В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 81
Текст из файла (страница 81)
'Х-ьУ со значениями в метрическом пространстве У, если У вЂ” полное метрическое пространство. Как видно из доказательства, условие полноты У нужно лишь в пункте, относящемся к достаточности условий критерия. Задачи и упражнения !. Выясните, равномерно ли сходятся рассмотренные в примерах 3 — 5 последовательности функпий. 2. Докажите равенства (2), (3). 3. а. Покажите, что рассмотренная в примере ! последовательность функций сходится равномерно на любом отрезке [О, ! — 6] ~ [О, Ц, но на множестве [О, Ц сходится неравномерно. Ь. Покажите, что это же справедливо и для последовательности, рассмотренной в примере 9.
с. Покажите, что рассмотренное в примере 8 семейство функций ]Р при ! -ь 6 сходится равномерно на любом отрезке [б, Ц <= 10, Ц, но на множестве [О, Ц сходится неравномерно. б. Исследуйте на сходимость и равномерную сходимость семейство функций )т(х)=мнтк при г-ьо, а затем при 1- оо. е. Охарактеризуйте сходимость семейства функпий й (х) =е 'х при ! -ь+оо на произвольном фиксированном множестве Е ~ П. 4. а.
Проверьте, что если семейство функций сходится (сходится равномерно) на множестве, то оно сходится (сходится равномерно) и на любом подмножестве этого множества. Ь, Покажите, что если семейство функций [р Х -~-[? сходится (сходится равномерно) на множестве Е при базе ьЭ, а я: Х -ь[? †ограниченн функция, то и семейство й ° ]и Х -ь[? тоже будет сходиться (равномерно сходиться) на Е при базе Ж с. Докажите, что если семейства функпий ]б Х -ь[?, дб Х -ь[? равномерно сходятся на множестве е с= х прн базе ю, то и семейство Аг=ам+])ап где а, [) ш [? тоже сходится равномерно на множестве Е при базе Ж.
5, а. При доказательстве достаточности условий критерия Коши мы совершили предельный переход 1пп/, (х) =г(х) по базе Ю в Т. Но .'~ ш В„а Ю— база в Т, а не в В. Можем ли мы совершить этот предельный переход так, чтобы Д оставалось в В? Ь. Поясните, где в доказательстве критерия Коши равномерной сходиь1ости семейства функций ]и Х -ь[е использована полнота [с. с. Заметьте, что есле все функции семейства (/б Х -ь[?, ! ш Т] постоянные, то донэзанная теорема в точности дает критерий Коши существования предела функпии уд Т -ь[? при базе Ю в Т. 6.
Докажите, что если семейство функций й ш С (т', П), непрерывных на отрезке 1=(хи[?]а~х~Ь) сходится равномерно на интервале ]а, Ь[, то оно сходится и причем равномерно на всем отрезке [а, Ь]. $ 2. Равномерная сходимость рядов функций 1. Основные определения и критерий равномерной сходимости ряда. Определение 1. Пусть (а„: Х-~С, лен]ч) — последовательность комплекснозначных (в частности, вещественнозначных) функций. Говорят, что ряд ~' а„(х) сходится или равномерно сходится а=! $ х РАВнОмеРнАя сходимость Рядов эзнкцнп 365 Збз Гл ХЧ! РЯДЫ Н СЕМЕПСтВА ФРНКЦИП на множестве Е с- Х, если на Е сходится или соответственно Р ю 2 л л (~!*! -2 .л! л).
л ! Определение 2. Функция з (х) = ~ч~~ ал(х), как и в случае л=! числовых рядов, называется частичной суммой или, точнее, т-й частичной суммой ряда г,' ал(х). л=! Определение 3. Суммой ряда называется предел последовательности его частичных еумм. Таким образом, запись з(х) = ~~ а„(х) на Е л=! означает, что з„(х)«з(х) на Е при т — «оо, а запись ряд У, 'ал(х) равномерно сходится на Е л ! означает, что з„(х)=!з(х) на Е при, т-!.оо. Исследование поточечной сходимости ряда в сущности есть исследование сходимости числового ряда и с зтим мы уже знакомы. Пример 1. Функцию ехр: !В-«!В згы в свое время определили соотношением л ехрг:= ~~ — „, г", л=О убедившись предварительно, что стоящий справа ряд сходится при каждом значении г ен!о.
На языке определений 1 — 3 можно теперь сказать, что ряд(1) функций а (г) — — гл сходится на всей комплексной плоскости л! и функция ехрг является его суммой. В силу принятых определений 1, 2 между рядами и последовательностями их частичных сумм устанавливается обратимая связь: зная члены ряда, получаем последовательность частичных сумм, а зная последовательность частичных сумм, восстанавливаем все члены ряда; характер сходимости ряда отождествляется с характером сходимости последовательности его частичных сумм. Пример 2. В примере 5 из З ! была построена последовательность (), т ен М) функций, сходящаяся на К! к функции Дирихле Ю(х). Если положить ат (х)=12(х) и а,(х)=1„(х) — 1„2(х) при и) 1, то мы получим ряд ~ ал (х), которыйбудет сходиться л!=! на всей числовой оси и ~ а (х) =.У (х) л=! Пример 3.
В примере 9 из 21 было показано, что последовательность функций 1„(х) = х — хл сходится, но неравномерно к нулю на отрезке [О, 1]. Значит, полагая а,(х)=)2(х), ал(х) = = 1„(х) — )л ! (х) при и) 1, получим ряд ~ ал (х) = У', (хл-' — хл), л=! л.= ! который сходится к нулю на отрезке !О, 11, но сходится неравномерно. Прямая связь между рядами и последовательностями функций позволяет каждое утверждение о последовательностях функций переформулировать в виде соответствующего утверждения о рядах функций. Так, применительно к последовательности (з„: Х вЂ «!В, и ~ !2)) доказанный в 2 1 критерий Коши равномерной сходимостй последовательности на множестве Е с:. Х означает, что 2га) 0 =(У я М, !уп„пз) У 22х ен Е (! зл, (х) — з„, (х) ! <Е).
(2) Отсюда с учетом определения 1 получается Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Ряд ~Ч , 'ал(х) сходится равномерно на множестве Е тогда и только л=! пкмда, когда для любого з)0 найдется такое число !у ен!ч, что при любых натуральных т, и, удовлетворя!о!чих условию т ) и ) й!', в любой пючке х ен Е выполнено неравенство !а,(х)+...+а (х)<(а, (3) 4 Действительно, полагая в (2) п,=т, пз=п — 1 и считая зл(х) частичной суммой нашего ряда, получаем неравенство (3), из которого в свою очередь при тех же обозначениях и условиях :теоремы вытекает еоотношение (2). Замечание 1. Мы не указали в формулировке теоремы 1 область значений функций ал(х), подразумевая, что зто Р или !В, На самом деле областью значений, очевидно, может быть лзфое векторное нормированное пространство, например 1!л или если только оно является полным.
3 а меч а н ие 2. Если в условиях теоремы 1 все функции ал(х) ,постоянны, мы получаем уже знакомый нам критерий Коши сходимости числового ряда,У, ал. л=! 5 К РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФРИКЦИИ 367 366 г . хгь Ряды и свмеиствА Фкнкции Следств не 1 (необходимый признак равномерной сходимости ряда). Для пюго чтобы ряд ~' ал(х) сходился равномерно на пел=! котором множестве Е, необходимо, чтобы ал(х) = 0 на Е при 4 Это, вытекает из определения равномерной сходимости последовательности к нулю и неравенства (3), если положить в нем т=п. $ Пример 4.
Ряд (1) сходится на комплексной плоскости С л неравномерно, поскольку зцр 1 — го ~=со для любого пап)!), в то «~с! '" время как по необходимому условию равномерной сходимости при наличии таковой величина знр (ал(х)( должна стремиться гев к нулю. ю г» Пример 5. Ряд 7 — „, как мы знаем, сходится в круге л=1 гл! 1 гл К=(г я С! !г~ <1).
Поскольку ~ — ~ < —, при г еп К, то — =10 на К при п-+.ОО. Необходимое условие равномерном сходимости выполнено, однако этот ряд сходится неравномерно на К. В самом деле, при любом фиксированном п е- =!»), считая г достаточно близким к единице, можно в силу непрерывности членов ряда добиться выполнения. неравенства По критерию Коши отсюда заключаем, что рассматриваемый ряд не сходится равномерно иа множестве К. 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. гл Определение 4.
Будем говорить, что ряд )~ а,(х) сходится л 1 абсолютно на множестве Е, если в любой точке х ~ Е соответствующий числовой ряд сходится абсолютно. Утверждение 1. Если ряды ~Ч~ а„(х) и У', Ьл(х) таковы, л=! л=! чпю , 'ал(х) ~ <Ьл(х) ири любом х ы Е и при всех достаточно болыиих номерах и еп Р(, то из равномерной сходимости ряда ~Ч~~ Ьл (х) на Е вытекае!и абсолюп!ноя и равномерная сходимость »=1 ряда ~ч~ ал(х) на том же множестве Е. л=! 4Вси силу принятых условий при всех достаточно больших номерах и и т (пусть и<т) в любой точке ген Е выполнены неравенства ,'ал(х)+...+а„(х)) =!а„(х) )+...+!а (х) !- <Ьл(х)+".+Ь„(х) = ~Ь«(х)+...+Ь (х) ~, По критерию Коши для любого е)0 можно в силу равномерной сходимости ряда У, 'Ь,(х) указать номер Л!~!А) так, что л=! пРи любых т= п))У и любом хепЕ !Ьл(х)+...+Ь (х)~<е.
Но тогда из написанных неравенств следует, что в силу того же критерия Коши должен равномерно сходиться и ряд ~ а„(х) .и ряд,У, '!а„(х)!. »=1 С ледствие 2 (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда). Если для ряда ~ ал(х) можно указать такой сходящийся числовой ряд ~Ч~ Мл, юпо зцр ~ ал(х) ~ <Мл при »=1 гме всех достаточно больших номерах п ~(ч', то ряд Я а,(х) схо«=1 дится на множестве Е абсолютно и равномерно. 4 Сходящийся числовой ряд можно рассматривать как ряд из постоянных на множестве Е функций, который в силу критерия Коши сходится равномерно на Е. Значит, признак Вейерштрасса вытекает из утверждения 1, если положить в последнем Ьл (х) = М,.
Признак Вейерштрасса является наиболее простым и вместе с тем наиболее часто используемым достаточным условием равномерной сходимости ряда В качестве примера его применения докажем следующее ,полезное Утвержден ие 2. Если степенной ряд ~, сл(г — го)л сходит»=о -ся в точке Ь -ь г„то он сходив!ел абсолютно и равномерно в любом -круге Ко (г е:- С! ! г — го !! < !7 ! ь — го !), где 0 < в < 1. 4 Из сходимости ряда~~ с„(ь — г,)л в силу необходимого л=о :,признака сходимости числового ряда следует, что с„(ь — г)'- 0 ,':пРи п -1- ОО. Значит, в рассматриваемом круге К при всех о Гл. ХУ! РЯДЫ И СВМВЙСТВА ФУНКЦИЙ Э Я. РАВНОМИРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 369 достаточно больших значениях п ен М справедливы оценки ,' с„(г — г„)" 1 =1с„(ь — г,)" ~ .
! — ' ! «!с„(ь — гв)" ( д" (д". Посколь— гв ку ряд ~Х, д' при 1!?~(1 сходится, из оценок ~с„(г — г,)" ((ди и=1 на основе мажорантного признака равномерной сходимости получаем высказанное утверждение 2. Сопоставляя это утверждение с формулой Коши — Адамара для радиуса сходимости степенного ряда (см. гл. »г, 3 б, (1?)); приходим к заключению, что имеет место Теорема 2 (о характере сходимости степенного ряда). Степенной ряд г', с„(г — гв)" сходится в круге К = (г ен С ( ~ г — гв ~ = л в «)с), радиус которого определяется по формуле *) гт' !' 1ип тг ! с„!) 1и Коши — Адамара.
Вне этого круга ряд расходится. На любом ° замкнутом круге, лежащем строго внутри круга К сходимости ряда, степенной ряд сходится абсолютно и равномерно. Замечание 3. Как показывают примеры 1 и 5, на всем круге К степенной ряд не обязан при этом сходиться равномерно. Вместе с тем может случиться, что степенной ряд равномерно сходится даже на замкнутом круге К. Ъч г" Пример 6. Радиус сходимости ряда у —; равен единице. и=1 г» ! Но если ( г ! ~ 1, то ~ —, ~ = — „, и по признаку Вейерштрасса рассматриваемый ряд сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге К = (г ен Й ) ( г ( =- Ц. 3. Признак Абеля — Дирихле. Следующие пары родственных .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
