В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 96
Текст из файла (страница 96)
1 и примере 1 исходное семейство «ступенек» б„, конечно, является б-образным при а-ьО. Приведем другие, примеры б-образных семейств функций. П р и ме р 2. Пусть йе 1«-~-1« — произвольная неотрицательная интегрируемая на Р финитная функция такая, что ~>р(х)д»=1. '! /»> Прн а)0 построим функции /2 (х):= — >р( — ). Семейство этих функций при а->-+О, очевидно, является аппроксимативной единицей (см, рис. 101).
П р н м е р 3. Рассмотрим последовательность функций при >х(~1, (> 2»)в 0 при >х>) 1. Для того чтобы установить б-образность этой последовательности, надо лишь проверить, что, кроме условий а), Ь) для нее при базе и-ьоо выполнено и условие с) определения 4. Но ведь при любом вен)О, 1) ! ! 0~~ (1 — х')" ах(~(1 — е')" /(х= =(1 — е')'(1 — е)- О, когда п->-оо, откуда и следует, что условие с) выполнено.
П р и м е р 4. Пусть и/2 соз»в(х)7 ~ соз»вх/(х при >х(~п(2, йв(Х)= 0 при >х>) и/2. Как и в примере 3, здесь остается проверить лишь условие с). Заметим сначала, что Г(п+ — ) Г( — ) Г( — ') соз "хйх= РВ(п+ о, о) — о Г(„1 ° „) С другой стороны, при е ен 10, п72[ а/2 а/2 СОР Х а» ~ ~ СОЗ«в Е йХ С вЂ” (СОЗ В)'". в в Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что, каково бы ни было число е ен 10, п)21, и/2 ) й„(х) /(х-+.0 при п-ьоо, в откуда и следует, что условие с) определения 4 выполнено. Определение 5. Будем говорить, что функций 7! б-~-С 12/>вномерно непрерывна на множестве Ес:б, если для любого в)0 можно указать число р)0 такое, что при любом х~ Е и любом у ен 6 из р-окрестности (/вь (х) точки х в б выполненосоотно- >шенне >/ (х) — 7 (у) ~: е. В частности, если Е=б, мы возвращаемся к определению ';функции, равномерно непрерывной на всей своей области опре- 'деления. Теперь докажем следующее основное Утверждение 5.
Лусть /: 1« — ~С вЂ” ограниченная функция, :а (бв», ае= А) — б-образное семейство функций при а — о>. Если тори любом аен А свертка /во суи(ествует и функция ~ равно- ;мерно непрерывна на множестве Ес:1«, то (/ в о ) (х) =а / (х) на Е при а -> ь>.
Итак, утверждается, что семейство функций /вца равномерно "бходится к функции 7 на множестве Е ее равномерной непрерыв- -ности. В частности, если Е состоит только нз одной точки х, условие равномерной непрерывности / на Е сводится к условию 'непрерывности. функции / в 'точке х, и мы получаем, что фьб )(х)-~7(х) при а-ьь>. Это и послужило нам в свое время 'поводом для записи соотношения (7). Докажем утверждение 5. 4 Пусть >/(х) ~~М на 1«. По числу е)0 подберем в соот- ,ветствии с определением 5 число р)0 и обозначим через Г/(0) .ф.окрестность нуля в 1;>.
Учитывая симметричность свертки, получаем следующие Мнении, справедливые однбвременно для всех точек х ~ Е' 'И/в/»а)(х) — /(х)! ~)/'(» — У)/Аа(у)йу — /(х)~~ >я - ~ 1 д(х-у) — 1(х)) Л„(у) йу~:ц; ') '>/( — у) — Г(х)~>72 (у)йу+ $ ~У(х-у) — Р(х)) й (у)йу( и !о> и;и !о> (а $ Аа(у)ду+2М $ /1!а(у)>1У~Е+2М $ ба(у)йу и <о> е",и!о> и,и!о> При а-ьо> последний интеграл стремится к нулю, значит, фачиная с какого-то момента, при всех х он Е будет выполнено ',42вравенство > (/ в б ) (х) - / (») ) .с 2е, :что и завершает доказательство утверждения 5. , Следствие 1.
Любую финитную непрерывную на Р функцию ьцожно равномерно аппроксимировать финитными бесконечно дифг 2/)еренци руемыми функциями, о ч, сэаРткА ФункциЙ » Т„(х) = ~ алсозйх+Ьлз)пйх. 448 Гл ХУП ИитЕГРАЛЫ ЗАВИСящнв ОТ ПАРАМЕТРА 4 Проверим, что в указанном смысле С', ' всюду плотно в С,. Пусть, например, !р(х) = й.ехр(- — о) при (х!(1, 0 при )х!)1, где коэффициент й выбран так, что ~ !р(х)е(х=!. Функция !р финнтна и бесконечно дифференцируема. В таком случае семейство бесконечно дифференцируемых функций 6„= 1 Я! = — !р( — 1, как отмечалось в примере 2, является 6-образным при а (а~' !х-Р+О.
Если ЬыС„то ясно, что и Ь'»Л„~С,. Кроме того, по утверждению 4 Ь'ФЛ„~С,' '. Наконец, из утверждения 5 вытекает, что )л Л„~~ на Я при а — э.+О. Замечание 2. Если рассматриваемая функция ~АССР при. надлежит классу С11,"', то, каково бы ни было значение и ы ~ [О, 1, ..., т], можно гарантировать, что (1»Л )!"1=»11»1 на )~ при а-Р+О. М ДЕйетВИтЕЛЬНО, В ЭТОМ СЛуЧаЕ (Ь'Л Л„)!»1 =Ь'!»ЬЛ Ь, (СМ. утверждение 4 и замечание 1). Остается сослаться на доказанное следствие 1.
о Сл едет в и е 2 (аппроксимационная теорема Вейерштрасса). Каждую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизить на этом отрезке алгебраическим многочленом. 4 Поскольку при линейной замене переменной многочлен переходит в многочлен, а непрерывность и равномерность аппроксимации функций сохраняются, следствие 2 достаточно проверить иа любом удобном нам отрезке [а, Ь]с Я. Будем поэтому считать, что 0(а(Ь:1, и пусть р=ппп (а, 1 — Ь). Заданную нам функцию 1~С[а, Ь] продолжимдо непрерывной на Я функции Р, полагая Р(х)=0 при хаЩО, 1[ и, например, линейно сопрягая 0 с 1'(а), ь'(Ь) с 0 на участках [О, а] и [Ь, 1] соответственно. Если теперь взять 6-образную последовательность функций Л„ нз примера 3, то на основании утверждения 5 можно заключить, Чта РФЛ„--лЬ'=Р)1», Ь1 На [а, Ь] Прн И-РСС. НО Прн Х я [а, Ь] С с [О, 1] Рл Л„(х)! $ Р(у) Л„(х — у)!(у=)Р(у) Л,(х-у)!(у= — чл о 1 ! / л -!»Ь!» О-О-л1»»л-!»О1(Х !»1*")»»- о О А О Последнее выражение является многочленом Р,„(х) степени 2п, и мы показали, что Ро„~) на [а, Ь] при п- сс.
3 а м е ч а н и е 3. Несколько развив проведенные рассуждения, можно показать, что теорема Вейерштрасса остается в силе, даже если отрезок [а, Ь] заменить произвольным, лежащим в Р компактом. Замечание 4. Нетрудно также проверить, что для любого открытого в й множества б и любой функции Ьен С' '(6) существует последовательность (Рл) полиномов такая, что при каждом п я (О, 1, ..., т] Р,"Ь=ль!»1 на любом компакте Ю с 6, когда й — ~ со. Если, кроме того, множество б ограничено и Ь" енС!"1(тт), то МОЖНО дОбИтЬСя, ЧтОбЫ РЛ"1=,[1»Ь На С Прн й — СО.
Заме чан ие 5. Подобно тому, как для доказательства следствия 2 была использована 6-образная последовательность примера 3, можно использовать последовательность из примера 4 и доказать, что любая 2л-периодическая функция на Р равномерно приближается тригонометрическими полиномами вида Выше использовались лишь 6-образные семейства финитных функций. Следует, однако, иметь в виду, что во многих случаях важную роль играют 6-образные семейства не финитных функций. Приведем только два примера.
! П р и м е р 5. Семейство функций ЛУ (х) = — ", при у — + 0 и х'+ч' является 6-образным на Р, так как 6 (х)= 0 при у) О, сл ~ Ьо(х)г(х= — агс1д("-~~ =1 н при любом р)0 справедливо соотношение ЛУ(х)е(х= — „агс1я Р— 1, -Р когда у- +О. Если /: Я-~-Я вЂ” непрерывная и ограниченная функция, то функция ! ! / !о) Р и(х, У)= — „] (х 11,+, !(О, (61 представляющая собой свертку !'л Ло, определена при любых хопа и у>0. !В В. А. Зорнч.
ч. И Гл. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА З 4 СВЕРТКА ФУНКЦИЙ И нтеграл (8), называемый интегралом Пуассона для полуплоскости, как легко проверить (используя мажорантный признак равномерной сходнмости), является ограниченной бесконечно дифференцируемой функцией в полуплоскости ~к« = ((х, у) ее Р~у)0). Дифференцируя под знаком интеграла, убеждаемся, что при у) 0 д~И 4ри I да да 6Е:= —,, + — =)*1' — + — )Л =О ла дда. 1 дла два ) т. е. и — гармоническая функция. Н а основании утверждения 5 можно гарантировать также, что и(х, у)- )(х) при -у- О.
Таким образом, интеграл (8) решает задачу построения ограниченной функции, гармонической в полу- плоскости 14+ и принимающей заданные граничные значения на Щ+. л' Пример 6. Семейство функций 6,=* — е " является б- 2 Р'ай + ал образным на )с при 1-«+ О. Действительно, 6,(х)) О; ~ Л,(х) =*1, 4« ОР поскольку ~ е ' ЕЬ У' и (интеграл Эйлера — Пуассона); иаков « нец, при любом р) 0 выполнено соотношение и л* Р/а У'7 =е 4'4(х Р—, ~ е *ЕЬ- 1, когда 1-«+О. -Р -рла аг7 Если 1 — непрерывная и, например; ограниченная функция иа 1С, то функция (К вЂ” ГР и(х, 1)= — 1 ~($)е "' 41$, 2~/М д (9) представляющая собой свертку /«6Н очевидно, бесконечно диф- ференцируема при 1= О.
Дифференцируя под знаком интеграла при 1 )О, получаем, что ди даи Гд У а да д„а 1«( д4 дха ~ 64=*0, т. е, функция и удовлетворяет одномерному уравнению теплопро. водности о начальным уаловием и(х, 0) 1(х). Последнее равен- 'ство следует трактовать как предельное соотношение и(х, 1)- ° -«~(х) при 1-«+О, вытекающее из утверждения 5, з(Е 4. Начальные представления о распределениях, а. Определение обобщенных функций. В п. ! настоящего параэрафа мы на эвристическом уровне вывели формулУ (1), дающую возможность определить отклик линейного преобразователя А на входной сигнал 1 по известной аппаратной функции Е прибора А.
При определении аппаратной функции прибора существенно использовалось некоторое интуитивное представление о единичном импульсном воздействии и описывающей его 6-функцни. ясно, однако, что 6-функция на самом-то деле не является функцией в классическом понимании этого термина,''поскольку она должна обладать следующим противоречивым с классической точки зрения набором свойств: '6 (х) ) 0 на К 6 (х) = 0 при х чь 0; ~ 6 (х) 4(х = 1. Понятия, связанные с линейными операторами, сверткой, бфункцией и аппаратной функцией прибора приобретают точные математические описания в так называемой теории обобщенных функций или, иначе, теории распределений Исходные посылки втой теории и начальные сведения о все шире используемом ее аппарате мы собираемся сейчас изложить. Пример 7. Рассмотрим материальную точку массы па, способную перемещаться вдоль оси и связанную с началом координат упругой пружиной; й — коэффициент упругости пружины.