В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Проверим теперь, что его можно и интегрировать почленно. Если у: [О, Ц -Р К вЂ” гладкий путь в К, то найдегся круг К такой, что у с Ко н К с К. На К исходный степенной ряд сходится равномерно, поэтому в равенстве 1 (2 (га)) =,У сл (2 (1) — го)" о а, сВОЙстВА ПРедельнОЙ Функции стоящий справа ряд из непрерывных на отрезке 0(1 =1 функций сходится равномерно на этом отрезке к непрерывной же функции 1(г(1)).
Умножение этого равенства на функцию г'(1), непрерывную 'на отрезке [О, Ц, не нарушит ии самого равенства, ни равномерной сходимости ряда. Значит, по теореме 3 получаем «а 1 $1 (г Я) 2 (1) с(1= ~ $ сл (г (1) 2О)л2' (1)с(!. О «=оо' Но 1 1 (г (Х) — г (0))л г' (1) сИ = — ~ с( (г (1) — 2 (0)) л+! ! и+1 о ! = — (г(1) — г(0))л+ = — ' (г — г,) а', л 1 П+! «+1 и мы приходим к равенству (16). Р Поскольку в разложении !(2)=,У, сл(г — г,)", очевидно, сю= л=а ='1(го), то, последовательно применяя равенство (15), вновь пойла (Е ) лучаем знакомые соотношения с« = —, которые показывают, л! что степенной ряд однозначно определяется своей суммой и он является ее рядом Тейлора. Пример 5. Бесселева функция,),(х), и еп [я, есть решение уравнения' Бесселя *) х'у" + ху'+ (х' — по) у = О.
Попробуем найти решение этого уравнения, например, при й=О, в виде степенного ряда у= ~', слх", Последовательно, ис- «=О пользуя формулу (15), после элементарных преобразований при- ходим к соотношению с!+ ~ (йоса+с, о)ха — '=О, яз которого в силу указанной единственности степенного ряда , с данной суммой, находим с,=О, й'с„+со,=О, у=2, 3, ... Отсюда легко вывести, что с,о, = О, й еи [ч„и с„= л( — 1)' — '.
Если считать lо (О) = 1, то мы приходим уа!1 2оа '! Ф В бессель (1784 — 1846) — немецкий астроном, 18 В. А Зорлч, ч. П рг Гл. ХЧ! РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ к соотношению О 3. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ хеа + а'.о ( 1) А! е 2е»' Е~! СО '" =Х ' ". ~-")'"" а о Написанный ряд сходится на всей прямой (с (и во всей пло' скости. (В), поэтому проведенные выше до конкретизации его вида операции над этим рядом являются законными.
П р и ме р 6. В примере 5 мы искали решение уравнения в виде степенного ряда. Если же ряд задан, то„используя формулу (15), можно непосредстненно проверить, является ли сумма ряда решением данного уравнения. Так, прямым вычислением можно убедиться в том, что введенная Гауссом функция Ч и(и+1) ...(и+н-1) ° Ь(5+1) "(й+н — 1) х Е(сс,, у, х)= 1+ г и! т (у+1) ... (у+и — П ч 1 (еипергеометрический ряд) корректно определена при )х ! ( ! и удовлетворяет так называемому гипергеометрическому ди41ференииальнома уравнению х(х — 1) у" -~у-(се+ 5+1) х).у'+сор 9=,0. Отметим в заключение, что, в отличие от теорем 2, 3, в теореме 4 требуется, чтобы не исходное семейство, а семейство производных сходилось равномерно.
Мы уже видели (см. пример 2 2 ! ), что последовательность функций )„(х) — з! и и'х может сходиться к диффереицируемой функции 1(х)мм0 равномерно, в то время как последовательность производных Г„'(х) не сходится к !' (х). Дело в том, что производная — это характеристика скорости изменения' функции, а не величины значений функции. Даже при очень малых по абсолютной величине изменениях значений функции производная формально может меняться очень сильно, как это имеет место в.рассмотренном случае малых колебаний. большой частоты. Именно это обстоятельство легло в основу построенного Вейерштрассом примера непрерывной нигде не дифференцируемой функции, которую он задал в виде ряда 1(х) = Я а" соз (Ь"ях), очевидно„равномерно сходящегося иа всей ч о прямой 1с, если 0(а(1.
Вейерштрасс показал, что если пара- 3 метр Ь выбрать удовлетворяющим условию а. Ь) ! + — и, то, с одной стороны, !' будет непрерывна как сумма равномерно схо. дящегося ряда непрерывных функций, а с другой стороны, она .Ие будет иметь производную ни в одной точке хеи(ч, Формаль. ная проверка последнего утверждения довольно утомительна, поэтому желающие получить более простой пример непрерывной функции без производной могут посмотреть задачу 5 из 2 1 гл.
Ч. Задачи н упражнения !. Используя степенные ряды, найдите решение уравнения у"(х) †у (х)=0, , удовлетворяющее условиям а, у(0)=0, у(1)=1, Ь. у(0)=1, у(1)=0 Хам 2. Найдите сумму ряда 7 «(и+1) е 1 3. а, Проверьте, что задаваемая в виде ряда функция является решением уравнения Бесселя с индексом нге О из примера й. Ь Проверьте, что гипергеометричесний рнд из примера а доставляет ре. шение гипергеометрического уравнения.. 4.
Получите н обоснуйте следующие пригодные для вычислений разложения полных эллиптических интегралов первого и второго рода прн 0(й(1 н СЮ ю! ес Ь. Е(й) = р ! — й' Ыфйр= -"- ! — У 1~~" 1)!! ! а' ), а =-! В. Найдите и а. ~~Я гаЕ'ЕФ а=о СС Ь. ~г Аф. !=о с. ~ г" Мп йф.
е-о Покажите, что при !г! с1 с), гае'"Ф = ч 1 1 — г ссмср — сг з1пср' а=о гг е. — -1- ~~ г" ссм йф 2 1 — 2гсозф+г 1 1 1 г" мпйф Х г а!п ср 1 — 2гссмср+ге ' Ь 1 13 Гл. ХУ! РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ й 3. СВОЙСТВЛ ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Проверьте, что в смысле суммирования ряда методом Абеля й.
2 + 'г ссмлц О, если СР~2пл, л «п)ц Е=1 Еэ ! 1. (1. 7 Б1п Ьср = — с!Š— ф, если ф ~ 2пл, л «= Ь[. 2 Ь=1 8. Рассмотрев произведение рялов (ао-1-а +...) (Ьэ-[-ЬС+...) =(се+с!+...), где со=а«ЬО+аСЬО 1+...+ал 1Ь!+подь, и используя утверждение 1, покажите, что если ряды ~ а„, ~ Ь„, ~ с„сходятся соответственно к А, В о О О=О и С, то А.В=С. С! ! еэ 7. Пусть Бо ~ аь и о„— ~~ «уе Рял г,' аь называется суммируе. Ь 1 ь=! Е 1 мым ло Чезаре '), точнее (с, 1)-суммируемым к А, если !Нп о„=А. В этом СС СО СО случае пишут ~ аь А(с, 1) Ь=1 ! а.
Проверьте, чт! — =1 — 1+1 — 1+... (с, 1). 2 Ь. Понажите, что о„= 7'!1 — — !аа. с. Проверьте, что если ~ аа А в обычном смысле, то и ~ а„= «=1 =А(с, 1) СО 1 6. (с, 2)-суммой ряда ~ аь называют величину Вш — (а, +...-[-о„), «=1 и ОЭЛ если вп«1; преаел существует. Так можно определить сумму (с, г) любого по. СО СО рядка г. Покажите, что если ~3 ~а„А!с, г), то ~ а„А (с,. с+1) Ь 1 Ь=! СО е /(окажите, что если ~ аь А(с, !), то и методом Абеля Бтш рял суммируется к той же величине А 8.
а «Теорема тсубероеа тилаэ — зто собирательное название для теорем, давших возможность при тех или иных дополнительных условиях регулярности судить о поведении самих величии по поведению некоторых их средних При. мерам такой теоремы относящейся к методу Чезаре суммироаааия рядов, *) Э Чезаро (1869 — 1906)-итальянский математик.
занимался анализом и геометрией является следующее утверждение, которое вы можете попробовать доказать . вслед за Харди *). г!! Если «7 а„=А (с, 1) и если а„=О~ — 1, то рлд ~~ а„сходится зобы«- «=1 О=1 ном смысле и к той же сумме. Ь. Сама теорема Тжубера '") относится к методу Абеля суммирования рядов и состоит в следующем. Пусть ряд ~ алх" сходится при 0<х(1 и !пп ~ а„х"=А Если о=о х 1 — Оо СО а,+2ае+ ..+па„ !!гп ' '" " О,.то ряд г а„сходится е обычном смысле и лри ,1 ОО ' Л О=1 чем к А. 9.
Полезно иметь в виду, что в отношении предельного перехода под знаком интеграла существуют теоремы, дающие гораздо более свободные достаточные условия для возможности такого перехода, чем те, которые предоставляет теорема 3, Эти теоремы составляют одно из основных достижений так называе. мой теории интеграла Лебега В случае, когда функция интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь), т е.
/ се аэг[а, Ь[, зта функция принадлежит также пространству Е [а, Ь) функций, интегрируемых по Лебегу, причем значения Ь Ь интегралов ()с) ) 1(х) дх, (Е)) 1(х) дх Римана и Лебега от 1 совпадают. а О Вообще пРостРанство Ж [а, Ь) есть -пополнение пРостРанства аэ7 [а, Ь) Ь (точнее аэг [а, Ь)) по интегральной метрике, а интеграл (Е) ) есть продолжение О Ь линейной функции (/с) ~ с а)Р [а, Ь) на,ю [а, Ь). О Итоговая теорема Лебега «об ограниченной сходимостнэ утверждает, что если ткледоеательность (1„, и сы )!) функций /л щ Х [а, Ь) такала, что' суше. стеует неотрицапмльнал функция Е «и, О [а, Ь) маясорируащая функции последовательности, тс е, ! 1„(х) [«Е (х) почта всюду на [а, Ь), то из сходи носта 1„- 1 почти ео всех !почках отделка [а, Ь) затекает, чпю /щ с [а, Ь! ь Ь и 1!!п (Е) )г/(х) Нх=(Е))г/(х) дх, О СО О а а.
Покажите на примере, что даже если все функнни последовательности (1„, л щЫ) ограничены одной и той же константой М на отрезке [а, Ь), нз словий /л статс[а, Ь), пси)4, и 1„-С-1 поточечно на [а, Ь) не следует, что «ы ей! [а, Ь) (см. првмер 6 из 6 1). Ь ' Ь Ь, Основываясь иа сказанном о взаимоотношении интегралов (/7) ), (/.)) О О н теореме Лебега, покажите, что если в условиях предыдущего пункта задачи Ь Ь нзвестно, что все же /щ ей [а, Ь), то (/7) )1(х) Нх !!гп (/7) )/о(х)дх Это а О существенное усиление теоремы 3 ') Т. Г. Харди (1877 — !947) — английский математик; основные труды посвящены теории чисел н теории функций. ") А Таубер (1866 — год смерти неизвестен) — австрийский математик; основные исследования относятся к теории чисел и теории функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
