В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Пример 7, Интеграл л!Пх ! 4!5 4 г. несОБстВенные ннтеГРАлы 4!4 Га. Х»»!!. ИНТЕГРАЛЪг, ЗЛВИСЯШИЕ ОТ ПАРАМЕТРА как следует из критерия Коши и признака Абеля — Дирихле сходимости несобственных интегралов, сходится лишь при сс) О. Полагая [(х, а) =а!ох, у(х, сг) =х, видим, что при а)аа)О для рассматриваемого интеграла выполнена пара а,), ()!) условий утверждения 3. Следовательно, на любом множестве вида (а ее ее(с) а~аа~О) данный интеграл сходится равномерно. На множестве (а ееьс(а)О) всех положительных значений параметра интеграл сходится неравномерно, поскольку он расходится при а=О. П р и м е р 8.
Интеграл + са и — е-ау йх х сходится и притом равномерно на множестве [де=(с)у~О). 4 Прежде всего, на основании критерия Коши сходимости несобственного интеграла'легко заключить что при у СО данный интеграл вообще расходится. Считая теперь у ) 0 и полагая агп х ) (х, у) — , к (х, у) =.
е-"у, видим, что выполнена вторая пара аа), рг) условий утверждения 3, откуда и вытекает равномерная . сходимость рассматриваемого интеграла на множестве [у еп(с )д ) ) О). Итак, мы ввели понятие равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра, и указали некоторые наиболее важные признаки такой сходимости! вполне аналогичные соответствующим признакам равномерной сходимости рядов функций. Прежде чем переходить к дальнейшему, сделаем два замечания.
3 амеча ни е 1. Чтобы не отвлекать внимание читателя от основного введенного здесь понятия равномерной сходимости интеграла мы всюду подразумевали, что речь идет об интегрирова. нии вещественнозначных функций Вместе с тем, как теперь легко проанализировать, полученные результаты распространяются и на интегралы от еекторнозначных функций, в частности на интегралы от комплекснозначных функций. Здесь стоит только отметить, что, как всегда, в критерии Коши необходимо дополнительно предполагать, что соответствующее векторное пространство значений подынтегральной функции является полным (для Я, С, К»а, [ра это выполнено), а в признаке Абеля — дирихле, как и в соответствующем признаке равномерной сходимости рядов функций, надо считать вещественнозначным тот сомножитель произведения [ й, относительно которого предполагается, что он является монотонной функцией.
Все сказанное в равной степени относится и к основным результатам последующих пунктов этого параграфа. Замечание 2. Мы рассмотрели несобственный интеграл (1), единственная особенность которого была связана с верхним пре- 'делом интегрирования ы. Аналогично определяется и исследуется равномерная сходимость интеграла, единственная особенность которого связана с нижним пределом интегрирования, Если же интеграл имеет особенности на обоих концах промежутка интегрирования, то его представляют в виде а»» с а» ~ )(х, у)йх ~ 1(х, у)йх+ ~)(х, д)йх, Э а» с где с ее 1ы„ва[, и считают сходящимся равномерно на множестве Е ~ У, если на Е сходятся равномерно оба стоящие в правой ' части равенства интеграла. Легко проверить, что такое определение корректно, т.е. не зависит от выбора точки с ее 1ы„ыЯ.
.' 2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра. У т в е р ж д е н и е 4. Пусть [(х, д) -семейство зависящих от параметра у ~ У функ)(ии, интегрируемых хотя бы в Несобственном смысле на промежутке а =. х ~ а, и пусть Юг — база в У. Если:" а) для любого бее[а, а[ ! (х, у):Ф ср (х) на [а, Ь) при базе йг, [г) интеграл)) (х, д) сходится равномерно на У, а то предельная функ!(ия ср несобственно интегрируема на [а, а[ и справедливо равенство 1пп ~ 1 (х, у) йх аа ~ ч» (х) с[х. (8) ага а 4 Доказательство сводится к проверке следующей диаграммы: б»[у) Ра)6(ху)ух =ут~[ху)уха»Г(у) ~ са(х)ух ~ р[х)ах а [а, [ Левый вертикальный предельный переход следует из условия - а) и теоремы о предельном переходе под знаком собственного ни; теграла (см. теорему '3 из 5 3 гл.
ХУ1). Верхний горизонтальный переход есть запись условия (з). По теореме о коммутировании двух предельных переходов от' сюда следует существование и совпадение стоящих под диагональю ' пределов. з а несозстввнньщ интяггллы 417 Значит, по следствию 2 ! /у если О ( х ~ у О, если у«х. Рь(у) = ~7(х, у)ду О в +ь ! х ) х (10) 4!б г . хоп. интвгеллы. зквисящнв от пА»АметвА Правый вертикальный предельный переход есть то, что стойт в левой части доказываемого равенства (8), а нижний горизонталь. ный предельный переход дает по определению несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (8).
В Следую!ций пример показывает, что в рассматриваемом случае несобственного интеграла одного условия а) для обеспечения равенства (8), вообще говоря, недостаточно. Пр'имер 9, Пусть У= [у еиЯ<у~О), а Очевидно, ! (х, у)-.~ 0 на промежутке О~к .+со при у-»-(-со. Вместе с тем при любом уев У ! (х, у) ду = ) (х, у) дх = 1 — дх = 1, о поэтому равенство (8) в данном случае не имеет места. Используя теорему Дини (утверждеиие 2 3 3 гл. ХЧ1), из только что доказанного утверждения 4 можно получить иногда весьма полезное С леде т в и е 2.
Пусть при каждом значении веи(ественнсго параметра у ен У с Й веи(ественнозначная функция ! (х, у) неотри- цательна и непрерывна на промежутке а(х~а. Если: а) с ростом у функции 7 (х, у), монотонно возрастая, стремятся на [а, ы[. к функции !р(х), Ь) ср епС([а, ы[, 1~) и с) интеграл ~ !р (х) дх сходится, о то справедливо равенство (8). м "Мз теоремы Дини следует, что 1(х, у)'=Ф!р(х) на каждом отрезке [а, Ь] ~[а, !в[. Из неравенств 0(7(х, у)(!р(х) и мажорантиого признака равномерной сходимости вытекает равномерная относительно па.
раметра у сходимость интеграла от )(х, у) по промежутку а(х ~ ( !». Таким образом, оба условия утверждения- 4 выполнены и, значит, имеет место равенство (8). Пример !О. В примере 3 из $ 3 гл. ХФ! мы проверили, что последовательность функций 1„(х) =п(1 — х"") является монотон. 1 ио возрастающей иа промежутке Ос.х -.1, причем 1„(х) ' !и — „ при и-»+со. ! ! 1!и ~ п (1 — х!т) Лх = ] !п — дх. о о У т в е р ж д е н и е 5. Если: а) функция 1(х, у) непрерывна по у на множестве Нх, у)еи я Р! ач=х с.!ь 7"! с~у(д), Ь) интеграл Р(у) = )!(х, у) с!х сходится равномерно на У, а то функция Р(у) непрерывна на [с, д]. Из условия а) следует, что при любом Ь ен[а, !в[собствен- ный интеграл является функцией непрерывной на [с, Й[ (см утверждение 1 3 1), По условию Ь) Рь(у) ~Р(у) иа [с, !(] при Ь- ы, Ь вп[а, !ь[.
откуда теперь и следует непрерывность на [с, д] функции Р(у). 1» Пример 11. В йрнмере 8 было показано, что интеграл Р( ) М""е'-.чедх (9) сходится равномерно на промежутке О ( ус +со. Значит, на основании утверждения 5 можно заключить, что функция Р(у) непрерывна на каждом отрезке [О, д] с:. [О, +со[, т. е. непрерывна и на всем промежутке 0(у с+со. В частности, отсюдасле.дует, что 3, Дифференцирование несобственного интеграла по параметру. У т в е р ж д е н и е 6. Если: а) функции [(х, у), Я(х, у) непрерывны на множестве [(х, у) ев :.виР!а~хС!ь /'1 с~у~й[, ' Ь) интеграл.Ф(у) = ~!'„'(х, у) Нх сходится равномерно на мноо ,-'жеспые У=[с, д], а с) интеграл Р(у) =~7'(х, у)дх сходится хотя бы при одном о значении у, ~ У, 14 В. А.
Зорнч, ч. П $2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 419 418 Гл. ХШ!, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА то он сходится и даже равномерно на всем множестве )к; при утол«функция Р(у) оказыеается дифференцируелюй и сяраеедлиео расеи елью Р'()=1Б(» )дх. 'а 4 В силу условия а) при любом Ь ен [а, а[ функция ь Рь(д) — Р(», у)ду а определена и дифференцируема на промежутке с(у~д и по правилу Лейбница ь (Рь)„' (у) ) ~' (х, у) д»..
а В силу условия Ь) семейство зависящих от параметра Ь л ~ [а, а[ функций (Р,)„(у) сходится равномерно на [с, с(1 к функции Ф(у) при Ь-'«а, Ь ~[а, а[, По-условию с) величина Рь(уо) имеет предел при Ь-«а, Ь ен а[а, а[. Отсюда следует (см. теорему 4 3 3 гл. Х71), что само семейство функций Р,(д) сходится на [с, а) равномерна к предельной функции Р(у), когда Ь -«а, Ь Й [а,а[, при этом функция Р оказывается дифференцируемой на промежутке с~у(д и имеет место равенство Р'(у) =Ф(у). Но это как раз то, что и требовалось доказать. $ Пример 12.
При фиксированном значении а)0 интеграл Р(у)* ) хае- Удх о сходится равномерно относительно параметра у на любом проме- жутКЕ Внда [уЕИ!у)уь)0[: ЭтОСЛЕдуЕт ИЗ ОЦЕНКИ 0~»»Е У( — к Уа (х"е- У0(е 2, справедливой при всех достаточно больших значениях хен1«. Значит, по утверждению б функция Р(„) '(,-льд, . о бесконечно дифференцируема при у) 0 и Р!л1 (у) ( 1)л ~ Хпг-,«У Л» о ! Но Р(у) лл —, поэтому Роо(д) =( — 1)п(" ...и, следовательно, ", можно заключить, Что + 00 х" каг(х=(» ею к В частности, при у=1 получаем + 00 »п~ ад» (и 1)1 о Пример 13.
Вычислим интеграл Дирихле + 00 [ — ","*00 Для этого вернемся к интегралу (9) и заметим, что при у~О Р'(у) = — ~ 21пхе Удх, (11) о :"поскольку интеграл (1!) сходится равномерно на любом множестве : вида (у ев й ~ у = до) 0) И нтеграл (11) легко вычисляется через первообразную подынтег- . :ральной ф~нкции и получается;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
