В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 77
Текст из файла (страница 77)
!-е ! Если ввести обозначение и()): =Вис, согласованное с обозначениями из задачи 2, и вспомнить, что ! ° ср =-: Фс"1, то можно написать, что ! (гп . (ф'1 — !) (х) = о (() (х) ! ос с. Теперь естественно определяется н дифференцирование заданной в Ия гладкой формы е любой степени вдоль поля и. Д именно, положим 1 а (е) (х); = Вш — (Ф~е — е) (х) . с е ( Форма п(е) называется'проиэеодиой Ли от формы е вдоль поля о и чаще всего обозначается специальным символом С„е. Определите производную Ли 1. е формы е вдоль поля Х на произвольном гладком многообразии М. д Покажите, что производная Ли иа С(соьмногообраэии М обладает следующими свойствами: 1' 1. -локальная опечпация, т.
е. если в окрестности (С ~ М рассматри. (ваемой точки х (е М поля Х„ Хэ .и формы е,, е, соответственно совпадшот, то (С,р,)(.)=(СХ,~,)() Х И 3' 1.,: Иа(М)-ьИь(М) — линейное отображение при любом й О, 1, 2, ... 4 Сх(е Л а)=(С )Л + Л! "' Гл. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ а л зАмкнутые и тОЧНыЕ ФОРМЫ 5' если 1дж й«(М), то 1. 1=лд1(Х) =: Х). б' если 1щ й«(М), го Е,„д)=д(Х)) е. Проверьте, чдо указанные выше свойства 1' — б' однозначно определяют опеуацию Ех, 7. Пусть Х вЂ” векторное поле, а ю-форма степени А на гладком ми»го. образин М, Внутренним произведением поля Х н 4юрмы ю называется (й — 1).форма, обозначаеман через 1 ю нлн через Х ] ю н определяемая соотношением (д„ю)(Х, ..., Х„д):=ю(Х, Х, ..., Х, ), где Х,, ..., Х„, — векторные поля на М, Для О-форм, г.
е. функций нз М, положим Х ]1=0. а. Покажите, что если в локальных координатах хд...,, х«карты йн йз-»(У~М 4юрма ю (точнее ю! ) имеет зид ~Р ~а . (х) х !~гдс. <д ~« Гд ... л' ! хдх Л...Лдх — а дхдЛ...Леха, а Х=Хг —,год Ф= — Х Д1 дд " да " ' ' дхд ' Х (Д вЂ” 1)! х Хда. дх з Л ... Л 'х а. д ю и,', д„ Ь.
Прозерьгс палее, что если д)л« вЂ” Гдхд,. тс дтд)=Х вЂ” =Х О) ни В 1 с. Пусть. Х (М) — прострзвсгво векторных полей на многообразии М, а й(М) — кольцо кососимнетрнческих форм на М. Покажите, что существует только одно отображение П Х(М)хй(М)-»й(М), обладающее следующими свойствами: 1' 1 †локальн операция, г. е.
если полн Хь Х, н формы ю,, «да соот- ветственно совпадают в окрестности У точки х ли М, то (гх ю )(х) = (дх ю )(х); 2' дх (й" (М)] ~ й" (й О! 3' 1„: йа (М) — » йа;д (М) — линейное отображение; 4' если ю, лн йь'(М), го, ляйа'(М), то д„(юд Л ыз) = 1 ю Л юа+ + ( — 1)а'е, Л д' ю,; б«если ю дж йд (М), то 1 юл ю(Х), а если 1 ли йз(М), то Е 1 О. 8. Докажите следующие утверждения: а. Операторы д, 1 н Ех (см задачи б, 7) удовлетворяют так называемому тождеству ломотонии ~х = !я~+в!х (20) где Х вЂ люб гладкое векторное поле на многообразии. Ь. Производная Лн коммутирует с д и 1, г. е Ех "=д Ех Ех'х=дх Ех. с' Рх гг]=11х, д1, (ьх, ьг)у 01х г1, где как всегда (А, В] А ° В- — В ° А для любых операторов А, В, длн которых выражение А °  — В ° А определено.
В данном случае зсе скобки (, ] определены. б Ех1ю=)Ехю+д1 Л 'хю -е)щ й'(М) ° ю щ йа(М) (Указание, Основным в задаче является и, э. Его можно проверить, например, индукцией по степени формы. на которую действуют операторы,) й 4. Замкнутые и точные дрормы на мдйгообразии 1. Теорема Пуанкаре. В этом параграфе будут дополнены ведения о замкнутых и точных дифференциальных формах„которые были изложены в гл. Х]Ч, 3 3 в связи с теорией векторных полей в области прбстранства ]ч«. Как и прежде, символ ь]Р(М) будет означать пространство всех гладких вещественнозначных форм степени р на гладком многообразии М, а Я(М) = О ЯР(М).
Р Оп редел ение 1. Форма ю ней»(М) называется замкнутой, если Йй = О. О вреде лен не 2. Форма ю ев ОР(М), р) О, называется точной, если существует такая форма аеи й»-д(М), что ю=йа, Множество всех замкнутых р-форм на многообразии М обо- значим через Х» (М), а множество всех точных р-форм на М обозначим символом В» (М); Для любой формы ю ~ Й (М) имеет место соотношение *) й(йш) = О, которое показывает, что ХР(М):з В» (М). Нам уже известно из гл. Х1Ч, $ 3; что, вообще говоря, это включение является строгим.
Важный вопрос о разрешимости (относительно а) уравнения йод=в при выполнении необходимого условия йш=О на форму ю оказывается тесно связан с топологической структурой многооб- .разия М. Более полно сказанное будет расшифровано ниже. Определение 3. Многообразие М будем называть стяги- ваемадм (в точкУ ха ев М) или.гомотопным точке, если сУществУег такое гладкое отображение )д: Мх1»М, где 1=(1еи(с ~ 0~1<1), что й(х, 1)=х и й(х, 0)=хз. П р и м е'р 1.
Пространство ]с«стягивается в точку посредством отображения й (х, 1) = 1х. Т е о р е м а 1 (Пуанкаре). Любая замкнутая (р-]-1)-форма (р- 0) на стягиваемом в точку многообразии М является точнбй. щ Нетривиальная часть доказательства состоит в следующей «цилиндрической» конструкции, сохраняющей силу для любого многообразия М.
Рассмотрим «цилиндр» М 111 — прямое произведение М на ' единичный отрезок 1, и два отображения 11: М-»Мх1, 1;(х) = .=(х, д), 1=0, 1, отождествляющие М с основаниями цилиндра М !с 1. Тогда естественно возникают соответствующие отображения Я: ь)Р(Мх1)-»ОР(М), кфторые сводятся к тому, что в форме :из й»(Мх1) переменная 1 заменяется значением 1(= О, 1), при автои, разумеется, Ж=О. Построим линейный оператор К: й»«д (М х 1) -» ОР (М), который ;,Ва.- мономах 'определим следующим образом: К(а(х, 1)д(х" л...лйх'Р+д):= О, г! х1,!л чили."л...лич:-(1 и, ол)и' л.,ли'.
о р «) В аависимости от способа введения оператора д эту свойство или дона!иман«тон, и тогда его часто называют леммой Пуанкаре, или включан»си рд определение оператора й. р' айт Э 4 ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ Гл, ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ Основное нужное нам свойство оператора К состоит в том, что для любой формЫ о>ЛР«с(МХ() имеет место соотношение К (с(о>)+с((Ко>) =(со> (~о>. (1) Это соотношение достаточно проверить для мономов, поскольку все операторы К, с(, (с, (а линейны.
Если о> = а (х, 1) с(хс! л .; . А с(хсг«-', то Ко> = О, с(Ко> = О, с(о> = дс,й А с(х ! А... А с(» Р>с+ (члены без с(11, да с (! К(сио)=~ — дс (1 с(х" А" Ас(х'"'= =(а(х, 1) — а(х, О))с(х" л...лс(х'Р+! (со> — (ео>, и соотношение (1) справедливо. Если о>=а(х, 1)ШАс(хс«д...лс(х'Р, то (;о>=(ео>=0. Далее, К (С(О>) = К вЂ” У вЂ” С(1 А СХХ'а Л С(Х'! А .
„Л С(Х'Р ! = А сдлс' с« ! х с'1йс дхс' ( ° ° ° « с« П! ссх с-с((),с,, ~сс«)Ф«,. ш'.)- ! с>а(Г = х — п(х, 1)с(( с(х" Ас(х~! А «л с(х'Р= сы дх' с« ( ! — Й с(х "лс(х А...дс(»'Р. Гда)сс дхс' с« ' Таким образом, и в этом случае соотношение (1) справедливо *). Пусть теперь М вЂ” стягиваемое в точку ха ен М многообразие, Ь: М х (->- М вЂ” указанное в определении 3 отображение, ы — (р+1)-форма на М. Тогда, очевидно, Ь (с! М вЂ” >.М вЂ” тождественное отображение, а Ь (;! М-~»а — отображение М в точку ха, поэтому ((!' Ь*) о>=о> и ((," Ь*) о>=О. Значит, в этом случае из (1) следует, что К (с((Ь'са))+ с( (К (Ь'са)) - о>.
(2) ') По поводу обоснования проведенного в последнем равенстве дафсреренмнрования интеграла по переменной хс' см., например, гл. Ху'11, й 1. (3) что с(а= о>. В соответствии с изложенной при доказательстве теоремы 1 рецептурой и с учетом построенного в примере 1 отображения Ь после простых вычислений получим /! хе' с-'!)«се, е. и )ы~)«~с* — 'с ««" «.!)в!«,, «д, с !«х)«*с* —,о««- (1 «.!1с!«*, са «««с«) ! сц — «с*«. с Можно и непосредственно проверить что с(а=о> 3 а меча н ие. Произвол в выборе формы а, удовлетворяющей :условию с(а=о>, обычно довольно большой. Так, вместе с формой а любая форма вида а+с(т), очевидно, тоже будет удовлетворять этому же уравнению.
348 Гл. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 349 $ Ь ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ В силу теоремы 1 на стягнваемом многообразии М любые две формы с4, р, удовлетворяющие условию й4х = йр = ы, отличаются на точную форму. - Действительно, д (а — р) = О, т, е. форма (а — р) — замкнутая на М, а значит, по теореме 1 она точная.
2. Гомологии и когомологии. В силу теоремы Пуанкаре любая замкнутая форма иа многообразии локально является точной. Склеить эти локальные первообразные в одну форму на всем многообразии удается далеко не всегда, и это зависит от топологической структуры многообразия. Например, замкнутая в про— У 44х+ х ЛУ колотой плоскости 144" 0 форма ы = У,+, У, рассмотренная в $ 3 гл. Х1Ч, локально является дифференциалом функции 4р=~р(х, у) — полярного угла точки (х, у),— однако, продолжение этой функции в области Р" 0 приводит к многозначностям, если замкнутый путь, по которому идет продолжение, охватывает дырку — точку О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
