В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 89
Текст из файла (страница 89)
ХЮ! ИНТЕГРЛЛЫ. ЗЛВИСЯЩИЕ ОТ ПЛРЛМЕТРЛ Ньютона — Лейбница и утверждения !, применяемого к функции ) Р(й)=)Т" (ха+66!)сд: остается сделать замену й=х — хо и поло. о жить )р(х) = Р(х — х,). Полезно заметить, что 'равенство (4) имеет место для х„йеньк", где п не обязано быть только единицей. Раскрывая символ г' подробнее и полагая для простоты записи х,=О, можно вместо (4) написать а ! )(х6, ..., х") —,ь(0, ..., 0)= ~~~~~ ~ — т (ьх', ..., )ха)йь х' )=! о и тогда в равенстве (3) следует положить и )р(х)х= 'У,' )р)(х)х', с ! ! где )р! (х) = ~ — (ьх) й). Р д) 3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Утверждение 2.
Если на прямоугольнике Р=((х, у) ев вне ~а(х(ЬДс=-у~й)т функция ~: Р-РР непрерывна и им'ет непрерывную частную производную по у, то интеграл (2) принадлежит классу С)!) ([с, й), (к)), причем ь Р' (у) = Г д — (х, у) йх. (5) ,) ду а Формулу (5) дифференцирования собственного интеграла (2) по параметру часто называют 4юрмулой или правилом Лейбница. 4 Проверим непосредственно, что если у,ЕЕ[с, й1, то Р'(у,) можно вычислить по формуле (5): ! Р(у,+й)-Р(уо)-~[Г„',-(" до)й ~й =- а д( Г(Х, уо+Ь) — )(Х Уо) — д (Х Уо)" дХ ч а Г(х, Уо+й) — )(х, до) — — (х Уо) "~йх~ д) а ~ Г Зпр ) — „- (Х, до+Ей) — д — (Х6 Уо)~йл))))~=ц)(уо ) о ,)ау ' ду а О !.
СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРЛЛЫ П') условию — ~ С(Р, Р), поэтому — (х у) — ) — (х ) на дг' д) д! ду ду ду О~Р~зке а-=.х«=-.Ь пРи д-~до, откУДа, слеДУет, что 6 (Уо, ь) — О при Ь-~д, ~ Замечание 2. Непрерывность исходной функции Т использована в доказательстве лишь как достаточное условие существования всех участвующих в нем интегралов. За меча н ие 3. Проведенное доказательство и использованная в нем форма теоремы о конечном приращении показывают, что утверждение 2 остается в силе, если вместо отрезка [с, 6(] , взять выпуклый компакт в любом векторном нормированном пространстве.
При этом, очевидно, можно еще считать, что )' принимает значения в некотором полном векторном нормированном пространстве. В частности, и это норой бывает весьма полезно, формула (5) применима и к комплекснозначным функциям Р комплексного переменного де= С и к функциям Р(у)=Р(у', ..., у") от вектор.
ного параметра у=(д', ..., Уа) ~ Са. д) В последнем случае —, конечно, можно расписать покоордиду' патио в виде [- —,, ..., — ) и получить из (5) соответствующяе (ду! "' ду~,~ ь частные производные — (у) = ~ —,(х, у', ..., у")йх функции' Р. ду) — ,) ду! а а П р и мер 2. Проверим, что функция и(х)=~сов(п)р — хз)пп)р)й)у о удовлетворяет уравнению Бесселя х'и" +хи'+(х' — и') и=О. Действительно, выполнив дифференцирования в соответствии с формулой (5), после простых преобразований находим хо ~ з ! по Ч) соз (пц) — х з ! и )р) йх + х ~ з ! и )р з ! п (пц) — х з ! и )р) й)р + о о + (хо — и') $ соз (п)р — х з )и )р) йх = о = ~ ((хо з )по )р+ ло — хо) соз (пор — х з ! п )р)— о — хз)п )уз)п (пф — хз)п То)) йф= — — (и+ х сов )р) з)п (п)р — х з)п )р) ~а = О, П р и м е р 3. Полные эллиптические интегралы ап .,( К )6) ~ ) Т вЂ” Р Т ' 6 а) К )6) - ) 6 )6) )~! — Е'яп'ч) 404 Гл.
ХОП. ИНТЕГРАЯЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА $!. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ как функции параметра й, О -й < 1, называемого модулем соот. ветствующего зллиптическсго интеграла, связаны соотношениями дŠŠ— К дК Е К ,й = Ь дл =Ь(! Ьо) Проверим, например, первое из них. По формуле (5) а/2 — — — /го(по (р. (1 — йо о(ио (р)-'/' йр = дЕ да о а/2 а(2 = — [ (1 — йоо(по(р)(гл((ц/ — -1 (1 — йоз(пой))-1/2((Ч) =Е „К.
Ь о Пример 4. Иногда применение формулы (5) позволяет даже вычислить интеграл. Пусть а/2, р(сс) = [ 1п(ао — о(по(р) фр о Согласно формуле (5) (а) 1). а/2 2а д(р и ао — Мпо~р Р ао — 1 о а(ю Р (у) = ~ / (х, у) с(у а (у) определен при любом у ен [с, (([, принадлежит классу С(п ([с, (1], [Р) и справедлива формула (У) )(Р(У)' У) [ (У) )( (У)' У) (У)+ г д д) а (о) откуда Р((о) = и 1п(а+ )'со — 1)+с. Величину с тоже легко найти, если заметить, что при а- + со, с одной стороны, Р(а) = я!па+и 1п 2+с+с(1), а, с другой стороны, из определения Р(а) с учетом равенства 1п(ао — о(по(р) = = 2 ) и и + с (1) при оо -«+ Оо получается, что Р (а) = и 1и а + о (1).
Значит, и 1п2+с=О и Р(а) =и!п — (а+)/а' — 1). Утверждение 2 можно несколько усилить. Утверждение 2'. Пусть иа прямоугольнике Р=[(х, у) ен онД(а — х=-Ь/"(с=-у =.(() функция /' Р-а[о непрерывна и имеет д/ непрерывную частную производную —; пусть далее а(у) и Р (у) такие непрерывные на [с, (([ функции, чпю при любом у ~ [с, ((1 ик значения лежат на отрезке [а, Ь1. Тогда интеграл 4 В соответствии с правилом дифференцирования интеграла по пределам интегрирования н с учетом формулы (5) можно сказать, что функция з р у) = ) / (х у)((х прн условиях, что а, [) я[а, Ь[ и у я[с, (([ имеет следующие частные производные:- дй = 1(Р У) д„ = 1(со, У).
ду = ~ д. (х, У)((х. а С учетом утверждения 1 заключаем, что все частные производные функции Ф непрерывны в ее области определения, Значит, Ф вЂ” непрерывно дифференцируемая функция. Теперь формула (8) получается дифференцированием сложной функции Р(у) = = Ф ((о(у) [) (у) у) П р и м е р 5. Пусть Рл()=,а '„,~( -1)"-)(1)д(, о где и ен ('ч, а ) — непрерывная на промежутке интегрирования функция. Проверим, что Р(") (х) = / (х). При п=! Р,(х)= ~/(1)Ж и Р', (х) =Р(х). о По формуле (8) при п) 1 находим р' (х) = („ „1(х — х) -~ ( (к)+ †, 1 (х- ) -~ )((),~ = Р.
, (х). 1 1 о Применяя принцип индукции, заключаем, что действительно Р(")(х)=/(х) при любом а Й(ч. 4, Интегрирование интеграла, зависящего от параметра. Утверждение 3. Если функция/": 'Р-~Р непрерывиаепрямсугольнике Р= [(х, у) ен Р~а=ах(Ь/1с~у~с(), то интеграл (2) интегрируем иа отрезке [с, (([ и цмеет место равенство Л/Ь ( Ь/,1' 1(1/( а)л*(ла=1(1/(*, а)аа))ь.
а "а а а (9) 4' С точки зрения кратных интегралов равенство (9) есть 'простейший вариант теоремы Фубини. Приведем, однако, доказательство соотношения (9), позволяющее обосновать его независимо от теоремы Фубини. 400 га хоп. интнгпллы, зависящие от плплмнтрл Рассмотрим функции и (Ь Ь Га а("(=1(1(а. »(»*!»». ч('-1(1((*. »(»»)»*. с ((а / а» Ввиду того, что 1янС(Р, ]с) на основании утверждения.! н непрерывной зависимости' интеграла от верхнего предела интегрирования, заключаем, что (р, ф ~С([с, д], И).
Далее, ввиду непре- Ь рывности функции (2), находим, что р'(и)=)1(х, и)дх, а по фора ь муле (5) получаем, что ф'(и) )1(х, и)дх при и~[с, д]. Таким а образом, (р' (и) = ф' (и) и, значит, (р (и) = ф (и) + с на отрезке [с, д]. Но, поскольку (р(0)» ф(0)=0, то на отрезке [с, д] имеет место равенство р(и)=ф(и), из которого при и=д получается соотношение (9).
]ь' Задачи н упражнения 1. а. Объясните, почему функция Р (у) из соотношения (2) имеет предел ь ) ф(х) дх, если зависящее от параметра уш У семейство функций фс(х) = а =/(х, у), интегрируемых. на отрезке а «х«Ь, равномерно сходится на нем к функции (р(х) прн некоторой базе аЛ/ в 1' (напрнмер, при базе у-ьуа) Ь.
Докажите, что если Š— измеримое множество в [!м, а функция /: ЕХ/а- Р, определенная иа прямом пронзведсйии ЕХ/а=((х, Г) ея (ивам»а ~ хси Е/(Г (ш/а] множества Е и.п-мерного промежутка 1", непрерывна, то определенная равенством !1) при Е,=Е функция Р непрерывна на Рк с. Пусть Р=((х, у)(вРа(а«х«Ь/(с«у«с/), и пусть /шС(Р, Р), ох 3 ев С([с, д], (о, Ь]). Докажите, что тогда функция (7) непрерывна на отрезке (с, (Г(. а не только непрерывна, но и дифференцируема на П. Ь. Найдите производную указанной функции Р (х) и убедитесь, что Е ея (в Сп((Р, П), 3. Используя дифференцирование по параметру, покажите, что прн ,'г! ~ 1 Р(г) =~!п (1 — 2гссех+г ) дх=о 4.
Проверьте, что следующие функции удовлетворяют уравнению Бесселя, указанному в примере 2. а. и х" ~соз(хосеф) зш'"фдф. й 3. нвсовстанпнын интегралы 407 с. Покажите, что отвечавшие различным значениям пса[4 функции аа связаны соотношением У„,=У„! — 27„', 5. Развивая пример 3 и полагая Ь:= Ут — /Р, Е[й):= ЕЯ, К (й); = К(й), понажите, вслед ча Лежандром, что а.
— (ЕК+ЕК вЂ” КК)=0. ' (/й !!. ЕК+ЕК вЂ” КК=п/2. 6. Вместо интеграла (2) рассмотрим интеграл Ь Х(у)=)/(х, у)у[х)дх, а где и — интегрируемая на отрезке [а, Ь] функция (у ш,я([а, Ь]). Повторив приведенные выше доказательства утверждений 1 — 3, последова- тельно проверьте, что а. Если функция / удовлетворяет условиям утверждения 1, то функция г непрерывна на отрезке (с. д] (х ея С [с, х/]). ь. если функция / удовлетворяет условиям утверждения 2, то функция 3 непрерывно ди 'ференцируема на (с, д] ( р ев Сп' (с, в[1, причем ь 3» ' (у) = ! — (х, у) у (х) (/х, г д/ о ду а с.
Если функция / удовлетворяет условиям утверждения 3, то 3. интегрн- русма на (с (/] (г (а еУ[((с, д]). причем л 1а(»(»»-1(1((*, и ((~»)»*. а Ь с $ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра. а. Основное определение и примеры. Пусть при каждом значении у ~ У сходится несобственный интеграл г (у) = ) 1(х, у) дх (1) а по промежутку [а, о
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
