В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 94
Текст из файла (страница 94)
ХИ!1, 2 2, пример 6.) Сопоставляя соотношения (15) и (16), приходим к формуле (14). $ Из формулы (14), в частности, следует, что г(-,'-) =)' . (17) И Заметим, что при у) 0 + СО Г(а) = у ~ х ге-"от(х,' о поэтому справедливо также равенство +СО (а + ) Уа ~ г а (1 ) (1 1 у)а+а используя которое с учетом формулы (7), получаем 'Г(а+(3).В(а, 6)= + ) г(уоо о (+у) .)(,-'( '- - О)С, о о-1 Лага-га-ыис1О,( 1( +со Г +со = 1 *'"' '1(и) '*"'*сг)с"= о о ° 1, О- с )с*= гго.г11> о о 4.
Некоторые примеры. Рассмотрим в заключение небольшую группу взаимосвязных примеров, в которых встречаются введенные здесь специальные функции В и Г. Пример !. о/о з(п' 'грсоза-11рг(ср= — В ( — — ). =- (- -' ° 1 /а (1 2 !2' 2 о (19) Нам остается объяснить отмеченное восклицательным знаком равенство. Вместо того чтобы объяснять законность перестановки указанных несобственных интегралов при любых а) 0 и ())О, воспользуемся примером 16 из 5 2, где интересующее иас равен. тво доказано в условиях, которые отвечают значениям а)1 и ! наших параметров а, р. Таким образом, при и) 1 и р) 1 рмула (!8) доказана.
Используя теперь формулы понижения (4), (4'), (9), убеж'даемся, что равенство (18) остается в силе при любых значениях а)0 и р)0. Ь Гл. ХЧ!!. ИНТЕГРАЛЪ1. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 1. Длина кривой, задаваемой а полярных координатах уравнением гл = /1 1 = ол соз лф, где л 1и )( и а ) О, выражается формулой аВ ! — — ) . [2' 2л 2. Покажите, что: а) Г (1) Г(2); Ь) производная Г' функции Г в некоторой точке х«ш [1, 2[ обращается в нуль; с) функция Г' является монотонно возрастающей на промежутке [О, + ос[; б) функция Г монотонно убывает на промежутке )О, х«[ и возрастает на промежутке [х«, + со[; 1 1! 1 1'- ° ~( -) — ° — ° и) и 1 !) Г(а) — при а-«+ 0; +СО 8) 11п! [ е- л лх = 1. л е« л — 1 л — ! 3. Формула Эдлера' Е: = и Г ~ — ) = = ' ° ° / 81 (2п) :=п ~.)= —. а=1 л-1 а.
Покажите, что е'=да рГ ! — )Г ~— '1л) ~ л Ь 1 пн-1 Ь. Проверьте, что Ее з!п — яп 2 — °... ° яп (л — 1)— л и л л — 1 2«и с. ИсходЯ из тождества — = дйж812 — е " /, полУчите пРи г-«1 поз — ! И' следовательно соотношение И(1 е л) А 1 а из него соотношение л-1 ° ° . Уп л 2л гад ай з!п —. 6. Используя последнее равенство, получите формулу Эйлера. 4. ФОРмУла Леэслндрл Г(а) Г~а+ 2) 2 „, Г(2а). 1/2 а. Покажите, что В(а, а) 2 [ — — 1 — — х) ) бх [14 !2 Ь, Сделав в предыдущем интеграле замену переменной, докажите, что В (а, а) = „ В! †, а).
1 /! с. Получите теперь формулу Лежандра. 4 3. ЭИЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ «1 8. Сохраняя обозначения. задачи б из 4 1, укажите путь, на котором .".с использованием интегралов Эйлера может быть выполнена вторая, более . деликатная часть указанной задачи. 1 а. Заметьте, чго при й = будет йй й и )'2 и/2 и/2 бр 1 С=Е= ~ 2/ 1 — — япзфг(ф, К /!' 1 / Ь 2 1 — — яп' ф Ь. После соответствующей замены переменных эти интегралы приводятся виду, из которого следует, что при 8=1/)г2 с, Теперь получается, что при 8=1/ ~2 ЕК-[- ЕК вЂ” КК=п/2 8. Инлмгрол Рапбе «) ~ 1п Г [х) /(х.
Покажите, что: 1 1 а. ) 1и Г (х) г(к = ) !п Г (! — х) бх. о о ! пш Ь. ~ 1п Г (х) ба= — (п и — — ~ !п яп к бх. 1 1 Г 2 и о о и/2 и/2 с. 1 !п яп к бх= ! !п з!п 2к г(х — — !п 2. [1 2 и/2 б. ~ !п зю к ба= — — 1п 2 2 о 1 е. ) !пГ(к) ух=!п)/2п. о. \ 7. Используя равенство +ел 1 1 Г (з) — — — уз-ге-.тг бу ;.а обосновав возможность изменения порядка соответствующих интегрирований, /проверьте, что: +с« соз ак пла 1 а. ~ — ба= (О < а < 1). о 2Г (а) соз— 2 «) Ж. Л. Раабе (1801 — 1859)-швейпарсинй математик и физии.
лр й 4. СВЕРТКА ФУНКЦИИ 439 438 Гл. ХУЦ. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА +ор Ь. дх= (О < 3 ° 2). Г и!и Ьх пЬЬ ' 2Г (()) мп —. 2 +ор Г з!пх интеграла Днрнхле — дх х +оп мп хз дх. о с. Получите теперь еще раз значение +ор н значение интегралов френеля ~ осе хтдх 8. Покажнте, что при а)! +СО ы ха 1 — д«=Г(а) ь (а), 1 где й (а) = у — „— дзота-Функция Римана.
л'( л" л=! 3. Формула Гаусса. В примере 0 4 3 гл. ХН! была уназаиа введенная Гауссом функция а(а+4) ... (а+л — 1) б (б+1) ... (б+л-!) Р(а, 6, 7, х): 1+ л!7 (7+ 1). ". (7+ л — 1) л 1 Р(а В 7 1) Г(7) Г(7- -Р) Г (7 — а) Г (7 — (1) ' з. Раскладывая функцию (1 — !«) Ь в ряд, покажите, что прн а) О, 7 — с! ) 0 н О < х <! интеграл 1 Р (х) - ~ ! ° (! — !) - (1 — гх)-Ь ат можно представнть в анде Р (х) = ~ , 'Рл х", п=о р 9' — 1) ...(() +л — 1) Г (а +л] Г (7 — а) где Р,— Г (7+л) Ь. Покажите, что Рп Г(а) Г(7 — а) а(а+!) ... (а+л — 1)(1($1+1) ... (()+л — 1) Г (7) л(7 (7+ 1) " (7+л — !) с. Докажите теперь, что прн а ) О, 7 — а = 0 н 0 < х < 1 (,)= Г .Р(а, Р.
7, «). Г (а) ° Г (7 — а) Г (7) д. Прн дополнительном условнн 7 — а — 6 ) 0 обоснуйте возможность перехода к пределу прн х-е 1 — 0 в обеих частях последнего равенства являющаяся суммой написанного гипергеометрнческого ряда. Оказывается имеет место следующая формула Гаусса: .в покажнте, что Г (а) Г (7 — а — 8) Г (а) Г (7 — а) Г(7 — р) Г(7) Р(а () 7 ') 'откупа'н следует формула Гаусса. 10. Формула Стирпинга *). Покажите, что! а. 1п 2« ~ прн ~х(<!. а=о Ь.
л+ — ) )п(1+ — )=!+в 2) ( л! 3 (2л+1)' 5 (2л+1)! 7 (2л+!)е 1 ... ('+-.')" н' ..— ' е Е12(п+ 1! л!еп е. а;, = , -монотонно убывзияцая последовательность. Л(л + 1721 12л 1, Ьл=а„е — монохонно возрастающая последовательность. ал — 'и+ 8. л!=сап+!!Зе 12", где 0<ба<1, з с= (пп ап= 11(п Ьл, л ор л ор Ь. Из соотношения мп нх=п«П (! — — ) прн «=1)2 вытекает формула л 1 ;Ьаллнса (л1)12л ! !.' 3/'илл 1пп — ' =. л (2л)1 й "2л !.т 1.
Имеет место формула Стирпинга з, 12л л( =)р 2пл ( — ) е " 0 < Ьл < 1 '(е~ р Г(х+1) угйлх( — 11 прн х- +со. (е) $4. Свертка функций н начальные сведения об обобщенных функциях 1. Свертка в физических задачах (наводящие соображення). '?азнообрззные приборы и системы живой и неживой природы '„осуществляют свои функции, отвечая соответствующим сигналом 7 ;р,ра,~ !, н, р,р р р пр ,') Д.
Стирлинг (1692 — 1770) — шотландский математик 440 Гл. ХЧП, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 44! 4 « СВЕРТКА ФУНКЦИЙ Система является оператором А, преобразующим входной сигнал 1 в сигнал 1=А1 на выходе. Разумеется, у каждого такого оператора своя область воспринимаемых сигналов (область определения) и своя форма ответа на них (область значений).
Удобной математической моделью для большого класса реальных процессов и аппаратов является линейный оператор А, сохраняющий сдвиги. Определение 1. Пусть А — линейный оператор, действующий на линейном пространстве определенных на 1> вещественноили комплекснозначных функций. Обозначим через Та оператор сдвига, действующий на том же пространстве по закону (Т,Д (1): =) (1 — 1,). Говорят, что оператор А инвариантен относительно сдвигов (или сохраняет сдвиги); если для л>обой функции 1 из области определения оператора А справедливо равенство А (Т<,)) = Т<. (А)) Если 1 — время, то соотношение А Ти =Ти ° А можно тракто. вать как предположение о том, что свойства прибора А неизменны во времени: реакции прибора на сигналы 1(1) и )'(1 — 1«) отличаются только сдвигом на 1» по времени и больше ничем.
Для любого прибора А возникают две следу>ощие основные задачи: во-первых, предугадать реакцию ) прибора на произвольное входное воздействие 1 и, во-вторых, зная сигнал 1 на выходе прибора, определить, если это возможно, поступив- 1 ! ший на прибор йходной сигнал 1. ! ! Сейчас на эвристическом уровне мы . ! ! решим первую из этих двух задач при! ! менительно к инвариантному относи- ! тельно сдвигов линейному оператору А. ! ! Простой, но очень важный факт состоит в том, что оказывается для описания — 1 .ррр р ор О а входной сигнал 1 достаточно знать отРис. !00.
клик Е прибора А яа импульсное воз- действие б. Оп р еде лен не 2. Отклйк Е(1) прибора А иа единичное импульсное воздействие б называют аппаратной функцией прибора (в оптике) или ампул»гной переходной функцией прибора (в электротехнике), Мы будем, как правило, пользоваться более коротким термином «аппаратная функция», Не вдаваясь пока в детали, скажем, что импульс имитируется, например, функцией б (1), изображенной на рис. 100, причем эта имитация считается все более точной по мере уменьшения дли- «ельиости а «импульса» при сохранении его общей «энергии» <х — = 1.
Вместо ступенчатых функций для имитации импульса ! можно использовать гладкие функции (рис. 101) 'с соблюдением естественных условий: ~~ = О, ~ )~ (1) Ш = 1, ~ ~ (1) <(1 -» 1 при с« -р. О, я и <а> где У(0) — произвольная окрестность точки 1=0. Откликом прибора А на идеальный единичный импульс (обозначаемый вслед за Дираком через б) следует считать функцию Е(1), к которой стремятся отклики прибора А на имитирующие импульс б входные сигналы по мере того, как эта имитация улучшается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
