В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 95
Текст из файла (страница 95)
«, «,„, Рис. !Оо Рис. !О!. Разумеется при этом подразумевается некоторая (не уточняемая пока) непрерывность оператора А, т. е. непрерывность изменения .,отклика 1 прибора при непрерывном изменении входного воздей:ствия 1. Например, если взять последовательность [Л,(1)) ступенчатых -:функций Л„(1):=*бп„(1) (рис. 100), то, полагая АЛА <Е„, полу'чаем Аб: Е 1пп Е„= 1!ш АЛ„.
о ро о ро Рассмотрим теперь входной сигнал 1, рис. 102 и изображенную "иа этом же рисунке кусочно постоянную функцию 1» (1) = = ~',~(т<)б»(1-т<)Ь. Поскольку 1»-Р1 при Ь-р.О, то надо счи- < тать, что 1»=А1»-РА~=~ при Ь-+.О. .Йо если оператор А — линейный и сохраняющий сдвиги, то 11, (1) ~ ',1(Т<) Е„(1 — т<) Ь, < ,где. Е„Аб».
Таким образом, при Ь-о 0 окончательно получаем 1 (1) = ~ 1 (т) Е (1 — т) йт. (1) Формула (1) решает первую из двух указанных выше задач. ",Она представляет отклик 1(1) прибора А в виде специального 443 4 4. СЗЕРТКА ФУНКЦИЙ 442 Га. ХЧН. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАЗИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА интеграла, зависящего от параметра С Этот интеграл полностью определяется входным сигналом ~(!) и аппаратной функцией Е(!) прибора А.-С математической точки зрения прибор А и интеграл (!) просто одно и то же. Отметим заодно, что задача определения входного сигнала ! по выходу ) сводится теперь к решению относительно !' интегрального уравнения (1).
Определение 3. Сверткой функций и: (с — «С и о: (с — «С называется функция иао: Й-«С, определяемая соотношением (иао)(х): = ~и(у) о(х — у)йу, (2) в предположении, что указанный несобственный интеграл существует при всех х~(с. Таким образом, формула (!) утверждает, что отклик линейного прибора А, сохраняющего сдвиги, иа входное воздействие, задаваемое функцией 1, является сверткой ~а Е функции ~ и аппаратной функции Е прибора А.
2. Некоторые общие свойства свертки. Рассмотрим теперь с математической точки зрения основные свойства свертки. а. Достаточные условия существования. Напомним сначала некоторые определения и обозначения. Пусть 1: 6-«$ — вещественно или комплекснозначиая . функция, определенная на открытом множестве Ос:(с. Функция ! называется локально интегрируемая на 6, если любая точка х ~ 6 имеет окрестность У(х) с:6, в которой функция !'!п1„, абсолютно интегрируема хотя бы в несобственном смысле.
В частности, если 6='ьс и ! локально ограничена, условие локальной интегрируемости функции ), очевидно, равносильно тому, что ~!!,, ь! баб'!а, Ь| для любого отрезка 1а, Ь!. Носителем функции ~ (обозначение зпрр)) называется замыкание в 6 множества (х ~6!/(х) чь()).
Функция ! называется финитной (в 6), если ее носитель— компакт. Множество функций ~: О-«С„имеющих в 6 непрерывные производные до порядка т (О =.т =.со) включительно, принято обозначать символом С'"'(6), а его подмножество, состоящее из финитных функций,— символом Сь 1(6). В случае, когда О=!с, вместо С~ ~((с) и С,', '(1с) принято употреблять сокращения Сом и С',"' соответственно. Укажем теперь наиболее часто встречающиеся случаи свертки функций, в кбторых без труда обосновывается ее существование; .У т вар жден не 1. Каждое из перечисленных ниже трех условий является доспиипочным для существования свертки и*о локально интегрируемых функций и: (с-«$ и о: (с-«С 1) Функции ~и ~ и ~о~ интегрируемы в квадрате на й 2) Одна из 'функций,'и), !и( интегрируема на (с, а другая ограничена на (с.
:- - 3) Одна из функций и, о финитна. 1) По неравенству Коши — Буняковского ~ ~ и (у) о (х — у) ! йу -. ) ! и !' (у) йу ) ! о !'(х — у) йу, 'откуда и следует существование интеграла (2), поскольку + а +а> ! о )ь (х — у) йу = ~ ! о (ь (у) йу. аа — а4 2) Если, например, ! и ! — интегрируемая на (с функция, 'з )о!~М на (с, то ~ ! и(у) о(х — у),'йу =М) ! и!(у)йу(+со. я -3) Пусть зпрри с'!а, в]с:ьс. Тогда, очевидно, ь $ и (у) о (х — у) йу = $ и (у) о (х — у) йу.
я а Поскольку и и о локально интегрируемы, последний интеграл 'существует при любом значении х енгс. Случай, когда финитной является функция о, сводится к разоб)ранному заменой переменной х — у= г. Ь. Симметричность. Утвержден не 2. Если свертка иао существует, то сущеует также свертка очи и имеет месило равенство иао=*оаи. (3) Ь' Выполнив в интеграле (2) замену переменной х — у=г, й)олучаем аа +аа « Фп(х):= ~ и(у)о(х — у)йу= ~ о(г)и(х — г)йг=:оаи(х). -аа — аа с. Сохранение сдвигов. Пусть, как и выше,.
҄— оператор ' ига, т. е. (Т„,!)(х) =((х — хь). Утверждение 3. Если свертка иао функций и и о суп!сует, то справедливы следующие равенства: Т„(и Ф о) = Т„и а о = и а Т,,о. (4) ~ Если вспомнить физический смысл формулы (1), то пер- из написанных равенств становится очевидным, а второе гда получается из симметричности свертки. Проведем, однако, 445 444 Га. ХЧН, ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯ1ЦИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 4 «.
свевткд етнкцин формальную проверку первого равенства: (Т„,(и е о)) (х): = (и о о) (х — хо): = +со ,+ со ~ и(у) о(х — х,— у)дуок ~ и(у — ха)о(х — у)ду= ОК = $ (Т„и)(у)о(х — у)ду=:((Т„,и)*о)(х). )ь СО д. Дифференцировдние свертки. Свертка функций является интегралом, зависящим от параметра, и ее дифференцирование проводится в соответствии с общими законами дифференцирования таких интегралов, разумеется, при выполнении соответствующих условий. Условия, при которых свертка (2) функций и и о непрерывно диффереицируема, заведомо выполнены, если, например, и — непрерывная, а о — гладкая функция и одна из функций и, о — финитна.
4 Действительно, если ограничить изменение параметра любым конечным промежутком, то при указанных условиях весь интеграл (2) сведется к интегралу по некоторому, не зависящему от х ' конечному отрезку. А такой интеграл уже можно дифференциро-. вать по параметру в -соответствии с классическим правилом ,Лейбница. Вообще справедливо следующее Утверждение 4. Если и — локально интегрируемая функция, а о — финитная функция класса С,' '(0) (0(т ~+ со), то (и*о) ен С1"", причем о) 0»(иео) =и о(0»о).
(5) Когда и — непрерывная функция, утверждение непосредственно следует из только что доказанного выше. В -общем виде оно получается, если еще принять во внимание наблюдение, сделанное в задаче 6 $ 1. Ь Замечание 1. Ввиду коммутативности свертки (формула (3)) утверждение 4, разумеется, останется в силе, если в нем поменять местами и и о, сохранив, однако, левую часть равенства (5).
Формула (5) показывает, что свертка коммутирует с оператором дифференцирования, подобно тому как она коммутирует с оператором сдвига (формула (4)), Но если формула (4) симметрична по и и о, то в правой части формулы (5) и и о, вообще говоря, нельзя поменять местами, поскольку функция и может просто не иметь соответствующей производной. То, что свертка иоо, как видно из (5), при этом все же может оказаться дифференцируемой функцией, наводит на мысль, что приведенные в утверждении 4 условия являются достаточными, ио не необходимыми для дифференцируемости свертки.
к) здесь 0 †операт днффепенпнронання н, как обычна, О»о О'»'. П р и м е р 1. Пусть 1 — локально интегрируемая функция, а '܄— «ступенька», изображенная на рис. 100. Тогда ЦОЬ„)(х)оо ~ [(у)Ь,„(х — у)дуоо — ~ 1(у)ду, (6) — СО к — и и, следовательно, в любой точке непрерывности функции 1 свертка 1О6 уже оказывается дифференцируемой — усредняющее действие интеграла. Условия дифференцируемости свертки, сформулированные в утверждении 4, являются, однако, вполне достаточными практически для всех встречающихся случаев применения формулы (5).
По этой причине мы не будем здесь заниматься дальнейшим их уточнением, а предпочтем продемонстрировать некоторые новые "красивые возможности, которые открываются благодаря обнару,женному сглаживающему действию свертки. 3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимационная. :теорема Вейерштрасса. Заметим', что интеграл в соотношении (6) дает среднее значение функции Г на промежутке [х — а, х), поэтому, ЕСЛИ 1 НЕПрЕрЫВНа В ТОЧКЕ Х, тО, ОЧЕВИДНО, (Г'ОЬе)(Х)- 1(Х) Прн а-ьО.
Последнее соотношение, следуя наводящим соображениям и. 1, относящимся к представлению о Ь-функции, хотелось бы записать в виде предельного равенства (1О6)(х)=1(х), ясли г непрерывна в х. (7) Это равенство показывает, что Ь-функцию можно трактовать как единичный (нейтральный) элемент по отношению к операции "'рвертки. Равенство (7) можно считать вполне осмысленным, если .,будет показано, что любое семейство функций, сходящихся к ".:Ь-функции, обладает тем же свойством, что и рассмотренное в (6) специальное семейство Ь„. Перейдем к точным формулировкам и введем следующее полезное Определение 4.
Семейство [Л„, а ен А) функций Л: 1«- 1«, .'*'зависящих от параметра сс ен А, называют Ь-образным или аппрок:симатрвной единицей при базе тв в А, если выполнены следующие три условия: а) все функции семейства неотрицательны (б (х)Э:О); Ь) для любой функции Л„семейства ~ Л (х)дх=1; я 'с) для любой окрестности 0 точки Овна 1пп ) Л (х)дх=1. са и Последнее условие с учетом первых двух, очевидно, равно';сильно тому, что 1пп ~ бч,(х)дх=О. ® я~и 44Е Гв. ХУП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 44Т 2 в. свеРткА Функции Р ассмотренное в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
