В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Сходнмость и равномерная сходнмость семейства функций, зависящих от параметра, При обсуждении постановки вопросов мы ограничились выше рассмотрением предела последовательностей функций. Последовательность функций — это важнейший частный случай семейства функций ),(х), зависящих от параметра (, когда 1ен й). Последовательности функций, таким образом, занимают здесь то же место, какое в теории предела функций занимает теория предела последовательности.
О пределе последовательности функций и связанной с ней теорией сходимости рядов функций мы будем подробно говорить в 3 2, а здесь обсудим основные для всего дальнейшего понятия сходимости и равномерной сходи- мости семейства функций, зависящих от параметра. Определение б. Функцию (х, () Р(х, () двух перемен- ных х, (, определенную на множестве ХхТ, называют семейством функций, завиаицих от параметра (, если по тем или иным при- чинам переменная ( ен Т выделяется и называется параметром. Множество Т при этом называют множеством или областью значений параметра, а само семейство часто записывают в виде , 1,(х) или ф, ! ~ Т)а явно выделяя параметр.
Нам, как правило, придется в этак книге рассматривать такие семейства функций, для которых областью параметров Т являются множества (ч), )с, С натуральных, действительных или комплекс- ных чисел соответственно или их подмножества, хотя, вообще говоря, множество Т может быть любой природы. Так, в рас- смотренных выше примерах 1 — б было Т=1ч!). В примерах 1 — 4 при этом можно было бы без потери их содержательности считать, что параметр п есть любое положительное число, а предел берется по базе п-«со, и я)ч+. Определение б. Пусть (Г!! Х-«)ч, (енТ) — семейство функций, зависящих от параметра, и пусть аЯ вЂ” база в множе- стве Т значений параметра.
Если при фиксированном значении х ен Х существует предел !пи 1,(х), то говорят, что семейство функций сходится в точке х. Множество всех таких точек сходимости называется множест- вом сходимости семейства функций при данной базе Я. Определение 7. Говорят, чтосемей твофункций сходится на множестве Е ~ Х при базе Я, если оно сходится при этой базе в каждой точке 'х ен Е. Функция 1(х):ла 1!шГ,(х) на Е называется предельной функ.
цией или пределом семейства функций !! на множестве Е при базе Я. / а ~а Пример 7. Пусть 1!(х)=е ! '/, хан Х=Р, (яТ=Р" О, ' Я вЂ” база (-«О. Это семейство сходится на всем множестве Я, ( 1, если х=О, причем 1!шГ1(х) =~ 1 ь ~ О, если хчьО. Теперь дадим два основных определения. Определение 8. Говорят, что семейство (11, (енТ) функ- ций 111 Х- )ч сходится поточечно (или просто сходится) на мно- жестве Е~Х при базе Я к функции 1: Е-«И, если 1!ш(!(х)= = 1(х) в любой точке хан Е. В этом случае мы часто будем писать ()! — 1 на Е) Определение у. Говорят, что семейство (11, (~Т) функ- ций ),: Х -«Р сходится равномерно на множестве Е ~ Х при базе аЯ к функции ): Е-«Р, если для любого е «О найдется гл.
х«л. Ряды и семенствА Функция такой элемент В базы,%, что при любом значении1е— : В в любвй точке хе=- Е выполняется неравенство ~1(х) — 11(х)'(е. В этом случае мы часто будем писать (11=И! на Е). Приведем еще формальную запись этих важных определений: (11 — ! на Е):= := (11е>0 ох ен Е (Вен % «!1(ее В (/~(х) — 11(х) ~ <е), (11=«1 на Е) 1= : = Уе > 0 ЭВ ен о% «91х я Е о( я В (!! (х) — 1, (х) , '( е). Соотношение между сходимостью и равномерной сходимостью напоминает соотношение между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве.
Чтобы лучше уяснить взаимоотношение сходимости и равномерной сходимости семейства функций, введем величину Л,(х) = = ~1(х) — 1«(х) ~, измеряющую отклонение значения функции 11 от значения функции ! в точке х~ Е. Рассмотрим также величину Л! = Ецр Л, (х), характеризующую, грубо говоря, максимальное хЕ Е (хотя его может и не быть) по всем точкам х ее Е отклонение значений функции 11 от соответствующих значений функция 1. Таким образом, в любой точке х ее Е имеем Л,(х) ~ ЛР В этих обозначениях пр иведенные определения, очевидно, можно записать следующим образом: (11 ~ ! на Е):= Ух ~Е (Л,(х) — 0 при %), (!1=!! на Е):= (Л,-«0 при о%).
Теперь ясно, что (11 ~«У На Е) =:>(!1 =1! На Е), т. е. если семейство 11 сходится равномерно к функции 1 иа множестве Е, то оно и поточечно сходится к 1 на этом множестве. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Пример 8. Рассмотрим семейство функций 111 1- Р, определенных на отрезке 1=(х~Р~О =х~1) и зависящих от параметра 1~ !О, 11. График функции у=11(х) изображен на рис. 99.
Ясно, что в любой точке х еи1 11ш11(х)=0, т. е. 1,— 1=0 при ! о 1 — 1-0. Вместе с тем Л! — — ыр (У(х) — 11(х)1=ыр111(х)~ 1, т. е. *в! хИ1 Л1~«0 при 1-«0 и, значит, семейство сходится, но не сходится равномерно. Будем для удобства в таких случаях говорить, что семейство сходится к предельной функции неравномерно. Если параметр 1 интерпретировать как время, то сходимость семейства функций 11 на множестве е к функции 1 означает, что $ !.
пОточечиАя и РАВиомеРиАя сходимость при любой заданной точности е>0 для любой точки хон Е можно указать момент 1„начиная с которого, т. е. при 1>1„значения всех функций 11 в точке х будут отличаться от значения )(х) меньше чем на е. Равномерная же сходимость означает, что наступит момент 1„начиная с которого, т. е. при 1>1„уже сразу во всех точках х енЕ будет выполнено соотношение ~1(х) — 11(х) ~'(е. Для неравномерной сходимости тнпична изображенная на рис. 99 картина бегущего горба большого уклонения. в о го 1 х П р и м е р 9.
Последовательность Рис. 99. заданных на. отрезке О=х=-.1 функций 1„(х) = х — х", как легко видеть, в любой точке х этого отрезка стремится к нулю при и- ОО. Чтобы выяснить, равномерная ли эта сходимость, найдем величину Л„= шах )1 (х)!. о<х~! 1 Поскольку 1„'(х)=1 — пх '=0 при х=л "-', то ясно, что Л„= 1 ! ! = 1л(Л л 1) = П "— !'(! — — ). НО Л„- 1ЧЬО ПРИ Л-«ОО, Значит, наша последовательность сходится к предельной функции неравномерно П р и ме р 1О. Рассмотренная в примере 1 последовательность функций 1„(х)=х" иа отрезке 0- х -1 сходится к функции ( О, если О~х С1, 1(х) = ~ ' неравномерно, так как при любом нее!о ~1, если х 1 Л„= ыр )~(х) — 1„(х) ~ = ыр !1(х) — 1„(х)1= о<х<! о<х<! ' зцр )~„(х)~= ыр !х"! — 1.
о<х<! о .х<! Пример 11. Рассмотренная в примере 2 последовательность О!П Пхл функций 1„'(х)= сходится к нулю равномерно на всем множестве Р при л-«со, так как в данном случае , '1 (х) — 1„(~),' = ~ 1„(х) ~ = ) — „ т. е. Л„=!1л и, значит, Лл — «О при а — «со. 4. Критерий Коши равномерной сходимости.
В определении 9 мы сказали, что значит, что семейство функций 1! равномерно на некотором множестве сходится к заданной на этом множестве функции. Обычно, когда задается семейство функций, предельная : функция еще неизвестна, поэтому разумно принять 362 5 з. РАВнОмеРЯАя схОдимость РядОВ Функция 363 Гл. Хчт.
РЯДЫ И СВМВНСТВА ФУНКЦИИ Определение 10. Будем говорить, что семейство ((О (енТ), функций (;: Х-ь[ч сходится на множестве Е ~ Х равномерно при базе З, если оно сходится на этом множестве и сходимость к возникающей при этом на Е предельной функции 1: Š— )с является равномерной в смысле определения 9.
Тео рема (крнтерий Коши равномерной сходимости). Пусть Ц, (ен Т) — семейство функций ~;. Х-~-[ч, зависящих от параметра ( ен Т, и аЗ вЂ” база в Т. Для того чтобы семейство ((О (ен Т) сходилось на множестве Е ~ Х равномерно при базе З, необходимо и достаточно, чтобы для любого е->0 нашелся такой элемент В базы Ю, чл!о при любых значениях параметров (ю (з ен В в любой точке х ен Е было выполнено неравенство ] (и (х) — (О (х) ] (е. В формальной записи это означает, что ~, сходится равномерно на Е пРи базе З С=;> Че ) 0 ЛВ н З Ь!(ю (з ен В чх ез ен Е (] )'и (х) — )и (х) ] ч" е). 4 Необходимость приведенных условий очевидна, ибо если (: Е-ь]к — предельная функция и (,=з( на Е при З, то найдется элемент В базы З такой, что при любом(~В и любом хан Е будет ]((х) — ~,(х)]~е(2. Тогда при любых (,; (зеяВ и любом хезЕ будет ] (и (х) — )н (х) ] -=1( (() — ~п (х) ]+ ~ ( (() — (и (х) ] с.
е/2+ е?2 = е. До с та то ч н ость. При каждом фиксированном значении хан Е величину ),(х) можно рассматривать как фуйкцию переменной (ВВТ. Если выполнены условия теоремы, то для этой функции выполнены условия критерия Коши существования ее предела при базе З. Значит, семейство ((н ( ян Т) по крайней мере поточечно сходится к некоторой функции (: Š— ьзч на множестве Е при базе З. Если теперь перейти к пределу в неравенстве ])и (х) — ~н (х), '( <е, справедливом при любых („(з ен В и любых х я Е, то можно получить, что ] ( (х) — ~п (х) ] а-.
е при любом (з ен В и любом х ен Е, а это с точностью до несущественных переобозначений и замены строгого неравенства нестрогим как раз совпадает с определением равномерной сходимости семейства ((О ( ~ Т) к функции (: Š†~ на множестве Е при базе,З. й 3 а м е ч а н и е 1. Определения сходимости и равномерной сходимости, которые мы привели для семейств вещественнозначных функций );. Х-э[ч, разумеется, остаются в силе для семейств функций )~. 'Х- 1' со значениями в любом метрическом пространстве У. Естественное изменение, которое при этом следует сделать в приведенных определениях, состоит в замене ]((х) — (,(х)] на йу()(х), ~,(х)), где дг означает метрику в простраястве У. Для векторных нормированных пространств У, в частности для У (Б, или У=Р', или У=С", не приходится делать даже этих формальных иамеиений. З,а м е ч а н и е 2. Критерий Коши, конечно, тоже остается в силе для семейств функций ]~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
