В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Теорема 3. Пусть [(н(ен Т] — семейство функций 1;. [а, Ь]- $, определенньи на отрезке ак х«Ь и зависящих от параметра (ен Т; ОЯ вЂ” база в Т. Если функции семейства интегрируемы на [а, Ь] и (! ~[ на [а, Ь] при базе,Я, то предельная функция )' [а, Ь]-о3 тоже интегрируема на отрезке [а, Ь] и 6 6 ~ [(х) дх = 1(ш ] [! (х) йх. а а 4 Пусть р =(Р, $) — разбиение Р отрезка [а, Ь] о отмеченными точками $=[$„..., $„[, Рассмотрим интегральные суммы и и Р, (р) =,У, '[! ($!) Ах„) ен Т и Г (р) = 'У', [($!) Лх!. Оценим разность с=! 6=! Р(р) — Р6(р).
Поскольку )! — ) на [а, Ь] при базе,Я, для любого в)0 можно найти такой элемент В базы Я, что при любом ! ыВ в любой точке хев[а, Ь] будет выполнено неравенство )) (х) — )с(х)) < —. Значит, при 1енВ 'Р(Р) Р (Р) =,'У~ (»16')»)! Д!)) кх! «~~~ 1»с(со!) )»! (Оо!) ! Дха «в 6=! 6=! и эта оценка справедлива не только при любом значении ге:— В, 'но и при любом разбиении р из множества б»=((Р, в)[ разбиений отрезка [а, Ь] с отмеченными точками. Таким образом, Р, . Р на б» при базе,Я. Теперь, взяв в У традиционную базу ),(Р)- О, по теореме 1 находим, что коммутативна следующая диаграмма: о и ~г»(~!) лк, =: к»(р) = — г(р);=2;е(4.)лх! »Ч ' оl Ми! 6~ .
О[к(а) 6 6 6 )4 (г) э=:л — л»=')г(к) ', и а го и доказывает сформулированную теорему 3. Следствие 4. Если ряд ~ („(х) из интегрируемых на отрезке [а, Ь] с:[к функций сходится равномерно на этом отрезке, то его сумма тоже интегрируема на отрезке [а, Ь] и.
6 о» с 6 ((Х).(х))дх= Х 1[.(х)дх а »и =! / и=! а мпх Пример 4. В этом примере, записывая —, будем считать, что при к=О это отношение равно единице. !' О»П ! В свое время мы отмечали, что функция 31(х)= — й) не является элементарной. Исиользуя доказанные теоремы, можно, тем не менее, получить достаточно простое представление этой функции в виде степенного ряда. Для этого заметим, что У (2и+ 1)!» и=с (14) н стоящий справа ряд сходится равномерно на любом отрезке [ — а, а]с: [к. Равномерная сходимость ряда следует из мажорантного признака Вейерштрасса равномерной сходимости ряда, поскольку +, «, при )1)«а, в то время как числовой Оаи ряд (2 +1)! схОдится, 6=0 На основании следствия 4 теперь можно написать к о» о» к ""-]~ "' "]"-Ы""'"]- ( «и кки+! (2и+ 1)1 (2п-1- 1) и=с Полученный ряд, кстати, тоже сходится равномерно на любом отрезке числовой оси, поэтому, какой бы отрезок [а, Ь] изменения аргумента х ни указать и какую бы ни назначить допустимую абсолютную погрешность, можно подобрать многочлен— частичную сумму полученного ряда, который в любой точке отрезка [а, Ь] позволит вычислить Я(х) с погрешностью, не превышающей заданной.
5. Дифференцирование и предельный переход. Теорема 4. Пусть ф, (е= Т) — семейство функций );. Х-о(В, определенных на выпуклом ограниченном множестве Х (лежаще ! в ]к, (() или ином линейнол! нормированном пространстве) и зависящих от параметра 1 ен Т; ОЯ вЂ” бава в Т. Если функции семейства дифференцируемы на Х, семейство Ц„(енТ) производных сходится равномерно на Х к некоторой функции ч»: Х-~-к',, а исходное семейство Щ, (енТ) сходится хотя бы в одной точке г, ху!. Уяды и семейстВА Функций хе~ Х, то оно сходится равномерно на всем множестве Х кдифференцируемой функции 1: Х-!-С, причем 1'=ч!. 4 Покажем сначала, что семейство (1!, 1 ее Т) равномерно сходится на множестве Х при базе З.
Воспользуемся теоремой о конечном приращении в следующих оценках: ! 1а, (х) — 1к, (х) ~ === ( (1а, (х) — 1!. (х)) — (1а, (хе) — 1а, (хо))! +, +!1!, (хо) — 1с, (хв) ~ » зцр ! 1!, (Б) — 1!, (Б),!! х — хе (+ (м(х„х! + , !1а, (хв) — 1с, (хо) ( = А. (х (ы (в) По условию семейство (1;, (ыТ) сходится равномерно на Х при базе З, величина 1,(х,) как функция ( при той же базе вЗ имеет предел, а !х — х,( — ограниченная величина при х ее Х. Ввид необходимости условий критерия Коши для равномерной сходимости семейства функции 1! и существования предела функ! (х ), для любого е) О найдется такой элемент В базы З, что для любых („(,яВ и любого хееХ будет Л(х, „в)< .
А это в силу написанных оценок означает, что семейство функций (1!, ( ~ Т) тоже удовлетворяет условиям критерия Коши и, следовательно, равномерно сходится на Х 'при базе З к некоторой функции 1: Х -л- С. Вновь используя теорему о конечном приращении, получим теперь следующие оценки: ! (1!, (х+ й) — 1п (х) — 1;, (х) й) — (1а, (х+ й) — 1а, (х) — 1;, (х) й) ( = = ((1!, — 1!.) (к+ 1!) — (1а, — 1п) (х) — (1п — 1г,)' (х) й( и:", зцр ((1п — 1п)' (х+ 8й) ! ! й !+ ! (1!, — 1п)' (х) / ( ( = в<в<! = ( зцР ! 1;, (х+ 8й) — 1;, (х+ Ой),! -1- ( 1!, (х) — 1!, (х) () ) й ). (а<в<! Зти оденки, справедливые при х, х+й еп Х, ввиду равномерной сходимости семейства (1;, ( ен Т) на Х, показывают, что семейство (Ра, ( ~ Т) функций 1 (х+И) — 1! (х) — 1'(х) й Р (й) ! ! ые мы будем рассматривать при фиксированном значении которые х ы Х, сходится при базе З равномерно относительно всех значений йФО таких, что х+й АХ.
Заметим, что Рг(й)-а-О при й-л- О ввиду дифференцируемости функции 1, в точке хе- =Х, а ввиду того, что 1!-~1 и 1!-л-!(! при базе З, имеем Р!(й)-л-Р(й) = 1 (х+ Ь) — ( (х) — !г (х) Ь прв базе З з х свопствл пгедельноп ФУнкции Применяя теорему 1, можно теперь записать коммутативную диаграмму 4(х+л)-4(х)-г!(х)г Г(хл Ц- йх) — т(х) А (г( в,. !А =: брй =~е(Ю:= и а~ . ~л а в в Правый предельный переход при й-+.О показывает, чтофункция 1 дифференцируема в точке х ~ Х и 1'(х) =ч!(Х). )ь Следствие 5. Если ряд г,' 1„(х) ив функций 1,.! Х вЂ” !-(В, л=! дифференцируел!ых на ограниченном выпуклом множестве Х (лежа- и(ем в К, !В или любом линейном нормированном пространстве), сходится «отя бы в одной точке хе ее Х, а ряд ~ ', 1„'(х) сходится л=! равномерно на Х, то ряд )~ 1„(х) тоже сходится равномерно на л=! Л, его сумма дифференцируема на Х и с лл лъ .й,' 1.) (х, = ~ч", 1; (х).
л=! л=! Это вытекает из теоремы 4 и определений суммы и равномерной сходимости ряда с учетом линейности операции дифференцирования. Замечание 4. Приведенные доказательства теорем 3 и 4, как и сами теоремы и их следствия, остаются в силе для функций 1,: Х-~-)а со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве У.
Например, г' может быть Р, (В, 1с", $", С(а, Ь) и т. д..Областью Х определения функций 1! в теореме 4 тоже может быть соответствуюшее подмножество лк)бого линейного нормированного пространства. В частности, Х может лежать в Р, (В, Й" или !В". Для вещественнозначных функций вещественного аргумента (при дополнительных требованиях к сходимости) доказательства этих теорем можно сделать еще более простыми (см. задачу 11).
В качестве иллюстрации использования теорем 2 — 4 докажем следующее широко используемое и в теории и в конкретных вычислениях Утверждение 3. Если круг Кс:(О сходимости степенного ряда )~ сл(г — г,)" не сводится к единственной точке г=г„то л 0 г . хть Ряды и семеиствА ФУнкцип внутри К сумма 1(г) этого ряда дифференцируема, причем 1 (2) =,)~~ пел (г — го) (15) «=1 Кроме того, функцию 1: К-ь !1) можно интеерировате по любому гладкому пути у: [О, Ц-а-К и если [О, Ц~1 г(1) ~ К, г(0)=г, и 2(1) =г, то 7 1 (2) д2 = ~ — л,(2 — го)л+1. «=О (16) 1 ЗаМЕЧаи ИЕ 5.
ЗДЕСЬ ~~(г)1(г:= ~)(2(1))г'(1)д1.)) Чаетиаетна 7 о если на интервале — К(х — х,(К действительной оси (к имеет МЕСТО РаВЕНСтВО [(Х) = .У,' ал(Х вЂ” Хо)", тО «=о л о Юд(=,'~ „+, ( —,)л". — А ла л О 4 Поскольку 1цп у п(,с„(= 1пп э/Гс„), то из формулы Кол со л «а ши — Адамара (теорема из $ 2) вытекает, что степенной ряд ~Ч,' пс, (г-2,)'-', полученный почленным дифференцированием «=! ряда 2~ сл(г — го)", имеет тот же круг сходнмости К, что и л=о исходный степенной ряд. Но по той же теореме из 8 2 ряд пса(г — г,)"-' сходится равномерно в любом круге Ко таком, «=1 что К с: К, Поскольку ряд 2~ сл(г — го)", очевидно, сходится при л=о г=г„к нему теперь применимо следствие 5, чем и обосновывается равенство (15). Итак, показано, что степенной ряд можно дифференцировать почленно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
