезок [а, Ь] заменить произвольным, лежащим в Р компактом. Замечание 4. Нетрудно также проверить, что для любого открытого в й множества б и любой функции Ьен С' '(6) существует последовательность (Рл) полиномов такая, что при каждом п я (О, 1, ..., т] Р,"Ь=ль!»1 на любом компакте Ю с 6, когда й — ~ со. Если, кроме того, множество б ограничено и Ь" енС!"1(тт), то МОЖНО дОбИтЬСя, ЧтОбЫ РЛ"1=,[1»Ь На С Прн й — СО.

Заме чан ие 5. Подобно тому, как для доказательства следствия 2 была использована 6-образная последовательность примера 3, можно использовать последовательность из примера 4 и доказать, что любая 2л-периодическая функция на Р равномерно приближается тригонометрическими полиномами вида Выше использовались лишь 6-образные семейства финитных функций. Следует, однако, иметь в виду, что во многих случаях важную роль играют 6-образные семейства не финитных функций. Приведем только два примера.

! П р и м е р 5. Семейство функций ЛУ (х) = — ", при у — + 0 и х'+ч' является 6-образным на Р, так как 6 (х)= 0 при у) О, сл ~ Ьо(х)г(х= — агс1д("-~~ =1 н при любом р)0 справедливо соотношение ЛУ(х)е(х= — „агс1я Р— 1, -Р когда у- +О. Если /: Я-~-Я вЂ” непрерывная и ограниченная функция, то функция ! ! / !о) Р и(х, У)= — „] (х 11,+, !(О, (61 представляющая собой свертку !'л Ло, определена при любых хопа и у>0. !В В. А. Зорнч.

ч. И Гл. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА З 4 СВЕРТКА ФУНКЦИЙ И нтеграл (8), называемый интегралом Пуассона для полуплоскости, как легко проверить (используя мажорантный признак равномерной сходнмости), является ограниченной бесконечно дифференцируемой функцией в полуплоскости ~к« = ((х, у) ее Р~у)0). Дифференцируя под знаком интеграла, убеждаемся, что при у) 0 д~И 4ри I да да 6Е:= —,, + — =)*1' — + — )Л =О ла дда. 1 дла два ) т. е. и — гармоническая функция. Н а основании утверждения 5 можно гарантировать также, что и(х, у)- )(х) при -у- О.

Таким образом, интеграл (8) решает задачу построения ограниченной функции, гармонической в полу- плоскости 14+ и принимающей заданные граничные значения на Щ+. л' Пример 6. Семейство функций 6,=* — е " является б- 2 Р'ай + ал образным на )с при 1-«+ О. Действительно, 6,(х)) О; ~ Л,(х) =*1, 4« ОР поскольку ~ е ' ЕЬ У' и (интеграл Эйлера — Пуассона); иаков « нец, при любом р) 0 выполнено соотношение и л* Р/а У'7 =е 4'4(х Р—, ~ е *ЕЬ- 1, когда 1-«+О. -Р -рла аг7 Если 1 — непрерывная и, например; ограниченная функция иа 1С, то функция (К вЂ” ГР и(х, 1)= — 1 ~($)е "' 41$, 2~/М д (9) представляющая собой свертку /«6Н очевидно, бесконечно диф- ференцируема при 1= О.

Дифференцируя под знаком интеграла при 1 )О, получаем, что ди даи Гд У а да д„а 1«( д4 дха ~ 64=*0, т. е, функция и удовлетворяет одномерному уравнению теплопро. водности о начальным уаловием и(х, 0) 1(х). Последнее равен- 'ство следует трактовать как предельное соотношение и(х, 1)- ° -«~(х) при 1-«+О, вытекающее из утверждения 5, з(Е 4. Начальные представления о распределениях, а. Определение обобщенных функций. В п. ! настоящего параэрафа мы на эвристическом уровне вывели формулУ (1), дающую возможность определить отклик линейного преобразователя А на входной сигнал 1 по известной аппаратной функции Е прибора А.

При определении аппаратной функции прибора существенно использовалось некоторое интуитивное представление о единичном импульсном воздействии и описывающей его 6-функцни. ясно, однако, что 6-функция на самом-то деле не является функцией в классическом понимании этого термина,''поскольку она должна обладать следующим противоречивым с классической точки зрения набором свойств: '6 (х) ) 0 на К 6 (х) = 0 при х чь 0; ~ 6 (х) 4(х = 1. Понятия, связанные с линейными операторами, сверткой, бфункцией и аппаратной функцией прибора приобретают точные математические описания в так называемой теории обобщенных функций или, иначе, теории распределений Исходные посылки втой теории и начальные сведения о все шире используемом ее аппарате мы собираемся сейчас изложить. Пример 7. Рассмотрим материальную точку массы па, способную перемещаться вдоль оси и связанную с началом координат упругой пружиной; й — коэффициент упругости пружины.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
7,39 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее