В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Использованные в примерах 3 и 4 приемы и рассуждения позволяют вполне аналогично рассмотреть следующую более общую ситуацию. Пусть 472 Гл. ХЧИ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА при любом у ~'г' будет К (у — <р (х)) ф (х, у) дх ~ - а, Га — Е!х!'(Е (6) где интеграл берется по множеству ") (х ~ К!(у — <р(х) (~а). Для интеграла (5) справедливы следующие утверждения.
Утверждение 5. Если интеграл (5) с указанными при его описании условиями на функции !р, ф, К сходится равномерно на 1', то Р еи С ()', )с). Утверждение 6. Если про интеграл (5) известно дополнительно, что функция ф не зависит от параметра у (т. е. ф (х, у) = =ф(х)), а КЕЕС!ь!()с ' О, (ч), то при условии равномерной сходимости инпыграла —, (у — ср (х)) ф (х) с(х дК х на мноясестве у~)', можно утверждать, что функция Р имеет дс непрерывную частную производную —,, причем д— (у) = д (у- р())ф(х)д' (7) 1' и (х) до(х) (8) )х — р *) Здесь мы считаем, что само множество Х ограничено а (ел. В противном случае к неравенству (6) пало епге приписать аналогичное неравенство, в котором интеграл берется по множеству (х ш Х, 1 х1 ) 17е).
Доказательства этих утверждений, как было сказано, вполне аналогичны проведенным в примерах 3 и 4, поэтому мы на них не останавливаемся. В случае необходимости читатель может найти их в учебнике математического анализа С. М. Никольского (часть П, стр. 127 — 129), который мы указали в списке литературы. Отметим лишь, что сходимость несобственного интеграла (при произвольном исчерпании) влечет его абсолютную сходимость. В примерах 3, 4 условие абсолютной сходимости использовалось нами в оценках и при перестановке порядка интегрирований.
В качестве иллюстрации возможного использования утверждений 5, 6 рассмотрим еще один пример из теории потенциала. Пример 5. Пусть заряд распределен на гладкой компактной' поверхности 5 ~(ка с поверхностной плотностью заряда ч(х). Потенциал такого распределения заряда называется потенциалом простого слоя и, очевидно, представляется поверхностным интег- ралом % б. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 47З з(р 4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае. а. Свертка в (с". Оп редел е н не 2. Свертка и ео определенных на (к" вещественно или комплекснозначных функций и, о задается соотно- шением (иео)(х):= ~ и(у) о(х — у) ду.
(9) Пр имер 6. Сопоставляя формулы (4) и (9), можно заключить, что, например, потенциал (7 распределенного в пространстве (са с плотностью р(х) заряда есть свертка (реЕ) функции р и потенциала Е единичного заряда, помещенного в начало координат пространства (са. Соотношение (9) есть прямое обобщение рассмотренного в З 4 определения свертки. По этой причине все разобранные в 9 4 для случая и = 1 свойства свертки вместе с их выводами остаются в силе, если там всюду заменить )с на (с" Дельтаобразное семейство в Р" определяется так же, как н в (~ с заменой 1с на (с" и с пониманием (У(0) как окрестности в (кл точки Очи(ч". Пусть ч — ограниченная функция; тогда при у ~ 5 этот интеграл собственный и функция (7(у) бесконечно дифференцируема вне 5.
Если же у еи 5, то интеграл имеет в точке у интегрируемую особенность. Особенность интегрируема, так как поверхность 5 гладкая и в окрестности точки у ~ 5 мало отличается от куска плоскости !Ка, на которой, как мы знаем, особенность типа 1уг" интегрируема при сб(2. Это общее соображение, используя утверждение 5, можно превратить в формальное доказательство, если локально.в окрестности 1'„точки у ~ 5 представить 5 в виде х=<р(!), где 1я (7, с(са и гаписр'=2. Тогда (' ' е(х) Вб (х) (' ч Рр(!)) 1ус 1 1дср д!р~ а( !х — д! '3 !у — !р(!)1 У 'др д!7/ Р Р',' и, применяя утверждение 2, убеждаемся еще и в том, что интеграл (8) представляет функцию (7(у), непрерывную во всем пространстве (са. Вне носителя заряда, как уже отмечалось, объемный потенциал (4) и потенциал простого слоя (8) бесконечно дифференцируемы.
Проводя это дифференцирование под знаком интеграла, единообразно убеждаемся в том, что вне носителя заряда потенциал, как и функция 1(~х — у1,в (са удовлетворяет уравнению Лапласа сь(7=0, т. е. является в указанной области гармонической функцией. % Б КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 475 174 Гл, ХЧИ.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Понятие равномерной непрерывности функции): 6- !В на множестве Ес:6, а вместе с ним и основное утверждение 5 З 4, о сходимости свертки ге 6„к 7 тоже со всеми деталями и следствиями переносится на многомерный случай. Отметим лишь, что в примере 3 и доказательстве следствия .! из З 4 при определении функций 6„(х) и Ч1(х) соответственно следует заменить х на (х!.
Небольшие видоизменения 6-образного семейства, приведенного в примере 4 ~ 4, потребуются для доказательства теоремы Вейерштрасса об аппроксимации периодических функций тригонометрическими полиномами. В этом случае речь идет о приближении функции 7(»1, ..., х"), непрерывпой и периодической с периодами Т„Т„..., Т„по переменным х„ х„..., х„соответственно. Утверждение состоит в том, что для любого е 0 можно предьявить тригонометрический полинам от и переменных с сеответствУ1ошими пеРиодами Т„ Т„ ..., Тл, котоРый РавномеРно с точностью до е приближает 7 на Р" Мы ограничимся этими замечаниями.
Самостоятельная, проверка доказанных в З 4 для п=1 свойств свертки (9) в случае произвольного и ~14 будет для читателя простым, но полезным упражнением, способствующим адекватному пониманию изложенного в З. 4. Ь. Обобщенные функции многих переменных. Остановимся теперь на некоторых многомерных элементах введенных в й 4 понятий, связанных с обобщенными функциями. Пусть, как и прежде, С' '(6) и С,' '(6) — соответственно обозначения множеств бесконечно дифференцируемых и финитных бесконечно дифференцируемых в области 6 с:Рл функций. Если 6 =)ч", то будем применять сокращения С' ' и С,' ' соответственно.
Пусть т:= (т„..., тл) — мультииндекс, а ( д 1л'1 ( д )л'л В С,', '(6) вводится сходимость функций; как и в определении 7, ~ 4 считается, что 1рь- Гр в С!, '(6) при'п-л-оо, если носители всех функций последовательности (рл) содержатся в однрм и том же лежащем в 6 компакте,и для любого мультииндекса т 1р~"1-.,Ч1! ' на 6 при й- со, т. е. имеет место равномерная сходимость функций и всех их производных.
После этого принимается Оп реде лен не 3. Линейное пространство С,', '(6) с введенной сходимостью обозначается через Ю(6) (при 6=Я" через .У) и называется пространством основных или прсбны» функций. Линейные непрерывные функционалы на ег (6) называются сбсбшрнными функциями или распределениями. Они образуют ли- нейное пространство обсби(енных функций, обозначаемое' через яу'(6) (нпи .У', если 6=Я"). Сходимость в .У"(6), как и в одномерном случае, определяется как слабая (поточечная) сходимость функционалов (см.
4 4, определение 6). Определение регулярной обобщенной функции ' дословно пере:носится на многомерный случай. Остается прежним и определение 6-функции и смещенной в точку хван 6 б-функции, обозначаемой через 6(х„) илн чаще, но не всегда удачно через 6(х — х,). Рассмотрим теперь некоторые примеры. Пример 7. Положим 1л!' ! 61(х):= л е где а О, (: О, х~ Я'. Покажем, что эти функции, рассматри- ваемые как регулярные распределения в 1ч", сходятся в .йл' при 1- +О к 6-функции Р". Для доказательства достаточно проверить, что семействофунк- ций Ь, является 6-образным в (~" при (-~+О. Используя замену переменной, сведение кратного интеграла к повторному и значение интеграла Эйлера — Пуассона, находим лл Далее при любом фиксированном значении г)О 61(х)д = ( „1 -!4*'1($1, когда ! -л-+О. Учитывая, наконец, неотрицательность функций 61(х), заклю- чаем, что они действительно составляют -6-образное семейство функций в Р'.
Пример 8. Обобщением 6-функции (отвечаюшей, например, единичному заряду, помещенному в начало координат простран- ства Р"), является следующая обобщенная функция бз (отвечаю- . щая распределению заряда по кусочно' гладкой поверхности 5 -с единичной поверхностной плотностью распределения). Дейст- вие бз на функции ф ен Ю определяется соотношением (бз, 1р): ~ 1р(х) йа.
Распределение бз, так же как и распределение 6, не является регулярной обобщенной функцией. 476 Гл. ХШ!. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Умножение распределения на функцию из У определяется в Р" так же, как и в одномерном случае. Пример Рн Если р ее У, то )2бв есть обобщенная функция, действующая по закону ()2бв, р) = ~ Ч2(х) р(х) 2(о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
