Главная » Просмотр файлов » В.А.Зорич-Математический анализ(часть2)

В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 88

Файл №522404 В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (В.А. Зорич - Математический анализ) 88 страницаВ.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404) страница 882013-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 88)

Тогда фуйкция д = !пах (Ь„, Ь„...,, Ь„) ~ А будет искомой. Взяв теперь для каждой точки хенел;" такую функцию д, заметим, что ввиду непрерывности функции д„и (найдется такая 'открытая окрестность 1г„точки хейг, что д (1)<1(()+е при любом (ен)г„. Поскольку ай — компакт, найдется его конечное покрытие ()г.а )г,, ..., )г„) такими окрестностями. Функция а=ш1п (й„, д,, ..., д, ) принадлежит алгебре А и по построению в любой точке удовлетворяет двойному неравенству 1(1) — В(д(1) ([(()+е. Но число В) О было.

выбрано произвольно, поэтому доказано, что любую функцию 1' ее С(Ю, (с) можно сколь угодно точно равномерно приблизить на Ю функциями из алгебры А. ° ) М. Х. Стоун 11903) — известный современный американский математик; основные труды относятся н топологии н фуннннональному анализу, г . ху> Ряды и семепствл Функции Задачи и упражнении 1. Семейство У функций /: Х-»У, определенных на метрическом пространстве Х и принимающих значения в метрическом пространстве У, называется раж>жтелвлло непрерывным в то>яв куьм Х, если для любого з > О найдется 6> 0 такое, что для любой функции />и У соотношение й„; (х, х) < е влечет дг(/(кв) /(х)) <е.

а. Покажите, что если семейство У функций /: Х вЂ” «''г' равностепенно непрерывно в точке хв >н Х, то любая функцвя / сэ У непрерывна в точке кв, ио утвер>кдение, обратное к атому, неверно. Ь. Локажите, что если семейство У функций /: Ьь -»)> равностепенно непрерывно в любой точке компакта еФ", то оно равностепенно непрерывно иа Ь>" в смысле определения 2, с. Покажите, что если метрическое прострзнсшо Х ие является компактом, то из равностепенной,непрерывности семейства У функций /: Х -» )> в каждой точке к еэ Х еще не вытекает равностепеиная непрерывность У иа Х. По этой причине, если семейство У равносгепенно непрерывно иа множе. стае Х в смысле определения 2, его часто называют равномерно равлостелвлло непрерывным на множестве.

Таким обрааом, между равностепенной непрерывностью в точке и равномерной равиостепенной непрерывностью семейства функций иа множестве Х соотношение гаков >ке, как между непрерывностью и равномерной непрерывностью отдельной функции /: Х ->- У на множестве Х. д. Пусть ю (/; Е) †колебан функции /; Х -» у на множестве Е ш Х, а В (х, 6) †ш радиуса 6 с центром в точке х ьм Х. Определенвем каких понятий являются следующие записи; Ув> 0 В6 > 0 Чг/ си У ю(/; В (х, 6)) < в, >ув> 0 В6>0 У/ьм У УкевХ ю(/; В(х, 6)) <е? е. Покажите иа примере, что теорема Арцела — Асколн, вообще говоря, не имеет места, если (гь ие явлнется компактом; постройте на )? равномерно ограниченную и равностепенно непрерывную последовательность (/„, а ьм Ы) функций /„(х)=ц>(к+л), иэ которой нельзя извлечь равномерно сходящуюся.

на )? подпоследовательиость 1. Опираясь на теорему Арцела — Асколи, решите 'задачу !О с из 9 3. 2. а. Объясните подробно, почему любую непрерывную кусочно линейную .функцию на отрезке [а, Ь] можно представить в виде линейной комбинации функций вида Е. 4, указанных в доказательстве теоремы Вейерштрасса. ь>, Ь. Локажите теорему Вейерштрзсса для иомплекснозначных непрерывных функций /: [а, Ь]-» С. Ь с. Величину М„=]/(к)х" дк часто называют лм яомеллюм функции в /: [а, Ь]-»С на отрезке [а, Ь]. Покажите, что еслн / >м С([а, Ь], С) и М„=О при любом л ьм Ы, то /(х) жО иа ]а, Ь). 3.

а. Поиажите, что алгебра, порожденная парой функций (1, хэ), плотна в множестве всех четных, непрерывных на отрезке [ — 1, 1] функций. Ь. Решите предыдущий вопрос для алгебры, порожденной одной функцией (х), и множества нечетных функций, непрерывных на отрезке [ — 1, !]. с. Любую ли функцию /сз С([0, л), С) можно сколь угодно >точно равно. мерно аппроксимировать функциями алгебры, порожденной парой функций (1, в>к)? д.

Ответьте иа предыдущий вопрос в случае / еэ С([ — л, ц) С) е. Покажите, что ответ на предыдущий вопрос будет положителнным тогда н только тогда, когда /( — л)=/(л). 1. Любую ли функцию /сэ С([а, Ь), С) можно равномерно аппроксимировать линейными комбинациями функций.системы (1, сов х, яп х, ..., сж лх, з1п х, ...]. если [а, Ь! ш 1 — л, и[? $ в НРОстРянстно непРеРынных Функьн>н 399 й. Любую лв четную функцию / са С ([ — л, и), С) можно равномерно аппроксимировать функциями системы (1, созк, ....

созлх, ...)? Ь. Пусть [а, Ь] — произвольный отрезок прямой [? Покажите, что алгебра, порожденная на [а, Ь) любой ие обращающейся в нуль строго монотонной функцией ц>(х) (например, в"), плотна в С([а, Ь], )?). !. При каком расположении отрезка [а, Ь[ ш )? порожденная функцией 4>(к)=к алгебра плотна в С([а, Ь], )?)? 4.

а Комплексная алгебра А называется самосолряягвнлой, если нз /еэА следует., что / >ж А, где / (к) — значение, сопряженное к /(к). Покажите. что если комплексная алгебра А не вырождается на Х и разделяет точки Х, то при условии самасопряжениости алгебры А можно утверждать, что подалгебра Ая веществепнозиачных функций алгебры А тоже не вырождается на Х н тоже разделяет точки множества Х. Ь. Локажите следующий комплексный вариант теоремы Стоуна Если комлжхсная алгебра А функций /: Х вЂ” С лв вырождавшся иа Х а Раздев>мш точки Х, шв лри условии самосолряжеллжти алв«бры А можно утверждать, члю ола ллотна в С(Х, С) с. Пусть Х=(г еэ С ! ! а ! =1] — единичная окружность, А — алгебра иа Х, порожденная функцией е>Ф, где ф — полярный угол точки г ш Х Зта алгебра не вырождается на Х и разделяет точки Х, но не является самосопряженной.

/(окажите, что для любой функции /: Х -«С, допугкаюшей равномерную аппроксимацию элементами алгебры А, должно выполняться равенство эн /(в'Ф)е'"Фд?=0 при любом л ш )4. Используя это обстоятельство, проверьте, что сужение на окружность Х функции /(г)=к есть нспрерывная'на Х функции. которая не входит в замыкание указанной алгебры А. $1 СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Р(1) = 1 1(х, 1)дх, ГЛАВА ХА!1 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В этой главе общие теоремы о семействах функций, зависящих от параметра, будут применены к одному из наиболее часто встречающихся в анализе виду таких семейств — к интегралу, зависящему от параметра. В 1.

Собственные интегралы, зависящие от параметра 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра. Интеграл, зависящий от параметра, — зто функция вида где 1 играет роль параметра, пробегающего некоторое множество Т, а каждому значению 1ен Т отвечает множество Е, и интегрируемая на нем в собственном или несобственном смысле функция ч««(х)=1(х, 1). Природа множества Т может быть самой разнообразной, но важнейшими, разумеется, являются случаи, когда Т вЂ” подмножество пространств (1, С й" или С' Если при каждом значении параметра ( ен Т интеграл (1) является собственным, то принято говорить, что функция Р в (1) есть собственный интеграл, зависящий от параметра.

Если же при всех или при некоторых значениях (ен Т инте. грал в (1) существует только в несобственном смысле, то функцию Р обычно 'называют несобственным интегралом, зависли(им от параметра. Но это, конечно, всего лишь терминологические условности. В том случае, когда хенй, Е,с-)ч и т~! гуворят, что имеют дело с кратным (двойным, тройным и т.

д.) инп«егралом (1), зависящим от параметра. Главное внимание мы сосредоточим, однако, на одномерном случае, составляющем основу любых обобщений. Более того, для простоты мы сначала в качестве Е, будем брать только не зави- сящие от параметра промежутки числовой прямой Р, и к тому же будем считать, что на них интеграл (1) существует в собственном смысле. 2.

Непрерывность интеграла, зависящего от параметра. Утвержден ие 1. Пусть Р=((х, у)=Р'а.=х=-ЬР«с(у:=й)— прямоуголзник в плоскости Р. Если функция 1' Р— Я непрерывна„ т. е. если 1 а= С(Р, Я), та функция ь Р (у) = ~ [(х, у) йх (2) а непрерывна в любой точке у ~ [с, й). 4 Из равномерной непрерывности функции ! на компакте Р вытекает, что «ро(х):=1(х, у)= 1(х, у„) =: «р„,(х) на [а, Ь) при У-+Уо У, уо ен[с, б]. При каждом уен[с, «Х) функция «р„(х) = =1(х, у) непрерывна по х на отрезке [а, Ь), а значит, и инте- грируема на нем.

По теореме о предельном переходе под знаком интеграла теперь можно утверждать, что ь ь Р (Уо) = ~ 1(х Уо) «(х= 11«п ~ 1(х У) йх= !1«п Р(у) а оаа о о. Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, утверждение 1 о непрерывности функции (2) остается в силе, если в качестве множества значений параметра у взять любой компакт ьГ, конечно, при условии, что !БААС (1 х ««Г, (ч), где 1=(х вне а(х~Ь). Отсюда, в .частности, можно сделать вывод, что если ~С(1х0, Р), где 1) — открытое множество в И", тор БЕС(П, 1«), поскольку любая точка у, ен 0 имеет компактную окрестность , Ю ~ 1«, а сужение функции 1 на 1Х УГ является непрерывной 'функцией на компакте 1хопГ. Мы сформулировали утверждение 1 для вещественнозначных ,функций, но, конечно, оно вместе с дбказательством сохраняет силу и для векторнозначных функций, например для функций, принимающих значения в $ в (~ илн С".

Пример 1. При доказательстве леммы Морса (см. часть 1) .мы упоминали о следующем утверждФии, называемом леммой Адамара, Если функция 1 в окрестности (/ точки х, принадлежит классу С««1((1, (ч), то в некоторой окрестности точки хо ее можно пред- ан«авить в виде [(х) =1(хо)+ Ч) (х) (х — хо), (3) вде «р — функция, непрерывная в хо, причем ч«(хо)=['(хо). Равенство (3) легко следует из формулы 1 1 (хо+.Ц вЂ” 1 (хо) = ~)1' (хо+ (Ь) Й Й (4) о 402 Га.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
7,39 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6458
Авторов
на СтудИзбе
304
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее