В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 97
Текст из файла (страница 97)
На покоящуюся в начале координат точку начинает действовать зависящая от времени сила 1(1), смещающая точку вдоль оси. В силу закона Ньютона тх+йх=1, (10) где х(1) — координата точки (смещение от положения равновесия) в момент 1. При указанных условиях функция к(1) однозначно определяется функцией 1 и решение х(1) дифференциального-уравнения (10), очевидно, линейно зависит от его правой части г, Таким образом, мы имеем дело с линейным оператором 1 ' х, обратным к днфв ференциальному оператору х 1 ~В=па„—,+е), связывающему х(1) и 1(1) соотношением Вх=Г.
Поскольку оператор А, очевидно, сохраняет сдвиги по времени, то, чтобы найти отклик х(1) опи-санной механической системы на функцию Г(1), достаточно ввиду формулы (1) знать отклик на единичное импульсное воздействие б, т. е. достаточно знать (так называемое фундаментальное) решение Е.уравнения тЕ+йЕ=б. Соотношение (11) не вызвало бы вопроса, если бы 6 действительно обозначало функцию. Однако пока равенство (11) неясно.
Но формально неясно и фактически неверно — совсем разные ситуации. В нашем случае надо лишь уяснить смысл равенства (11), Один путь к такому разъяснению нам уже знаком: 6 можно понимать как имитирующее б-функцию 6-образное семейство клас!б' 452 г . хуп. интвгэхлы, э«висящие от плР«мяте« 453 $ «сВеРткА Функция сическнх функций Ь,„(1), а Š— как предел, к которому стремятся решения Е„(1) уравнения тЕ„+йЕ, = Л (1О') прн соответствующем изменении параметра а.
Другой, имеющий свои значительные преимущества подход к обсуждаемому вопросу состоит в принципиальном расширении представления о функции. Он исходит из того, что вообще объекты наблюдения характеризуются их взаимодействием с другими («пробнымн») объектами. Так и функцию предлагается рассматривать не как набор значений в различных точках, а .как объект, способный определенным образом действовать на другие (пробные) функции. Конкретизируем это пока слишком общее высказывание. Пример 8.
Пусть 7енС(Р, Р). В качестве пробных .Возьмем функции класса С, (непрерывные фннитные на Р). Функция 7 порождает следующий, действующий на С«функционал (7, «р):= )7(х) «Р(х)йх. (12) Используя 6-образные семейства фннитных функций, легко понять, что (7, «р) =0 на С, в том и только в том случае, когда 7(х) = — 0 на Р. Таким образом, каждая функция 1енС(1«„1«) порождает в силу (12) линейный функционал А: С„- 1«, и, подчеркнем, при этом различным функциям г„г«соответствуют различные функционалы Аь, Ац, Значит, формула (12) осуществляет вложение (инъективное отображение) множества С(Р, («) функций в множество Х(С«, й) линейных функционалов на С«н, следовательно, каждую функцию г ~ С Щ, («) можно интерпретировать как некоторый функционал Ае енХ(С«, Р).
Если вместо множества С(1«, («) непрерывных функций рассмотреть множество функций, локально интегрируемых на Р, то по той же формуле (12) получается отображение указанного множества в пространство Х(С„1«). При этом ((), ф) =0 на С,) схз с=;>(7(х) =О во всех точках непрерывности функции ! на («, т. е. 7(х)=0 почти всюду на («). Значит, в рассматриваемом случае получается вложение в Х(С„, («) классов эквивалентных функций, если в один класс отнестн локально интегрируемые функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль.
Итак, локально интегрируемые на 1«функции ! (точнее, классы их эквивалентности) в силу формулы (12) можно интерпретировать как линейные функционалы А~ ~.«(С„, 1«). Осуществляемое по формуле (12) отображение ) А~=(1, ) локально интегрируемых функций в пространство Х(С«, Р) не является отображением на все Х(С«, («), поэтому, интерпретируя функции как элементы 2'(С„1«) (т. е. как функционалы), мы, кроме классических функций, интерпретируемых как,функционалы вида (12), получим и новые функции (функционалы)„не имеющие прообраза в классических функциях. Пример 9.
Функционал 6 енЖ(С«, Р) определяется соотношением (6, ~>:=6(ч):=ч (О), (18) которое должно быть выполнено для любой функции ч~ ~ С,. Можно проверить (см. задачу 7), что никакая локально интегрируемая на Р функция 7 неспособна представить функционал 6 в виде (12). Итак, мы вложили множество классических локально интегрируемых функций в более широкое множество линейных функционалов. Зтн линейные функционалы н называют обобщенными функциями илн распределениями (точное определение дано ниже). Распространенный термин «распределение» имеет физическое происхождение.
Пример 10-. Пусть на Р распределена единичная масса (или единичный заряд). Если это распределение достаточно регулярно, в том смысле, что оно имеет, например, непрерывную или интегрируемую на Р плотность р (х), то взаимодействие массы М с другими объектами, описываемыми функциями «уев С< >, может задаваться в виде функционала М (ф) = ~ р (х) ф (х) йх. Если распределение сингулярно, например вся масса М сосредоточена в одной точке, то, «размазывая» массу и интерпретируя предельную точечную ситуацию с помощью 6-образного семейства регулярных распределений, получаем, что взаимодействие массы М с указанными выше другими объектами должно выражаться формулой М(ф) =ф(О), показывающей, что такое распределение массы на Р следует отождествить с 6-функцией (13) на 1«. Проведенные предварительные рассмотрения делают осмысленным следующее общее Определен ие 6.
Пусть Р— линейное пространство функций, называемое в дальнейшем пространством основных нли пробных функций с определенной в Р сходимостью функций. Пространством обобщенных функций или распределений над Р назовем линейное пространство Р' линейных непрерывных (вещественно- или комплекснозначных) функционалов на Р. При этом предполагается, что каждый элемент )ен Р порождает некоторый функционал А~=(1, ) ен Р' и что отображение )-РА« является непрерывным вложением Р в Р', если сходимость в Р' вводится 454~ Гл.
ХУИ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА иак слабая (апоточечнаяз) сходижость функционалов, т. е. Р' =э А„-+ А ен Р': = Уф е Р (А„(ф) — А (ф)). Уточним это определение в конкретном случае, когда Р есть линейное пространство С1 )(О, $) бесконечно дифференцируемых фицитных в 6 функций, где 6 — произвольное открытое подмножество (' (быть может, и совпадающее с И). Определение 7 (пространств .У' и Я'). Сходижость в СВ91 (6, С) введем следующим образом: последовательность (ф» функций ф„енС1 1(0, С) будет считаться сходящейся к функции ф.~ с1 ' (6, 1В), если существует компакт А" с- О, в котором содержатся носители всех функций последовательности (ф„» и при любом значении т=О, 1, 2, ... ф~'"1=а рью на ма" (а значит, и на 6), когда п -~ со. Получаемое при этом линейное пространство с заданной в нем сходимостью принято обозначать символом ж (0), а когда 6= (ч— символом .У'.
Соответствующее этому пространству основных (пробных) функций пространство обобщенных функций (распределений) обозначают символом еР" (6) или ЖР' соответственно. В этом и следующем параграфах мы не будем рассматривать никаких других обобщенных функций, кроме элементов введенного пространства Ю'(О), поэтому без специальных оговорок будем употреблять термин распределение или обобщенная функция, имея в виду элементы в)'(0).
О п р е д е л е н и е 8. Распределение Р ~ взз' (О) называется регулярным, если его можно предстанить в виде Р(ф)=~)(х)1р(х)дх, ф~ еР(0), с где 1 — локально интегрируемая в 0 функция. Нерегулярные распределения называют сингулярными рвс првделениями или сипгулярньхми обобщвнньиии функциями. В соответствии с этим определением б-функция (из примера 9) является сингулярной обобщенной функцией. Действие обобщенной функции (распределения) Р на основную (пробную) функцию ф, т.
е. спаривание Р и ф будем, как и прежде„ обозначать одним из двух равнозначных символов Р (ф) илн (Р, ф). Прежде чем переходить к'техническому аппарату, связанному с обобщенными функциями, ради которого мы и привели определение обобщенной функции, отметим, что само понятие 'обобщенной функции, как и большинство математических понятий, имело определенный период внутриутробного развития, когда оно лишь неявно зарождалось в трудах ряда математиков. 455 З К СВЕРТКА ФУНКЦИИ Физики, вслед за Дираком, уже в конце двадцатых — начале тридцатых годов активно использовали б-функцию и оперировали с' сингулярными обобщенными функциями, не смущаясь отсут- ствием должной математической теории, В явном виде идея обобщенной функции была высказана С.
Л. Соболевым *), заложившим в середине тридцатых годов математические основы теории обобщенных функций. Современное состояние аппарата теории распределений в значительной степени связано с выполненными в конце сороковых годов работами Л. Шварца *"). Сказанное поясняет, почему, например, простран- ство Я' обобщенных функций часто называют пространсп1вои обобщенных функций Соболева — Шварца. Изложим теперь некоторые элементы аппарата теории распре- .делений. Развитие и расширение использования этого аппарата продолжается и в наши дни, в основном в связи с потребностями теории дифференциальных уравнений, уравнений, математической физики и их приложений.
Для упрощения записи мы будем рассматривать дальше только обобщенные функции класса сР', хотя все их свойства, как будет видно из определений и доказательств, остаются в енле -для распределений любого класса Я'(О), где 6 — произвольное открытое подмножество Р. Действия с распределениями определяются, исходя из интег- ральных соотношений, справедливых для классических функций, т.
е. для регулярных обобщенных функций. Ь. Умножение распределения на функцию. Если 1 — локально интегрируемая на И функция, а у~С1 ', то при любой функ- ции ф ~С1 '1, с одной стороны, пф ен С,' ', а с другоц стороны, имеет место очевидное равенство ~ () я) (х) ф (х) дх = ~ ( (х) (и ф) (х) дх или в другйх обозначениях <Р а ф) =<7. а ф) Это соотношение, справедливое для регулярных обобщенных функций, лежит в основе следующего определения распределения Р в, получаемого умножением распределения Реп.й)' на функцию хгенС1"'): <Р а. ф): = <Р, а ф) (14) ') С. Л. 1.'оболеа (1908) — однц нз наиболее крупных современных сазетскнх математиков. **) Л. Шварц (1915) †известн современный французский математик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
