В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 106
Текст из файла (страница 106)
.... 1л в Х и ищется наилучшая аппроксимация заданного'век- тора х еп Х линейными комбинациями Я а!1! нектаров' системы. е=! Поскольку в плоскости Е, порожденной векторами процессом ортогонализации можно построить также ортонормаль- ную систему е„..., е„, порождающую эту. плоскость, то на осно- вании леммы 3 можно заключить, что сущеагвует и притом единственный вектор х, ~ Е такой, что 1Х вЂ” х, ( =! п1 )х — у ~. аыс Поскольку вектор Й = х — х, ортогонален. плоскости Е, из равен- ства х,+Й =' х получаем систему уравнений ( (12„1,)ат+:.. +(1„, 1,)ал=(х, 1,), (1О) (1„1л)а,+ ...
+(1л, 1л)иллл(х, 1„) *) Пифагор Самосский !ориентировочно'580 — 800 до н. 3.) — знаменитый дневнегреческий математик и философ-идеалист, основатель Пифагорейской школы, в которой, в частности, было сделано потрясшее древних математическое открытие о несоиамеримости стороны н диагонали квадрата. Сама же классическая теорема ПиФагора была известна в ряде стран задолго до Пвфагора (правда, возможно без доказательства). 497 4 ! ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (х, 11)=с!1(11, 1;), 1=1, ..., п (12) У, '! (х, е;),!' Д х 1'. 1= ! л з '(л !1) 1! ) х 1'. (13) 496 Гл.
ХУН!. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ На КОЭффИцИЕНтн а„..., ал раЗЛОжЕНИя Х,= У', а!11 ИСКОМОГО 1=1 вектора х, по векторам системы 11, ..., 1„, Существование и единственность решения этой системы, как отмечалось, следует нз леммы 3 и независимости векторов 1А, ..., 1„. В силу теоремы Крамера отсюда, в частности, можно сделать вывод о необращении в нуль определителя этой системы.
Иными словами, попутно доказано, что определитель Грама системы линейно независимых векторов не равен нулю. Описанная задача аппроксимации и соответствующая ей система уравнений (1О), как мы уже в свое время отмечали, возникает, например, при обработке экспериментальных данных по методу Гаусса наименьших квадратов (см. также задачу !). с) Неравенство Бесселя. Лемма 4.
а) Если ве торы х„..., хл поппрно. ортогонпльны и х=х,+... +хл, то 1х)'=1х!)ь+ ... +1х,)'. Ь) Если систеип векторов е„..., ел ортонорипльнп и х = = а,е, + ... +алел, то )х1э=~а Г+ . +!а.Г. 4 Первое утверждение является обобщением теоремы Пифагора и получается той же прямой выкладкой ! л л л л (х, х) = ('У, 'х;, 'У, 'х,~ = ~~ (х1, х,) = 'У, '(хн х1). 1=1 1=1 ! 1, 1=! 1=- ! Второе утверждение следует из первого, поскольку )! а1е! )' = (а1е! а1е;) = а! а! (е1, е1) — 1а! !е. )ь Сопоставляя лемму 4 и разложение (8), получаем следующее важное ° Утверждея не 1 (неравенство Бесселя). Если систеип векторов е„..., ел ортонормпльнп в Х, то для любого вектора х ен Х справедливо следующее нерпвенство (Бесселя): 4 По лемме 1 х= У, '(х, е1) е;+й, причем система векторов 1=! е„..., ел, й-ортогональна в Х.
По лемме 4 тогда получаем, что л )!х|!'= ~ч, '~(х, е1) 1'+1й)'. )ь 1=-1 С геометрической точки зрения неравенство Бесселя, твким образом, означает, что если взять не все составля!ощие ортогонального разложения вектора, то, естественно, сумма квадратов их норм окажется во Всяком случае не больше чем квадрат нормы самого вектора. Из доказательства также видно, что знак равенл ства в (11) возможен тогда и только тогда, когда х= ~Ч~ (х, е;) еь 1=! На практике часто приходится иметь дело с ортогональными, но не нормированными системами векторов 1„..., 1л. При обсуждении леммы 3 мы отметили, что любой вектор хенХ может быть представлен в виде х = У,'а11; +й, где вектор й ортогонален 1=! подпространству, натянутому 'на векторы 1„..., 1л.
В случае 'ортогональности векторов 1„..., 1, коэффициенты а, этого разложения находятся совсем просто, поскольку, очевидно, (сравните с системой (10)). Оп ределен ие б. Числа 4 !' ', 1 называются коэф4!ициен- - 1(!! !1)1 ° тами Фурье вектора хг-=Х в ортогональной системе 11, ..., (векторов пространства Х). В случае,' когда рассматриваемая ортогональная система еще и нормирована, мы, очевидно, возвращаемся к исходному определению 5 коэффициентов Фурье. Полезно обратить внимание на вид неравенства Бесселя в слу" чае произвольной ортогональной системы 1„..., 1л. Записав для вектора хенХ ортогональное разложение х= л = )~ а,1,+й и воспользовавшись соотношениями (12), получаем, 1=-! что ) х (!е = У', ( а!11 )'+ ) й )' = гл 1а! (' ) 1; )ь + ) й ~" = т. е.
справедливо следующее неравенство (Бесселя): Слева В этом неравенстве (в отличие от случая ортонормированной системы и соответству!ощего ему неравенства (11)) стоят формах: (19) и „У', )а! (» [ 1! 1' « [ х )». !=1 (13') (14) (16) х ~ (х, е»)е». »=! (21) (17) (18) 498 Ги. ХЧ!!!. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ не квадраты модулей коэффициентов Фурье а!, а величины ~а!(»(1!, 1;). Отметим это явно, переписав неравенство (13) в виде Пример 6.
В пространстве ~5Р»([ — и, и], С) рассмотрим ортогональную систему [г'""; й ~ У) примера 1. Пусть 7 ы вне'»([ — 'и, и], С). В соответствии с определением 6 и соотношениями (4), коэффициенты Фурье (с„] функции 7 в системе [г!»и) выражаются формулой Из неравенства Бесселя (13') получаем теперь, что для любой функции 7'вне!У»([ — и, и], С) и для любого пенЯ выполнено неравенство и и ,у 1с.~'-Ы ~!7~'()а (16) »= — и и 'Пример 7. Аналогично, в соответствии с определением 6 и соотношениями (5) — (7) находим коэффициенты Фурье [ — а„а», г1 Ь», й ен И~ функции 7 в ортогональной системе (1, сов йх, з(пйх; л ен !ч')! а»= — ] )(х)созйхах, Ь=О, 1, 2, Ь»= — ] 1(х) з)п.ахах, Й=1, 2, ...
Неравенство Бесселя в этом случае сводится к соотношению и и ~;~'+ 'У' ~,Р+~Ь,~' — „' 1~[!'()Д, »=! — и справедливому при любом значении л вне. Сравнивая равенства (14), (16), (17), с учетом формулы Эйлера, очевидно, получаем следующие соотношения между коэффициентами Фурье одной и той же функции относительно тригонометрической системы, записанной в действительной и комплексной э !. основные овщие пгедстлвления ! 2 — (໠— !Ь»), если й ~О, — с»= е (а-»+!Ь-»), если ли О, . Для того чтобы в формулах (16) и (19) случай Ь= О не составлял исключения, принято (считая Ь»=О) через а, обозначать не сам начальный коэффициент Фурье, а вдвое большую вели' чину, что и было нами сделано выше.
Отметим также, что коэффициенты а„Ь» вещественнозначной функции 7, как видно из формул (16), (17), вещественны. В этом случае. следовательно, в неравенстве (18) можно всюду снять знак модуля, 3. Ряд Фурье. а. Определение ряда Фурье и некоторые геометрические аналогии. Определение 7. Если Х вЂ” линейное пространство со скалярным произведением (., -), а е„г„..., е„, ...— ортогональ-ная система векторов Х, то любому вектору х ен Х можно сопо- ставить,ряд (29) »=! Этот ряд называется рядом Фурье вектора х ао ортогональной ; сиса!гмг (г»). В случае ортонормированной системы (е»] ряд Фурье вектора х ен Х запишется особенно просто Пример 8. Пусть Х = ФЯ'» ([ — и, и], Р).
Рассмотрим в М,([ — и, и], Я) ортогональную сиогему [1, созе, з(пйх; Й енЩ примера 1 и найдем ряд Фурье функции 7(х)=х, рассматривае,мой как вектор пространства ФЯ'»([ — и, и], Я). По формулам (16), (17) в этом случае получаем а»= — ] хсозйхйх=О, А=О, 1, 2, ! и Ь»= — „~ хзйп Ьхах= ( — 1)»+' — „, Ь=1,-2, 50! 600 ' Гл. ХЧИЬ Ряд ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ » !.
ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Таким образом, 7 (х) х + ~~!, ( — 1)'+' — з!и йх, А После определения 7 к обсуждаемому алгебраическому вопросу о разложении вектора по ортогональной системе добавляется элемент анализа, связанный с возможной бесконечномерностью пространства Х и возникающим при этом рядом Фурье, а также предельным переходом, присутствующим в самом понятии ряда. Однако, прежде чем уходить в бесконечномерности, отметим, что в соотношениях (20), (2!) из определения 7 стоит осторожный символ сопоставления, а не знак равенства. Причина такой осторожности может быть разъяснена уже на примере знакомого нам трехмерного евклидова пространства Е'.
Если в Е' взять только два вектора е,, е» ортонормированного базиса е„ е„ е„ то любому вектору х ~ Е сопоставляется его «ряд» Фурье (х, е»)е»+(х, е,) е,=х'е,+х'е,. Сумма этого «ряда» не обязана совпадать с вектором х. Например, взяв х=е„получим нулевой ряд Ое,+О е»=О. Для любого хан Е имеем (х»)»+(х»)»([х[» (неравенство Бесселя или, что то же самое, следствие теоремы Пифагора). Можно заметить, что «ряд» Фурье х'е, + х'е, «сходится» к х в том и только в том случае, когда имеет место равенство (х')'+ (х')' = [х' 1!» (теорема Пифагора).
Эти элементарные геометрические факты, как мы сейчас выясним, остаются в силе для любого линейного пространства, наделенного скалярным произведением, и для любой ортонормированной системы в нем. Поскольку нам предстоит делать предельные переходы, связанные со скалярным произведением, укажем явно соответствующие свойства скалярного произведения.' Лемма б (о непрерывности скалярного произведения).
Пусть (, ): Х»-ь-«,— скалярное произведение в линейном пространстве Х. Тогда а) функ!!ил (х, у) (х„у) непрерывна по совокупности переменных; Ь) если х= ~! х4, то (х, у) = ~ (хр у); 4=! 4=! с) если е„е„... — Ортонормированпал система в Х и х = =,У, 'х'ен а у=,У', у'еи то (х, у) = ~ ', х'у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
