В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Принимая это к сведенню я учнтывая ортогояальвость тригонометрической системы, покажите, что функции системы (э) образуют ортогональный базис в Дл+!)-мерном пространстве сфернческнх функцнй данного нндекоа л. 8. Полиномы Эрмлера. В квантовой механике прн нсследованнн уравненря лннейного осцнллятора приходится рассматривать функции класса С'з! ф) со + со скалярным пронзведеннем (), 'у)= 1 [уйх в С'э'((1) <=ажэ([! О) а также — к' специальные функции Н„(х)=( — Цне" „— „(е ), л='О, 1, 2, ... а. Покажите, что Не(х) 1, Н,(х)=2х, Н,(х) 4х' — 2. Ь. Докажнте, что Йэ'(х) — лолннон степени л. Система функций (Н, (х), Н (х), ...) называется системой лолиномее Эрмита. с.
Проверьте, что функция Н [х) удавлзтворяет уравнению Н„' [х)— — 2хН;, (х)+2лН„(х)=ОУ д. Функцнн фн (х) =е ~гэ Н„(х) называют функциями Эрмипш. Покажите' что !Рл(х)+(2л+1 — хе) ф(х)=0 н ф(х) -ьО пРн «-!.О. е. Проверьте, что )г фефмйх=О прн ш~л. 1, Покажнте, что полнномы Эрмнта ортогональны на (» с весом е х . 9. Полиномь! Чебыимеа — Лагерра *) [Ен(х)! л=О, 1, 2, ...) можно апреле. йл (хне-х) лять формулой I (х)! =е" Проверьте, что: а) (.„(х) есть полянам степени л; ч Ь) функцня !.„ (х) удовлетворяет уравнению х1.;,(х)+(1 — х) 5„'(х)+л(.
(х)=0; с) система (!.„; л=О, 1, 2, ...) полнномов Чебышева — Лаглрра. ортогональна с весом е " на полупрямой [О, +со[. 10. Полиномы Чебыимеа (Т,(х)ю1, Т„(х) 2! лссел(агссоьх); л!ий() прн [х~ (1 можно задать формулой ! Т„(х) = )г й! — хэ — (1 — хэ) ( 2)» л! йе н (2л)! Покэжнте, что; а) Т„(х) есть полипом степени л; ! Ь) Т„(х) удовлетворяет уравнению (1 — хэ) Т„'(х) — хТ'„(х)-1- лэТ (х) = О; ') Э. Н. Лагерр (!834 — !886) — французскнй магема|нк. О я тригономвтричнскии Ряд Фурьн 515 с) система (Т„; л=О, 1, 2, ...) многочленов Чебышева ортогональна ! с весом р(х) на промежутке [ — 1, Ц, 1' ! — хэ 11. а.
В георнн вероятностей н теории фувкцн(! встречается следующая атсшгма фунхиш1 Радемахера') (ф„(х)=!р(2"х); л=О, 1,,2, ...), где ф(!)= = зйп (з!п 2л!). Проверьте, что это ортонормнрованная система на отрезке [О, Ц. Ь. Система функций Хаара '*) [у,ь(х)1, где л О, 1, 2, ...; а 6=1, 2, 2', ... определяется соот~ошеннямн 26-2 26 — 1 1, если — (х(— 2 э! 2ет! ю 26 — 1 ' 26 2нэ! (х( 2ет! ~ О в остальных точках [О, ц. Хл. «(я) = й 2. Тригонометрический ряд Фурье 1. Основные виды сдодимости классического ряда Фурье.
а. Тригонометрический ряд и тригонометрический ряд Фурье. Классический тригонометричфскнй ряд в это ряд вида ***) + г аз сов Ах+ Ье з!и нх, (1) е ! получаемый на базе тригонометрической системы (1, соз йх, згп йх; йни [э[). Коэффициенты [а„а», [з», 'й ни Щ здесь ве![(ественныв или комплексные числа. Частичные суммы тригонометрического ряда (1) ") Г. А, Радемахер (1892) — немецкнй (с !936 г. — амернканскнй) математик '") А Хаар (!885 — 1933) — венгерский математик "') Запись свободного члена в анде ае)2, удобная для рядов Фурье, здесь не обязательна. 17* ' Проверьте ортогональность системы Хаара на отрезке [О, Ц, 12.
а. Покажите, что любое л-мерное векторное пространство со скалярным пронзведеннем нзометрнческн нзоморфво арифметическому евклндову пространству Р' той же рвзмервосгн. Ь. Напомним, что метрнческое пространство называется сепарабельным, еслн в неи имеется счетное всюду плотное подмножество. докажите. что если лннейное пространство'со скалярным произведением сепарабельно, как метрн.
ческое пространство с нндуцнрованной этим скалярным пронэведеннем метрикой, то в нем есть счетный ортонармнрованный базис. с. Пусть Х -сепарабельнуе гильбертово пространство (т. е. Х вЂ сепарабельное н полное метрнческое пространство с метрнкой, нндуцнровзнной скалярным произведением в Х). Взяв в Х ортонормнрованный базис*'(еб ! ш О[), постронм отображенне Х вэ х ь-ь (с„ сэ, ...), где сз= (х, е!) козффнцненты Фурье разложення вектора х по базнсу (е!). Покажите, что зто отображение является бнектнввым, линейным н нзометрнчным отобрзженнем Х на пространство !е, рассмотренное в примере !3.. б. Используя ряс. 103, укажнте, в чем состоит идея построения примера 13, н объясните, почему она связана именно с бесконечномернобтью рвссматрнваемого пространства.
е. Обвес)!нте, как построить аналогнчный пример в пространс!ве фуннцнй С[а, 6[~еНэ[а, 6[, 51а гл! хчн1, Ряд ФРРье и пэеовя»зов»иие ФРРье суть тригонометрические многочзгны л !'„(х)= — '+ ~„а»созйх+Ь»япйх (2) »-1 соответствующей степени п. Если ряд (1) сходится 'поточечио иа Р, то его сумма /(х), очевидно, 2п-периодическая функция иа ~.
Оиа вполне определяется задаиием ее сужения иа любой отрезок длины 2п. Обратно, если дана 2п-периодическая фуиуция иа К (колебаиия, сигнал и т. и,) и мы желаем разложить ее в сумму Некоторых каиоиических периодических функций, то для этой цели первыми предеидеитами служат простейшие 2п-периодические функции (1, созух, з!пах; ьеи!!2», представляющие простые гармонические колебания кратиых частот. Допустим, иам удалось представить непрерывную функцию в виде суммы ОЭ /(х)= — '+ ~! 'а»созйх+Ь»япйх (3) » 1 равномерно, сходящегося к ией тригонометрического ряда.
Тогда коэффициенты разложения (3) легко и вполне однозначно находятся. Домиожая в этом случае равенство (3) поаледовательио иа каждую из функций системы (1, созйх, з(пйх; ЬЕЙЯ», пользуясь возможностью почлеиио интегрировать получаемые при этом. равиомерио сходящиеся ряды и учитывая соотношения 12 2/х = 22! Л ~ соз тх соз их дх яптхяпих«(х=О при т~п, т, п ~Я, Л Л ) соз'пхдхлл ~ 2!п»пх»!х=п, пев!т», Л Л находим коэффициеиты Л а»=.а»(/) — „» /(х)созйх2(х, й О, 1, ...,, (4) '.1 г Ь» Ь»(/) — „~ /(х) з(пйх21х, й 1 ° 2, ...- (5) 1 Г разложения (3) фуикции / в тригоиометрический ряд. $2.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ 517 Мы пришли к тем же коэффициентам, какие бы мы имели, рассматривая (3) как-разлод!еиие Фурье вектора '/ ею Фй» 1'-и, и] по ортегеиальиой системе (1, созйх, яп Ах; А«в!»/». Это ие удявительно, поскольку из равномерной сходимости ряда (3), конечно, ,вытЬкает и его сходимость в среднем иа отрезке ] — и, п],.а тогда коэффициентами ряда (3) должны' быть коэффициенты Фурье фуикции / по рассматриваемой ортогоиальиой системе (см.
й 1). Определеии,е 1. Если для функции / имеют смысл иитег. ралы (4), (5), то сопоставляемый / тригоиометрический ряд — + ~~1„а, (/) соз Ьх+ Ь, (/) яп Ьх (6) »=1 иазывается тригонометричгскиж рядом Фурье функции /. . Поскольку других рядов Фурье, кроме тригонометрических, в этом параграфе ие будет, мы. для краткости позволим себе порой опускать слово «тригоиометрический» и будем говорить просто «ряд Фурье фуикции /». В основном мы будем иметь дело с фуикцйями класса ейт(]:»г,-п], С) или, несколько шире, с фуикццйями, квадрат ' модуля которых иитегрируем (хотя бы в несобственном смысле) иа промежутке ] — п, и».
Сохраним прежний. символ »М,] — и, и] для обозначения линейного простраис2ва таких фуикций со стаидартиым скалярным произведением в ием Ф (/'а)= ~ Ид - " (у) Неравеиство Бесселя !! !","!'+~ !"(/)~'+!Ь.(Л» =-.' ~ !/» ()д, (3) » 1 Л справедливое для любой функции / ~ »Я'2 (] — и, и], С), показывает, что далеко ие каждый тригонометрический ряд (1) может быть рядом Фурье некоторой фуйкции /ев»Я'21 — и, и]. Пример 1. Тригонометрический ряд » ! '-как иам уже известно (см.
пример 7 из $ 2 гл. ХЧ1). сходится, ва Я,' ио ои ие является рядом Фурье никакой функции /ев кт! 1 !» е ей»1 в п, и];.так как ряд ~. ~=~ расходится. » 1 "Ь'а/ 519 э ь тгигономгтгичвскип еяд еуеьв (9') (6') . 1 — (а, — 1Ь,); 1 сг = — ам 2 1 9 (а „+ (Ь л), где если й> О, если 1=0, е ли в<0, (12) (10) т.
е. (14) $18 г . хчш. еяд Фгеье и пееовглзовлниг Фгеьг Итак, изучаться здесь будут не произвольные- тригонометрические ряды (1), а ряды Фурье (6) функций класса еУг [ — и, и], а также класса абсолютно интегрируемых на ] — и, л[ функций. Ь. Юходимость в среднем тригонометрического ряда Фурье. Пусть а о„(х) = — '+ ~ аг Щ соз *нх.+ Ь„(/) яп Ьх (9) г-! — а-я частичная сумма ряда Фурье функции ген еЯ~[ — и, л]. Отклонение о„ от / можно измерять, как в естественной метрике пространства еЯ,'[ — и, и], индуцированной скалярным произве- дейием (7), т.
е. в смысле среднего квадратичного уклонения Я„ет / нв промежутке [ — п,.н], тек и в смысле поточечной схо.димости на этом промежутке. Первый из 'указанных видов сходимости для произвольного ряда Фурье был рассмотрен в 9 1. Конкретизация полученных там результатов применительно к тригонометрическому ряду Фурье связана прежде всего с тем, что тригонометрическая система (1, соз йх, г(н Йх; к еп К] 'полна в еУг [ — и, и] (это уже отмечалось в 9 1 и будет независимо доказано в п.
4"настоящего параграфа). Значит, основная теорема из 9 1 в нашем случае позволяет утверждать, что справедлива следующая Т е о р е м а 1 '(о сходимости в среднем тригонометрического ряда Фурье). Ряд Фурье (6) любой функции ! евеЯ,([ — л, л], С) сходится к ней в среднем (!О), т. е. ! (х) — г2 + У .ага соз йх+Ь (О $!и Йх еЯг и имеет место равенство Парсеваля л СО -„' ~ а (.)й = '-,"'+ '~ !,а + Ь,а!. (!1) ч ч 1 Мы часто будем использовать более компактную комплексную форму записи тригонометрических полиномов и тригонометрических рядов, основанную на формулах Эйлера г!"=созх+1япх, сов х='- (е' +е-*"), япх==.
(г'" — е-'"). Используя их, частич- ную сумму (9) ряда Фурье можно записать в аиде л 5„(х) = ~ слет", г= — л а сам ряд Фурье (6) — в виде + ОЭ [- ~", сгйй-. сг —— с, ф = — „~ [(х) е'"' дх, ' й ~ У„ 1 (13)- -п и„' значит, с„' — попросту коэффициенты Фурье функции 1 по системе (е'" А ен Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
