В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 90
Текст из файла (страница 90)
/„(х)= ""„ц 1 (1 — !)" зс дй -! остатка интеграла (1). )г1(х, у)дх (е ь $ О. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (3) 4ПЗ . Гх. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Если ввести обозначение ь Рь (у): = $ 1 (х, у) ([х а для собственного приближения несобственного интеграла (1), то приведенно4 основное определение этого параграфа можно (и, как будет видно из дальнейшего, весьма полезно) переформулировать также в иной, равносильной прежней форме: равномерная гходимость интеграла (1) ни множестве Е ~ У по определению означает, что Рь (у):«Р (у) на Е и ри Ь - (о, Ь ен [а, о)[. (4) Действительно, ведь а ь р(у) =$ 1(х, у)((х:= Вш $[(х, у)((х= В[п гь(у), Ь а» Ь а Ье[», а[ Ья[», о! поэтому соотношение (21 можно переписать в виде ~Р(у) Рь(У)[(в. (б) Последнее неравенство справедливо при любом Ь ен (Г[,,ь[(о)) и любом у ~ Е, что и указано в соотношении (4).
Итак, соотношения (2), (4), (5) означают, что если интеграл (1) сходится равномерно на некотором множестве Е значений параметра, то с любой наперед заданной точностью и одновременно для всех у ен Е этот несобственный интеграл (1) можно заменить некоторым собственным, зависящим от того же параметра у интегралом (3). Пример 1. Интеграл сходится равномерно на всем множестве Р значений параметра у ее И, поскольку при любом у я Я [-СО +СО как только Ь) 1/е. Пример 2. Интеграл + со е-ху ((х, о очевидно, сходится, лишь когда,у)0, При этом на любом мно)кестве [у ен [)[у--:уо. О) он сходится равномерно.
В самом деле, если у ~ уо)0, то + СО 0== е-ху([х=--е-ьу( — е-ьу -«О при Ь вЂ” «+со. ! ! УО Вместе с тем на всем множестве й,= [у ее Р~у)0) равномерной сходимости нет. Действительно, Отрицание равномерной сходимости интеграла (1) на множестве Е означает, что у..>о кв ),, ) зва(в, ) зв в[!)(*. С)в />.,). В нашем случае в качестве е, можно взять любое действитель- НОЕ ЧИСЛО, ПОСКОЛЬКУ ! е-х«((х= — е-ь"-«+со, когда у — )-+О, ь каково бы ни было фиксированное значение Ь ее [О,+со[. рассмотрим еще один менее тривиальный пример, которым мы в дальнейшем воспользуемся.
Приме р 3. Покажем, что каждый из интегралов + со Ф(х)= ~ х у 'В+[в-"вх)у([у, о + ОО р (У) ~ Хауасвв[Е-(1»х)у ([Х о в которых а и р — фиксированные положительные числа, сходится равномерно на множестве неотрицательных значений параметра. Для остатка интеграла Ф(х) сразу получаем, что Оч, 1 х у сз+1е-([+к)У([у= 'ь + СО + СО (ху)ае (хмуо+[е «([у О: М ) уео[е «((у Ь ь где М [пах иае- . Поскольку последний интеграл сходится, О О, и ( + со то при достаточно больших значениях Ь ее [с он может быть сделан меньше любого наперед заданного числа в)0. Но это и означает равномерную сходимость интеграла Ф(х).
Теперь рассмотрим остаток второго интеграла р(у): у со СО + СО 0~ ~ хауио[)в[Е (1+х)у([Х =уве-у ~ (ху)ае-хуу([х — уве-у ~ иае-а((и ь ь ьу 411 Ь 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Поскольку при у ) 0 + сЬ + лл иае-лйи» ~ иае-иди < - 1 со ьь о (7) Собственный интеграл ь, ) 7(х, у) дх ~-4л' о (6) 410 Гк ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА а уэг-Р-л-0 ПрИ у - О, тО дЛя Е ) О, ОЧЕВИДНО, НайдЕтСя таКОЕ число у, О, что при любом у еи [О, уо] остаток интересующего иас интеграла будет меньше е независимо даже от значения Ь ~ ее [О, +со[. Если же У)УЬ)0, то, УчитываЯ, что Мз= шах Уее-о» о < о<в +Ф + Ол »+оо, а 0» ) и е- ди» ~ и"е- йи-~0 при Ь-ь.+оо, заклюЬо ьд, чаем, что при всех достаточно больших значениях Ь ~[0, +сс[ одновременно . для всех значений у ) у, ) 0 остаток интеграла р(у) можно сделать меныцим чем е.
Объединяя участки [О, у,1, [уо+сх~[, заключаем, что, действительно, йо любому е)0 можно так подобрать число В, что при любом Ь) В и любом у»0 соответствующий остаток интеграла Р(у) будет меньше чем е. Ь. Критерий Коши равномерной сходимости интеграла.' Утверждение 1 (критерий Коши). Для того чтсбы несобственный интеграл (1), завиаиций от параметра у'е= )л, сходился равномерно ььа множестве Е «У, необходимо и достаточно, чтобы для любого е) 0 сушрствовала такая окрестность У1, 1(ьо) точки оь, что при любых Ьн Ь,БНЦ,, 1(оь) и любом уееЕ выполняется неравенство Неравенство (6) равносильно соотношению 1Рь, (у)— — Рь; (У) ~ »в, поэтомУ УтвеРждение 1 ЯвлЯетсЯ пРЯмым следствием записи (4).определения равномерной сходимости интеграла (1) и критерия Коши равномерной сходимости на Е семейства функций Рь(у), зависящих от параметра Ь ы [а, ы[. $ В качестве иллюстрации использования этого критерия Коши рассмотрим следующее инотда полезное его.
Следствие 1. Если функция 1' в интеграле (1) непрерывна на множестве [а, оь[х [с, ь(1, а сам интеграл (1) сходится при любом у ее )с, д[, но расходится при у=с или у=д, то он сходится неравномерно на интервале [с. д[, равно как и на любом множестве Е «1с, д[, замыкание которого содержит точку расходимости. 4 Если при у=с интеграл (1) расходится, то на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла существует число е,) 0 такое, что в любой окрестности У 1,, „1(4о) найдутся числа Ь„ Ь„ для которых является в нашем случае непрерывной функцией параметра у на всем отрезке [с, й1 (см. утверждение 1 из Э 1), поэтому при всех значениях у, достаточно близких к с, вместе с неравенством (7) будет выполняться неравенство На основании критерия Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, теперь заключаем, что рассматриваемый интеграл не может сходиться равномерно ни на каком подмножестве Е с: )с, й[, замыкание которого содержит точку с.
Аналогично рассматривается случай, когда интеграл расходится при у=д. $ Пример 4. Интеграл сходится при 1)0 и расходится при 1=0, поэтому он заведомо сходится неравномерно на любом множестве положительных чисел, имеющем нуль предельной точкой. В частности, он сходится неравномерно на всем множестве (1 ее Я) 1) О) положительных чисел.
В данном случае сказанное легко проверить и непосредственно: + лл + ал е-'"'дх= [ е-л'йи-~+оо при 1-~+О. ~'7 .1 ььь . Подчеркнем, что тем не менее на любом отделенном от нуля множестве (1 ш1 1411~ 1о) 0) наш интегРал схоДитсЯ РавиомеРио, поскольку +Ф +оа 0()ель(ича1 — ~гойи РО при ЬР(со 4!3 $ Е НБСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4!З Гл. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА е . Достаточные условия равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Утверждение 2 (признак Вейерштрасса). Пусть функции [(х, у), у(х, у) интегрируел~ы по х на любом отрезке [а, Ь! с: ~ [а, ы[ при каждом значении уев У. Если при каждом значении д еп У и любом х ен [а, ьэ[ имеет место неравенство [)(х, у) ~ «у(х, у), а интеграл ~ у(х, у)йх а сходится равномерно на У, то интеграл ~ ! (х, у) йх а сходится абсолютно при каждом у ~ У и равномерно на множест- ве У М Это следует нз оценок ь. ь„! ьа )((х, у)йх«) ~) (х, у) ~йх « ~ у(х, д) йх ь, и критерия Коши равномерной сходимости интеграла (утвержде- ние 1).
в Наиболее часто встречается тот случай утверждения 2, когда функция у вообще не зависит от параметра у. Именно в этом случае доказанное утверждение 2 обычно называют мажорантным признаком Вейерштрзсса равномерной сходимости интеграла. Пример 5. Интеграл сходится равномерно на всем множестве [ч значений параметра а, ! Стах! ! Г вх поскольку ~ ~ «.:. :—, а интеграл — сходится. [ !+ [ !+х, !+ха П р имер б.
Ввиду неравенства [з!и хе-'л*~ ~е-'л* интеграл ~ з!пхечл*йх, о как следует нз утверждения 2 и результатов примера 3, сходится равномерно на любом множестве вида [! ~[ч ~ ! )(ь) 0[. Посколь- ку при ! =О интеграл расходится, на основании следствия крите- рия Коши заключаем, что он не может сходиться равномерно ни на каком множестве Е, имеющем нуль своей предельной точкой. Утверждение 3 (призиак Абеля — Дирихле). Пусть функ- ции )(х, у), у(х, у) при каждом значении д ен У интегрируемы по х на любом отрезке [а, Ь[с:. [а, ы[. Для равномерной сходимости интеграла ~ (1'к)(х д)дх а на множестве У достаточно, чтобы была выполнена' любая из следующих двух пар условий: а,) Существует постпоянная М ен [ч такая, что при любом Ь е= [а, ы[ и любом у ен У выполнено неравенство и(*.
на*!см; а р,) при каждом уев У функция у(х, у) монотонна по х на промеэсутке [а, ы[ и а(х, у):ФО на У при х-ь.ы, х~[а, ьь[. ал) Интеграл ~ 7(х, у)дх а сходится равномерно на множестве У; [)2) при каждом у~У функция у(х, у) монотонна по х на промежутке [а, ы[ и существует постоянная М ~[7 такая, что при любом х я [а, ы[ и любом д я У выполнено неравенство !у(х, у)[(М. Применяя вторую теорему о среднем для интеграла, запишем, что ь, 4 ьр ~ () у)(х, д)йх=у(ЬН у) [7(х, у)йх+у(Ь„у)~ )(х, у) йх, Ь, ь, ! где $ еп[Ь„ЬЬ].
Если Ь, и Ь, брать в достаточно малой окрестности (7!,'ы (ы) точки ы, то правую часть написанного равенства можно сделать по модулю меньшей любого наперед заданного числа е)О, причем сразу для всех значений уев У. В случае первой пары условий а,) рл) это очевидно. В случае второй пары аь), ра) это становится очевидным, если воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости интеграла (утверждение !). Таким образом, вновь ссылаясь на критерий Коши, заключаем, что исходный интеграл от произведения / у по промежутку [а, ьь[ действительно сходится равномерно на множестве У значений параметра. Если в утверждении 3 функции ! и у не зависят от параметра у, то мы вновь возвращаемся к соответствующему признаку сходимости несобственных интегралов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
