В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 103
Текст из файла (страница 103)
е. мы полагаем Е (х, «)=О при «(0), удовлетворяет уравнению :здесь Л вЂ” оператор Лапласа по х в (х"., а 6=6(х, «) есть 6-функ,Ция в К х 1к, = Р"+'. При «)0 Е енС! 'Щл+в) н прямым дифференцированием убе:ждаемся в том, что 5 6. КРАТНЬШ ИНТЕГРАЛЫ 482 Гл. ХЧЦ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПЛРЛМЕТРА ЛЕЗ Учитывая это обстоятельство, а также результат примера 7, для любой, функции ср ~:х К"") получаем ((д — — аеА) Е, ер~ —— — (Е, (д — — а'с4с) р = = — ) а ! »С, ОЯ-.*ее)ш= Ел = — В 1 ~а 1Е(, ~)® — 'М)~ = е +О а. е' = е (1»с*..с»с*, о*4( а ((' —;-"ее) а1=: с +О! ! Ел Ел = !нп ! ~ Е(х, е)ср(х, 0)дх+ ~ Е(х, е)(р(х, е) — р(х, 0))4(х~- е +О! л Ел = !Ип ~ Е(х, е)ср(х, 0)4(х=4р(0, 0)=(6, Чс).
е-+О Ел Пример 16. Покажем, что функция Е(х, 1)=~ — ??(~1 — )~!), ! где а)0, хее К, (сей, тт' —,функция Хевисайда, удовлетворяет уравнению (а~г а д е)Е=6 в котором 6=6(х, 1) есть 6-функция пространства йс(КхЦ) = = .й' (1:6). Пусть ереван(Р), полагая.для краткости ( ),;= — „-а' —,, находим ° ' (~ ~~Е ер) (Е ( )аср) е! 4(х ~ Е (х 1) 0аер (х 1) ((( Е. Ее +со +со +со ае -оо 5' -ас а = — — ') ~~ (х, — ) 4(х — — ') ~ — (а1, с) — — ( — а(, 1)14(1 — со О + со + са а а = — ер(0 01 + ~(0 О) = <р (О О) = (6 ер). В й 4 мы достаточно подробно изложили роль фундаментального решения (аппаратной функции) оператора и роль свертки в задаче определения входного воздействия и по выходу й линейного оператора Аи =й, сохраняющего сдвиги.
Все изложенное там по этому поводу без изменений переносится на многомерный случай. Значит, если нам известно фундаментальное решение Е оператора А, т. е. если АЕ=6, то можно предъявить и решение и уравнения Аи=) в виде свертки'и=?иЕ. Пример 17. Используя функцию Е(х, 1) примера 16, можно, таким образом, предъявить решение с к+а<с — е! * — а <с — »1 уравнения деи е дси ае дм дхе являющееся сверткой )'ЕЕ функций 1 и Е, заведомо существующей в предположении, напри)иер, непрерывности функции 1. Непосредственным дифференцированием возникшего ицтеграла по параметрам легко проверить, что и(х, 1) — действительно решение уравнения ( ),и =1.
Пример 18. Аналогично на основе результата примера 15 находим решение !к-1(с ди уравнения — — Ьи=г, например, в предположениях непрерывно.сти и ограниченности функции ), обеспечивающих' существование -написанной свертки гиЕ. Отметим, что эти предположения делаются для примера и далеки от обязательных. Так, с точки зрения обобщенных функций можно было бы ставить вопрос о решеди .нии уравнен)4я — — Аи=1, допуская в качестве )(х, 1) обобщен- сную функцию ср(х).6(1), где сряУ(Р"), а бяУ'(Р).
Формальная подстановка такой функции ) под знак интеграла ;:приводит к соотношению ч() ~» — 6Е и(Х 1) — ( Р ~ Е еаи 4($ 1 (Е р» ~Тл Применяя правила дифференцирования интеграла, зависящего ;от параметра, можно убеДиться, что эта функция является реше)нием уравнения —,„— а Ли=О при 1~0. Отметим, что и(х, 1)-» ди с:-е,ср(х), когда 1-»+О. Зто вытекает из результата примера?, 164 Е 484 Га. ХЧИ, ИНТЕ! РАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 4 З. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где была установлена б-образность встретившегося здесь семейства функций.
Пример. 19. Наконец, вспоминая полученное н примере 14 фундаментальное решение оператора Лапласа, н трехмерном случае находим решение и(х)='д!— ° Г 1($)Ж д ~х — ~~ яа уравнения Пуассона оп = — 4п), которое с точностью до обозначений и переиормиронки совпадает с рассмотренным нами ранее потенциалом (4) распределенного в пространстве с плотностью ) заряда. Если в качестве функции ( взять ч(х) бз, где 3 — кусочно гладкая поверхность в (чз, то формальная подстановка н интеграл приводит к функции () Гв в г являющейся, как мы знаем, потенциалом простого слоя, точнее потенциалом заряда, распределенного по поверхности 5 ~ Р с поверхностной плотностью ч(х). Задзчи и упражнения 1. а. Рассуждая, нак и в примере 3, где была установлена непрерывность ' обьемного потенпиала (4), докажите непрерывность потенциала простого слоя (8), Ь Проведите полное доказательство утверждений 4 и 5.
' 2. а. Покажите, что для любого множества М с- (са и любого е > 0 можно построить функцию 1 класса С'а" (Па, П), удовлетворяющую следующим трем условиям одновременно: !рх ся (са (О <1(х) ( !); ч!х ш М (1 (х) = 1); зцрр 1 с Ме, где Ме — е-раздутие (т. е, е.окрестность) множества М. Ь. Докажите, что для любого замкнутого в Ра множества М существует такая неотрицательная функция (шС'ра'((1а, (1), что (1(х)=0) С=0(х шМ). 3. а. Решите задачи б и 7 из 4 4 применительно к случаю пространства П" пройзвольной размерности, Ь.
Покюките, что обношенная функция б (простой слой) не является регулярной, 4. Используя свертку, докажяте следующие варианты аппроксимзционной теоремы Вейерштрзсса. а. Любую непрерывную' на компактном и-мерном промежутке (ш'Па функцию Д 1 -» П можно равномерно приблизить на нем алгебраичесним многочленом от и переменных. Ь. Предыдущее утверждение остается в силе, дюкс если заменить / произ- вольным компактом К с: йа и считать, что )ш С (К, О). с. Для любого открытого в Па множества 6 с- ()а и любой функции 1 си С~м'(6, П) нзйдется такая последовательность ( Рь) алгебраичесиих мно- гочлеиов от и переменных, что прк любом мультииндсксе и= (ай ..., аа) ганом, что )сс! ~т, на каждом компакте К ш 6 будет Рсв! Дю при ! -р со, б.
Если 6 †ограниченн открытое подмножество ПР и (гн С'~'(6, (!), то существует Гзкзя последовательность (Рр) алгебраических многочленов о! и переменных, что при любом п=(ам ..., аа) Рс„"' . р"' на 6, когда й -ъ со. и Любую периодическую с периодами Т„Тз...,, Т„по переменным х', ..., х" функцию'1!и С((са Щ можно в 1ср равномерно аппроксимировать т игонометрическими многочленами от и переменных, имесошими те же периоды ту(!вгиком и ,, Тз, ..., Т„по соответствующим переменным. 3. и .
Этз задача содержит дальнейшие сведения об усредняющем действии свертки. а. На основе числового неравенства Минковского в свое время при р » 1 мы получили интегральное неравенство Минковского ( ) !и (х) + Ь (х) 1Р с(х) ! гр ( Д, и ,'Р (х) дх) 'ГР+ Д ! Ь 1Р (х) дх) Ыр. Оно в евою очередь позволяет предугадать следующее обобщенное инща- еральнае нериаенсщво Минковского: . () ~ ~1(х, у) ду~ Рс(х) ~р ~ ~ Д)1(Р(х, у) с(х)!грр(у.
.Докажите зто'неравенство, считая чта р»0, что Х, 'г' — измеримые мно- жества (напрямер; промежутки в (см н Р' соответственно) и что правая часп неразенствз конечна. Ь. Применив обобщенное неравенство Минковского к свертке 1»я, пока, яите, что при р»1 имеет место соотношение 1!ау(р(111! ° (д(, где, как всегда, (и"',р— - ~ ~ 1и 1Р(х) !(х) гр ! Еа с. ПУсть !у си Сгз~! (Па, П), ЬРичем Р(х) ~! на Па и ) !Р(х) ух=!. Палояа 1 /х! жнм !Рз(х):= — !Р( — ) и )е ! )а фа пРи а~ О. Покажите, что есла 1гп ен ей)р(Па) (т. е.
если сушеетвует интеграл 1 ~11Р(х) дх), то( еиС'~" (Па, П) Ра и 11 1рк„11Р. д. Сох ан Отметим, что функцию 1 часто называют усреднением функции (с яд р яя предыдущие обозначения, проверьте, что нз любом промежутке Ран Фз гш Па справедлвво следующее неравенство: 11з — 11р Т~ зцр (та).— П г, !А!<е гдз 1и1 ! —— .д1и 1Р(х)дх)ир, а тз((х)=1(х-й). к е. Покажите, что если )снегу (Па), то(ТА( — 11 -ро при й-. О, Р ' р,! . Докажите, что для любой функции )шазрр(Ыр), р»1 справедливы гщкпиашеиия 1(а )р(11(г, и 1)е — 1)р-+-0 при з-а+О. й Пусть аз)р(6) — веиторнсе Ъ нормой 1 1 о пространство абсолютно !нятегрируемых на открытом множестве 6 ш Пр функций.
Покажите, что !Ьунк- ,'нни класса С'~' (6) () ея'Р (6) обраауют всюду плотное подмножество езу (6) 'Я что зта же веРно и дла множества Сс~! (6) П а!у (6). Ь. Сл чаю а Р . Случаю р со в предыдущей задаче можно сопоставить следующее .утверждение: любую непрерывную нз 6 фуницию можно в 6 равномерно аппроксимировать функциями класса С"а'(6). !.
Рс . Если,! — Т-периодическая лекально абсолютно интегрируемая на (с уз+ т ! с(р фУнкцнЯ, то, полагаи Н1 . ~ ); ПР(х) дх~, бУдем чеРез еф~г обозна- а ;!мгь лине линейное пространство с указанной нормой. Докажите, что 1! — 11 -р 0 пзрк е-!.-1-0. з р + 486 Гл. хчп. интеГРАлы зависящие От пАРАметРА 1. Пользуясь тем, что свертка двух функций, из которых одна периодическая, сама пернодична, покажите, что гладцне периодические функции КЛаССа С'е" ВСЮду ПЛОТНЫ В ЕГГГ.
Р. 6. а. Сохраняя обозначения примера 11 и используя формулу (12), проверьте, что если /щ С'з'(Иэ",5), то Ь, Покажите, что сумма 7 ф -ф с!ма! Равна скачку (л — ~ яор ,дм ~8 ! ! мальной производной от функции / в соответстнующей точке х гм 5, п/пичем этот скачон не зависит ог нйправления нормали и равен сумме ~А —,+ — ~ (х) са/ 'а (дц!' дпэ~ нормальных производных от /, взнтых в точке х с обеих сторон пбверхностй 5. с. Проверьте соотношение ( /)+(~ а/~ д,+ д ( /),б,) д где — — нормальная производная !т е. ~ — Е, ф:= — Р, —, а (Я/) дп скачок функции / в точке я!и 5 в направлении нормалйп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
