В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Тогда фуйкция д = !пах (Ь„, Ь„...,, Ь„) ~ А будет искомой. Взяв теперь для каждой точки хенел;" такую функцию д, заметим, что ввиду непрерывности функции д„и (найдется такая 'открытая окрестность 1г„точки хейг, что д (1)<1(()+е при любом (ен)г„. Поскольку ай — компакт, найдется его конечное покрытие ()г.а )г,, ..., )г„) такими окрестностями. Функция а=ш1п (й„, д,, ..., д, ) принадлежит алгебре А и по построению в любой точке удовлетворяет двойному неравенству 1(1) — В(д(1) ([(()+е. Но число В) О было.
выбрано произвольно, поэтому доказано, что любую функцию 1' ее С(Ю, (с) можно сколь угодно точно равномерно приблизить на Ю функциями из алгебры А. ° ) М. Х. Стоун 11903) — известный современный американский математик; основные труды относятся н топологии н фуннннональному анализу, г . ху> Ряды и семепствл Функции Задачи и упражнении 1. Семейство У функций /: Х-»У, определенных на метрическом пространстве Х и принимающих значения в метрическом пространстве У, называется раж>жтелвлло непрерывным в то>яв куьм Х, если для любого з > О найдется 6> 0 такое, что для любой функции />и У соотношение й„; (х, х) < е влечет дг(/(кв) /(х)) <е.
а. Покажите, что если семейство У функций /: Х вЂ” «''г' равностепенно непрерывно в точке хв >н Х, то любая функцвя / сэ У непрерывна в точке кв, ио утвер>кдение, обратное к атому, неверно. Ь. Локажите, что если семейство У функций /: Ьь -»)> равностепенно непрерывно в любой точке компакта еФ", то оно равностепенно непрерывно иа Ь>" в смысле определения 2, с. Покажите, что если метрическое прострзнсшо Х ие является компактом, то из равностепенной,непрерывности семейства У функций /: Х -» )> в каждой точке к еэ Х еще не вытекает равностепеиная непрерывность У иа Х. По этой причине, если семейство У равносгепенно непрерывно иа множе. стае Х в смысле определения 2, его часто называют равномерно равлостелвлло непрерывным на множестве.
Таким обрааом, между равностепенной непрерывностью в точке и равномерной равиостепенной непрерывностью семейства функций иа множестве Х соотношение гаков >ке, как между непрерывностью и равномерной непрерывностью отдельной функции /: Х ->- У на множестве Х. д. Пусть ю (/; Е) †колебан функции /; Х -» у на множестве Е ш Х, а В (х, 6) †ш радиуса 6 с центром в точке х ьм Х. Определенвем каких понятий являются следующие записи; Ув> 0 В6 > 0 Чг/ си У ю(/; В (х, 6)) < в, >ув> 0 В6>0 У/ьм У УкевХ ю(/; В(х, 6)) <е? е. Покажите иа примере, что теорема Арцела — Асколн, вообще говоря, не имеет места, если (гь ие явлнется компактом; постройте на )? равномерно ограниченную и равностепенно непрерывную последовательность (/„, а ьм Ы) функций /„(х)=ц>(к+л), иэ которой нельзя извлечь равномерно сходящуюся.
на )? подпоследовательиость 1. Опираясь на теорему Арцела — Асколи, решите 'задачу !О с из 9 3. 2. а. Объясните подробно, почему любую непрерывную кусочно линейную .функцию на отрезке [а, Ь] можно представить в виде линейной комбинации функций вида Е. 4, указанных в доказательстве теоремы Вейерштрасса. ь>, Ь. Локажите теорему Вейерштрзсса для иомплекснозначных непрерывных функций /: [а, Ь]-» С. Ь с. Величину М„=]/(к)х" дк часто называют лм яомеллюм функции в /: [а, Ь]-»С на отрезке [а, Ь]. Покажите, что еслн / >м С([а, Ь], С) и М„=О при любом л ьм Ы, то /(х) жО иа ]а, Ь). 3.
а. Поиажите, что алгебра, порожденная парой функций (1, хэ), плотна в множестве всех четных, непрерывных на отрезке [ — 1, 1] функций. Ь. Решите предыдущий вопрос для алгебры, порожденной одной функцией (х), и множества нечетных функций, непрерывных на отрезке [ — 1, !]. с. Любую ли функцию /сз С([0, л), С) можно сколь угодно >точно равно. мерно аппроксимировать функциями алгебры, порожденной парой функций (1, в>к)? д.
Ответьте иа предыдущий вопрос в случае / еэ С([ — л, ц) С) е. Покажите, что ответ на предыдущий вопрос будет положителнным тогда н только тогда, когда /( — л)=/(л). 1. Любую ли функцию /сэ С([а, Ь), С) можно равномерно аппроксимировать линейными комбинациями функций.системы (1, сов х, яп х, ..., сж лх, з1п х, ...]. если [а, Ь! ш 1 — л, и[? $ в НРОстРянстно непРеРынных Функьн>н 399 й. Любую лв четную функцию / са С ([ — л, и), С) можно равномерно аппроксимировать функциями системы (1, созк, ....
созлх, ...)? Ь. Пусть [а, Ь] — произвольный отрезок прямой [? Покажите, что алгебра, порожденная на [а, Ь) любой ие обращающейся в нуль строго монотонной функцией ц>(х) (например, в"), плотна в С([а, Ь], )?). !. При каком расположении отрезка [а, Ь[ ш )? порожденная функцией 4>(к)=к алгебра плотна в С([а, Ь], )?)? 4.
а Комплексная алгебра А называется самосолряягвнлой, если нз /еэА следует., что / >ж А, где / (к) — значение, сопряженное к /(к). Покажите. что если комплексная алгебра А не вырождается на Х и разделяет точки Х, то при условии самасопряжениости алгебры А можно утверждать, что подалгебра Ая веществепнозиачных функций алгебры А тоже не вырождается на Х н тоже разделяет точки множества Х. Ь. Локажите следующий комплексный вариант теоремы Стоуна Если комлжхсная алгебра А функций /: Х вЂ” С лв вырождавшся иа Х а Раздев>мш точки Х, шв лри условии самосолряжеллжти алв«бры А можно утверждать, члю ола ллотна в С(Х, С) с. Пусть Х=(г еэ С ! ! а ! =1] — единичная окружность, А — алгебра иа Х, порожденная функцией е>Ф, где ф — полярный угол точки г ш Х Зта алгебра не вырождается на Х и разделяет точки Х, но не является самосопряженной.
/(окажите, что для любой функции /: Х -«С, допугкаюшей равномерную аппроксимацию элементами алгебры А, должно выполняться равенство эн /(в'Ф)е'"Фд?=0 при любом л ш )4. Используя это обстоятельство, проверьте, что сужение на окружность Х функции /(г)=к есть нспрерывная'на Х функции. которая не входит в замыкание указанной алгебры А. $1 СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Р(1) = 1 1(х, 1)дх, ГЛАВА ХА!1 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА В этой главе общие теоремы о семействах функций, зависящих от параметра, будут применены к одному из наиболее часто встречающихся в анализе виду таких семейств — к интегралу, зависящему от параметра. В 1.
Собственные интегралы, зависящие от параметра 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра. Интеграл, зависящий от параметра, — зто функция вида где 1 играет роль параметра, пробегающего некоторое множество Т, а каждому значению 1ен Т отвечает множество Е, и интегрируемая на нем в собственном или несобственном смысле функция ч««(х)=1(х, 1). Природа множества Т может быть самой разнообразной, но важнейшими, разумеется, являются случаи, когда Т вЂ” подмножество пространств (1, С й" или С' Если при каждом значении параметра ( ен Т интеграл (1) является собственным, то принято говорить, что функция Р в (1) есть собственный интеграл, зависящий от параметра.
Если же при всех или при некоторых значениях (ен Т инте. грал в (1) существует только в несобственном смысле, то функцию Р обычно 'называют несобственным интегралом, зависли(им от параметра. Но это, конечно, всего лишь терминологические условности. В том случае, когда хенй, Е,с-)ч и т~! гуворят, что имеют дело с кратным (двойным, тройным и т.
д.) инп«егралом (1), зависящим от параметра. Главное внимание мы сосредоточим, однако, на одномерном случае, составляющем основу любых обобщений. Более того, для простоты мы сначала в качестве Е, будем брать только не зави- сящие от параметра промежутки числовой прямой Р, и к тому же будем считать, что на них интеграл (1) существует в собственном смысле. 2.
Непрерывность интеграла, зависящего от параметра. Утвержден ие 1. Пусть Р=((х, у)=Р'а.=х=-ЬР«с(у:=й)— прямоуголзник в плоскости Р. Если функция 1' Р— Я непрерывна„ т. е. если 1 а= С(Р, Я), та функция ь Р (у) = ~ [(х, у) йх (2) а непрерывна в любой точке у ~ [с, й). 4 Из равномерной непрерывности функции ! на компакте Р вытекает, что «ро(х):=1(х, у)= 1(х, у„) =: «р„,(х) на [а, Ь) при У-+Уо У, уо ен[с, б]. При каждом уен[с, «Х) функция «р„(х) = =1(х, у) непрерывна по х на отрезке [а, Ь), а значит, и инте- грируема на нем.
По теореме о предельном переходе под знаком интеграла теперь можно утверждать, что ь ь Р (Уо) = ~ 1(х Уо) «(х= 11«п ~ 1(х У) йх= !1«п Р(у) а оаа о о. Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства, утверждение 1 о непрерывности функции (2) остается в силе, если в качестве множества значений параметра у взять любой компакт ьГ, конечно, при условии, что !БААС (1 х ««Г, (ч), где 1=(х вне а(х~Ь). Отсюда, в .частности, можно сделать вывод, что если ~С(1х0, Р), где 1) — открытое множество в И", тор БЕС(П, 1«), поскольку любая точка у, ен 0 имеет компактную окрестность , Ю ~ 1«, а сужение функции 1 на 1Х УГ является непрерывной 'функцией на компакте 1хопГ. Мы сформулировали утверждение 1 для вещественнозначных ,функций, но, конечно, оно вместе с дбказательством сохраняет силу и для векторнозначных функций, например для функций, принимающих значения в $ в (~ илн С".
Пример 1. При доказательстве леммы Морса (см. часть 1) .мы упоминали о следующем утверждФии, называемом леммой Адамара, Если функция 1 в окрестности (/ точки х, принадлежит классу С««1((1, (ч), то в некоторой окрестности точки хо ее можно пред- ан«авить в виде [(х) =1(хо)+ Ч) (х) (х — хо), (3) вде «р — функция, непрерывная в хо, причем ч«(хо)=['(хо). Равенство (3) легко следует из формулы 1 1 (хо+.Ц вЂ” 1 (хо) = ~)1' (хо+ (Ь) Й Й (4) о 402 Га.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
