В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Практически это означает, что рассматривается С -многообразие М и оператор с(, действующий из д)" в дс"". Формула для вычисления оператора д в локальных координатах конкретной карты (а вместе с нею и единственность оператора й) вытекает из соотношения й~ ~', с, „,, (х)дх'дл...лйх'»)= (С«сд«.к«с «» с(сс, с (х) йх" л...
л йх' (14) с «с; « ...<с„,«» ( + ~ч', с,, „, с((йх' л...лдх' )=.01. с«сд<...<с «» Существование оператора д вытекает теперь из того, что определенный в локальной системе координат соотношением (14) оператор удовлетворяет условиям !','2', 3' определения 6. Из 'сказанного, в частности, следует, что если а =ср„*со и ада срвсз — координатные представления одной и той же формы со, т. е. од„=ср„'зодз, то с(од и йсзз также будут координатными представлениями одной и той же формы (с(од), т. е. с(од„=ср*зс(ьдг.
Таким образом, справедливо соотношение с((ср"зодз) = ср"г (асов), что в абстрактной записи означает коммутативность й с р» ~ ~ » и оператора й и операции ср* переноса форм. 4. Интеграл от формы па многообразию. Определение 7. Пусть М вЂ” п мерное гладкое ориентированное многообразие, на котором координаты х', ..., х" и ориентация задаются одной картой ср: 0 -».М с областью параметров Р„~й". Пусть со — и-форма на М и а(х)йхд л... л с(х» — ее координатное представление в области 0„. Тогда ~ ад: ~ а(х)с(хдл...лс(х", (16) м о„ где слева стоит определяемый интеграл от формы со по ориентированному многообразию М, а справа — интеграл от функции а(х) по области О,. Если срс: 0, — М вЂ” другой состоящий из одной карты атлас М, задающий на М ту же ориентацию, что и атлас ср„: 0„-+-М, то якобиан.
йе1 со' (1) 'функции х= ср(с) преобразования координат всюду положителен в области 0ь Форме сг в О, отвечает форма сра (а (х) йх' л... л йх") = а (х (8)) с(е1 ср' (() й(д л... л Ж». з д диееагвнцилльныв фогмьс и еогмглл стокса ЗЗ7 По теореме о замене переменных в кратном интеграле имеет место равенство ~ а(х)йхд.... йх" = ~ а(х(Ю)) с(е1ср'(8)с((д...й", о, показывающее независимость левой части соотношения (16) от выбора системы координат на М. Итак, определение 7 корректно.
Определение 8. Носителем определенной на многообразии М формы со называется замыкание множества тех точек хыМ, где со (х) чь О. Носитель формы од обозначается символом зцррод. В случае О-форм, т. е. функций, мы уже с этим понятием йстречались. Вне носителя координатное представление-формы в любой локальной системе координат является нулевой формой данной степени. Определение 9. Заданная на многообразии М форма од называется финитной формой, если зцрр од — компакт в М. О п р еде л е н и е 10. Пусть сз — фин итная форма степени и на -и-мерном гладком многообразии- М, ориентированном атласом А. Пусть ср;: 0с-»-Ус ((У„срс), с=1, ...; т) — конечный набор карт атласа А, районы У„..., (7 действия' которых покрывают зпрр со, а е„..., ед — подчиненное этому покрытию разбиение единицы на зцррод.
Повторяя некоторые карты по нескольку раз, можно считать, что т=й и что зцррес с: Уь с =.1,...., т. Интегралом от финитной формы со по ориентированному мноаюбразию М называется величина »с )оэ:=Х $ рс(ест) (17) с=с о. с ) сРс (одсд)= ~ сРс (одст)= ~ сг)(сосС) =. ~ гд (мц) чс ' Ссссс с) ч71сг Ъ. ос где срс (есод) — координатное представление формы есы~и, в области 0; изменения координат соответствующей локальной карты.
Докажем корректность этого определения. 4 Пусть А (фс. 0с-с-У~) — другой атлас, задающий на М ту же гладкую структуру и ориентацию, что и атлас А, й пусть Уд, ..., (7-, ед, ..., е„- — соответствующее покрытие зцррсо н подчиненное ему разбиение единицы на зцрр од. Введем функции '1ц=есег, с=1, ..., т, ) =1, ..., т, и положим одсс=Дссо.
Заметим, что зцрр ау с: 1Гсс=УсД Ур Отсюда и из корректно-' сти определения 7 интеграла по задаваемому одной картой ориентированному многообразию вытекает, что зза Гк ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ $ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРА!УЛА СТОКСА ЗЗЗ Суммируя эти равенства по 1 от 1 до т и по 1' от ! до т с учетом того, что '5, ')!!=ем ~ [сс=ес, получим интересующее с=! ! ! нас тождество. 5. Формула Стокса. Теор е !д а. !!усть М вЂ” ориентированное гладкое и-мерное многообразие и в — гладкая финитнал дифференциальная форма степени л — 1 на нем. Тогда в= ~йв, (18) дМ М где ориентация края дМ многообразия М берется согласованной с ориентацией многообразия М. Если оке дМ= ф, то ~йв=О.
м 4 Без ограничения общности можно считать„что областями изменении координат (параметров) всех локальных нарт многообразия М являются либо открытый куб 1=(хан(х"!ОСхс < 1, 1=1, ..., л), либо куб 1=(хонР"!0(х! =--.1 л! Ос.хс(1, ! = =2, ..., и) с одной (определенной!) присоединяемой к кубу 1 гранью. С помощью разбиения единицы утверждение теоремы сводится к случаю, когда зцрр в лежит в районе 0 действия одной карты вида Чс: 1-1-(с' или Чс: ! - У. В координатах этой карты форма в имеет вид в=~ч, 'а;(х)йх'л...лахс л...л йх", с=! где символ, как обычно, означает пропуск соответствующего множителя. В силу линейности интеграла утверждение достаточно доказать для одного члена в, = ас (х) йхс Л...
Л да.-' Л ... Л йхх суммы. Дифференциалом такой формы является л-форма йв~ = ( — 1)с-' — '. (х) йхс л... л йх". дхс (20) Для карты вида Чс: 1-~-У оба интеграла в (18) от соответствующих форм (19), (20) равны нулю: первый потому, что ырра,~ ~1, а второй — по той же причине, если учесть теорему Фубини 1 и соотношение — сйхс=а!(1) — а;(0) =О. Этим заодно исчерпы- Г да, с дх' вается случай, когда дМ= ф. Таким образом, остается проверить равенство (!8) для карты ср! с -с-(с'. Если с) 1, то и для такой карты оба интеграла равны нулю, что следует из приведенных выше соображений. Если же 1=1, то ') в,= ~ вс= ) а,' (х) йх'...дх"= М й с 1 111 ~[ — '( )йХ' йха.
йХ" ,! дх' о =~...)а!(1, х', ..., х")йхо...йх" = ~ во= ~ вс. о о аи ам Итак, при п 1 формула (18) доказана. Случай н = 1 совпадает с формулой Ньютона — Лейбница, если принять, что.концы а, )) ориентированного отрезка [а, Я отмечаются знаками а и р„а интегралотО-формыд(х) по.такой ориентированной точке полагается равным — д(и) и +у(р) соответственно. По поводу доказанной теоремы сделаем некоторые замечания.
Замечание 1. В формулировке. теоремы ничего не говорится о гладкости многообразия М и формы в. В таких случаях обычно подразумевают, что каждый из этих объектов имеет глйдкость С! '. Из доказательства теоремы видно, однако, что формула (!8) верна и для форм класса Спо на многообразии М, допускающем формы такой гладкости. Замечание 2. Из доказательства теоремы, как, впрочем, н из самой формулы (18), видно также, что если зпррв — компакт, лежащий строго внутри М, т. е. ырр в ПдМ= ф, то ) йв=0. м Замечание 3. Если М вЂ” компактное многообразие, то для любой формы в на М ее носитель ыррв, как замкнутое подмножество компакта М, является компактом.
Следовательно, в этом случае любая форма в на М является финитной и имеет место равенство (18). В частности, если М вЂ” компактное многообразие без края, то для любой гладкой формы'на М имеет место равенство ~ йв = О. 3 а м е ч а н и е 4. Для произвольных (не финитных) форм в на многообразии, не являющемся само по себе компактом, формула „(18), вообще говоря, не имеет места. хду — у дх Рассмотрим, например, знакомую нам форму в = хо+ у! в круговом кольце М=((х, у) онР~ 1(хо+ух=а2), наделенном стандартными декартовыми координатами.
В этом случае М— Гг. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ компактное двумерное ориентированное многообразие, край дМ которого состоит из двух окружностей С, = !(х, у) ен )се ) ха+уз=1), 1=1, 2. Поскольку йо =О, то по формуле (18) находим,' что О= )1(ю= ~ш — ~ ш, и с, с, где обе окружности С, и С, пробегаются против часовой стрелки. /Чы знаем, что ~ ш= ~ ю=2Л~ О. с, с, Значит, если вместо М рассмотреть многообразие М=М',Сл, то дМ=С, и ~ йо = О ~ 2п = ~ ш. — м дж Задачи н упражнения 1. а. Два гладких пути уй р)-лМ, 1'=1, 2, на гладком многообразии М назовем касающимися в точке р сэ М, если /л(0)=-Т,(0)=р и в каждой локальной системе координат чс )сл(Нг)-л. Р, район Р действия которой содержит точку р, выполняется соотношение )Ф-л ° у, (Π— 1р-л ° Тз (1) 1 = о (Г) при 1-ь О. (19) Покажите, что если равенство (19) выполнено в одной из указанных систем координат, то оно будет выполнено и в другой такой же локальной системе координат гладкого многообразия М.
Ь. Свойство путей касаться в некоторой точке р га М является отношением эквивалентности на множестве. гладних путей, проходящих на М через точку р. Класс эквивалентности по этому отношению назовем лучком касающихся путей г точке р ш М. Устаиовлпе намеченное в $ 3, п. 1 взаимно однозначное соответствие между векторамн пространства ТМ и пучками касающихся в точке р ла М путей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
