В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Примерно так же обстоит дело и с формами других степеней. «Дырки» в многообразиях могут быть различные= не только проколы, но и такие, как, например, у тора или кренделя. Структура многообразий высших размерностей может быть довольно сложной. Связь между устройством многообразия как топологического пространства и взаимоотношением замкнутых и точных форм на нем описывается так называемыми группами (ко) гомологий многообразия. Замкнутые и точные вещественнозначные формы на многообразии М образуют линейные пространства ХР(М) и ВР(М) соответственно, причем х.л(М):» ВР(М). Оп р еде лен ие. 4.
Фактор-пространство НР (М): = х,г (М)/ВР (М) -(4) называется группой р-мерных когомолагий (с Вещественными коэффициентами) многообразия М. Таким образом„две замкнутые формы ым ых ен ХР(М) жжат в оДном классе когомологий или когомологичны, если 4зт — аз еп ~ВР(М), т.
е. если они отличаются на точную форму. Класс когомологий формы ю ~ЯР(М) будем обозначать символом 1ы1. Поскольку хг(М) есть ядро оператора йл: 1)Р(М)-~йлм(М), а ВР(М) есть образ оператора йР. 4: РР ' (М) — 11Р (М), то вместо (4), часто пишут НР (М) = Кег йР/1ш йгм. Подсчет когомологий дело, как правило, трудное. Можно, однако, сделать. некоторые тривиальные общие наблюдения. Из определения 4 следует, что если р)411т М, то, очевидно, НР(М) =О. ' Из теоремы Пуанкаре вытекает, что если М стягиваемо, то при р>0 НР(М) =О. На любом связном многообразии М группа Н'(М) изоморфна Р, так Как Н'(М) =2'(М), а если для функции 1: М-4.Я на связном многообразии М выполнено соотношение й! = О, то 1 = сопз(.
Таким образом, например, для пространства Р" получается НР(И") = 0 при р.Р О и Н' ®") И. Это утверждение (с точностью до тривиального последнего соотношения) эквивалентно теореме 1 при М=К" н тоже называется теоремой Пуанкаре. Более наглядную геометрическую связь с многообразием М имеют так называемые группы гомологий. Определение 5. Гладкое отображение с: 1Р- М рмерного куба I ~ ЯР в ь!Иогообразие М называют сингулярным кубам на многообразии М.
Зто прямое обобщение понятия гладкого пути на случай про'извольной размерности р. В частности, сингулярный куб может состоять в преобразовании куба У в одну точку. Оп р еде лен не 6. Цепыа(сингулярных кубов) размерности р на многообразии М называется любая конечная формальнав линейная комбинация ~к~ с44сх сингулярных р-мерных кубов на М А с вещественными коэффициентами. Как и пути, сингулярные кубы, получающиеся друг, из друга диффеоморфным изменением параметризации с йоложительиым якобианом, считаются эквивалентными и отождествляются, Если же такая замена параметризапни происходит с отрицательным якобианом, то соответствующие (противоположно ориентированные) сингулярные кубы с, с считаются противоположными и полагают с = — с.
Цепи размерности р на многообразии М, очевидно, образуют линейное пространство относительно стандартных операций сложения и умножения на вещественное число. Это пространство мы обозначим через Ср(М). Оп реде лен не 7. Границей д! р-мерного куба 1Р в ЯР называется (р — 1)-мерная цепь ! р д!:= ~ ~ ( — 1)'+ха41 ~ =04=1 в Г, где сьп 1~ '- à — отображение (р — 1)-мерного куба в Р', индуцированное каноническим вложением соответствующей грани куба ГР в Р'.
Точнее, если 4'Р-'=(х ЕЕР'-4(0(х"' (1, п4=1, ... ..., р — !), то сц(х) =(х', ..., 2т-4, 4, 2!, ..., 2Р) епР'. Легко проверить, что это формальное определение границы ,куба в точности совпадает с операцией взятия края стандартно 'ориентированного куба Р (см. гл. Х11 3 3). 350 Гс. ХУ. ИитЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 3».
ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ Определение 8. Граница дс сингулярного р-мерного куба есть (р †. 1)-мерная цепь Р дс:= Я Я ( — 1)»+1с сы. »=О!=» Определение 9. Граница р-мерной цепи ~Ч',а»с» на.многообразии М есть (р — 1)-мерная цепь. д Я а»с»): = ~ , 'а»'дс». Таким образом, на любом пространстве цепей Ср(М) определен линейный оператор д=дР. СР(М) — »-Ср д(М). Исходя из соотношения (5), можно проверить, что для куба имеет место соотношение д(д1) =О. Следовательно, вообще д.д= =д»= О. Определение 10.
Циклом г размерности р или р-циклом на многообразии называется такая цепь, для которой де=О. Определение 11. Граничным циклом д размерности р на многообразии называется цепь, являющаяся границей некоторой (р+ 1)-мерной цепи. Пусть Ер(М) и Вр(М) — совокупности р-мерных циклов и р-мерных граничных циклов на многообразии М. Ясно, что Ер(М) и Вр(М) являются линейными пространствами над полем Гч и что Ур(М):э Вр(М). О п р еде л е н и е 12. Фактор-пространство Н,(М):= ~Р(М)ГАВР(М) (6) называется р-мерной группой гомологий (с вещественными коэффициентами) многообразия М.
Таким образом, два цикла г„г, еи Ер(М) лежат в одном классе гомологий или гомологичны, если г,— г, ен Вр(М), т. е. если они . отличаются на границу некоторой цепи, Класс гомологий цикла г ~ ЕР(М) будем обозначать через [г], Как и в случае когомологий, соотношение (б) можно переписать в виде Нр(М) = Кегдр/1шдрсь Определение 13. Если с: »-~.М вЂ” сингулярный р-мерный куб, а ы — р-форма на многообразии М, то интегралом от формы ч» по етому сингулярному кубу называется величина ~ а»:= 'ус»ы, (7) ь Определение 14. Если ~а»с» — цепь размерности р, а ы — р-форма иа многообразии М, то интеграл от формы по такой цепи понимается как линейная комбинация ~Ч",а» ~ч» интегралов » с» по соответствующим сингулярным кубам.
- Из определений 5 — 8 и 13, 14 следует, что для интеграла по сингулярному кубу, справедлива формула Стокса г)йч» = ~ы, '(8) с дс »а 4 а) По формуле Стокса ) йы = ~ ы = О, так как дг = О. г дг Ь) По формуле Стокса ~а=~да»=О, так как йь»=О. ' с) Вытекает из Ь). й) Вытекает из а). е) Вытекает из с) и й). $ С л е дс т в и е. Билинейное отобраясение»»Р(М) хС„(М) -ьР,, задаваемое формулой (ы, с) ~ ч», индуцирует билинейное отобрас асеуие Ю'(М)хор(М)».(ч и билинейное отображение НР(М)х хНР(М)-»-(ч. Последнее задается формулой ([ы], [г])»-~ ~ ы» (9) . еде ч» ЕФ ХР (М) и г ~ Хр(М).
где с и ы имеют размерность р и степень р — 1 соответственно, ..Если учесть еще определецие 9, то можно заключить, что вообще формула Стокса (8) остается в силе для интегралов по цепям. Теорема. 2. а) Интеграл от точной формы по циклу равен нулю. Ь) Интеграл от замкнупюй 4юрмы по границе цепи равен нумо.
с) Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса гомологий цикла. »1) Интеграл от замкнупюй формы по циклу зависит только от класса когомологий 4юрмы. е) Если замкнутые р-формы»»„ь»» и циклы г„г» размерности р таковы, апо [ы,] = [ч»»] и [гт] = [г»], то 352 Ги. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 4 Ч. ЗАМКНУТЪ|Е И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ Теорем а 3 (де Рам в)).
Задаваемое формулой (9) билинейное отображение Нр (М)'х Н (М) — Р, невырождено **). Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой теоремы де Рама, но дадим несколько ее переформулировок, позволяющих в явном виде представить используемые в анализе ее следствия. Прежде всего заметим, по каждый класс когомологий [ю) еи ен Нр(М) в силу (9) можно интерпретировать как линейную функ- цию [ю1([г))=~а на Нр(М).
Таким образом, возникает естественное отображение НР(М)-ь Нир(М), где Нр*(М) — сопряженное к Н (М) пространство. Теорема де Рама утверждает, что это отображение 'является изоморфизмом, и в этом смысле Н'(М) = =Нор(М). Определение 15. Если ю — замкнутая р-форма, аг — цикл размерности р на многообразии М, то величина рег(г):= ~а на- 'зывается периодом (или циклической постоянной) формы ю на цикле г. В частности, если цикл г 'гомдлогичен нулю, то, как следует нз утверждения Ь) теоремы 2, рег(г) О. По втой причине между периодами имеется следующая связь: ,5' азгв ~ = О =Ф;х", аь рег (гь) = О, (1О) т. е.
если линейная комбинация циклов является граничным цик- лом, или, что то же самое, гомологична нулю, то соответствую- щая линейная комбинация периодов равна нулю. Имеют место следующие две теоремы де Рама, которые в сово-' купности равносильны теореме 3. Теорема 4 (первая теорема де Рама). Замкнутая форма точна тогда и только тогда, когда все ее периоды ровны нулю. Теорема 5 (вторая теорема де Рама). Если каждому р-циклу г ~3р(М) на многообразии М сопоставить число рег(г) с соблю- . дением условия (10), то на М найдется такая замкнутая р-форма щ,, что ~ю=рег(г) для любого цикла г вне (М). 2 Задачи н упражнення 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
