В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 109
Текст из файла (страница 109)
ного уклонения данных, получаемых по эмпирической формуле, от результатов, полученных в экспериментах. Проиитерпретзруйте этот вопрос как озадачу о наилучшей аппрокснлсзцнн вектора (Ьс, ..., Ьт) линейными комбинациями векторов /ясс, ..., а',"), с' = = 1, ..., и, н покажите, что дело сводится к решению .системы линейных уравнений типа системы (1О). 2, а.
Пусть С [а, Ь[ †линейн пространство непрерывных на отрезке (а, Ь[ функций с метрикой ° равномерной сходимости функцай на этом отрезке, з Сз[а, Ь) — то же линейное пространство, но с метрикой среднего квадратичу ьу г г [ .. ее ес=)с 1)с-е)'с)и) и Покажите, что сходимость функций в С [и, Ь[ влечет их сходимость в Са [а, Ь[, ио не обратно, и что пространство Се [а, Ь[ не является полным, в отличие от пространства С [и, Ь[.
Ь. Объясните, почему система функций (1, х, хз,,) линейно независима и полна в С,[о, Ь), но не является базисом этого пространства. с. Объясните, почему полиномы Лежандра являются полной ортогональной системой и Даске базисом в Сз ( — 1, Ц. б. Найдите первые четыре члена разложения Фурье функции пп пх на отрезке [ — 1, Ц по системе полнномов Лежандра. е. Покажите, что квадрат нормы [ Ри [ в С, [ — 1, Ц л-го полинома Лежандра равен 2 ( (л+Ц(л+2)...2и Г йл+1~ ( Ци М2" 1. Докажите, что среди всех полипомов данной степени л, с коэффициентом 1 при старшей степени переменной, полипом Лежандра Ри(х) является наименее уклоняющимся от нуля е среднем на отрезке [ — 1, Ц.
8. Обьясните, почему для любой функции / сп С,([ — 1, Ц, О) должно быть выполнено равенство 1 «и 1 з 1/) (хгдх е [л+ 2) ) /(х) Ри'(х)д» е и=а еде (Ре, Рь ...) — система полиномов Лежандра. 3. а. Покажите, что если система (х,, хм ...) векторов полна в простран. стае Х, н пространство Х является всюду плотным подмножеством простран- . ства )е, то система (хъ хе, ...) полна также и и !'.
Ь, Донажите, что линейное пространство С1а, Ь) функций, непрерывных на отрезке [и, Ь), всюду плотно в пространстве и!те [а, Ь). (В задаче 58 нз $5 гл. ХЧП утверждалось, что зто верно даже для бесконечно днфференцируемых фннитных на отрезке [и, Ь[ функций.) с. Используя аппрокснмационную теорему Вейерштрзсса, докажите, что тригонометрическая система (1, амйх, з!пах; йенК) полна в пжз[ — и, п).
д. Покажите, что системы [1, х, х', ...), (1, совах, ажйх; Ьсв ЬЦ полны а пттз[ — и, и), но первая не явлается, а вторая является базисом этого пространства. е. Объясните, почему для любой функции /сп.п3с([ — п, и), О) справедч[нво равенство (Парсеваля) и еь 1, [пе !' жч и 2 + л~с л — и а=с тле числа аа.
ь» определены формуламн .(16), (17). 4 1, основные овщие предстлвления 5!2 Гл. ХУН!. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОВРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 513 Используя результа! примерз 8, покажите теперь, что л=! 4. Ортоганалы!ость с весом. а. Пусть ра, р„..., рл — непрерывные положительные в области В функции. Проверьте, что формула а (Л й) = ~ ) рь(х)рта(х)й!з'(х)йх з=зо задает скалярное произведение в Ст'(В С) ь, покажите, что в пространстве, егг (В, С) при отождествлении функций, отличающяхся лишь на множествах меры нуль, с помощью положвтельной и непрерывной з В функции р можно ввести следующее сналярное произведение: (г, й) = ) р (х) [ (х) й (х) йх.
о Функция р в этом случае называется весовой функцией, а если (г, у) =О, то говорят, что функции ! и Е ортогонцльны с весом р. с. Пусть ф: В-ь 0 — днффеоморфизм области В с [сл на область б с [са, и пусть [иь(у1, ЬщЫ)-ортогоналы!ая-в смысле стандартного скалярного произведения (2) или (3) система функции в О. Постройте систему функций, ортогональныг в В с весом р(х) ! бе(ф'(х) Ь а также систему функций, ортогональных в В в смысле стандартного скалярного произведения. д.
Г1окажите, что система функций (е „,(х, у)=в''тлгар'! т, и !н Щ ортогональна на квадрате (=Цх, у) щ ах ) ) х ! =.пЦ[у! «и). е. Постройте систему функций, ортогональную на двумерном торе Т' с Р, заданаом параметрическими уравнениями, указанными в примере 4 из 4! гл. ХИ. Скалярное произведение функций [ и й на торе при этом понимается как поверхностный интеграл ) гййа. 5. а. Из алгебры известно (и мы это попутно п теории условного экстремума тоже доказалн), что каждый симметрический оператор А.
Еа-е Е", дей. ствующий з и-мерном евклидовом пространстве Е", имеет отличные от н>ля собственные векторы В бесконечномерном случае это, вообще говоря, не так. Покажите, что линейный оператор [(х)ь-а х[(х) умножения иа независимую переменную является симметрическим в Сз([п, Ь[, [с), но не имеет отлнчных от нуля собственных векторов, Ь.
Задача Штурма ! — Лиувилля, часто возникающая в уравнениях математической физики, состоит в отыскании отличного от тождественного нуля решения уравнения и'(х)+[а (х)+Ар(хЦ и (х) =0 на промежугке [а, Ь[, удовлетворяющего некоторым краевым условиям, например и (а)=и (Ь)=0. При этом функции р(х) и д(х) считаются известнымн, непрерывными на рассматриваемом промежутке [а. Ь[, причем р(х)) 0 нз [а, Ь[.
Такая задача иам уже встретилась в примере !4, где нужно было решить уравнение (27)'при условии, что Х(0)=Х(!) О. В этол! случае у нас было ц(х) = — О, р(х) ев! н [а, Ь[ [О, ![.,Мы убедились з том, что задача Штурма— Лиувнлля, вообще говоря, может оказаться разрешимой лишь при некоторых специальных значениях параметра Л, которые по этой причине называют собспгвеиными значениями соответствующей задачи Штурма — Лиувилля. Покажите, что если функции ! и у являются решениями задачи Штурма— Лиувилля, отвечающими собствепныл! Значениям А! Ф А„то на отрезке [а, Ь[ *) )((.
Ш. Ф Штурм (1803 — !855) — французский математик (кстати, иностранный почетный член Петербургской Академии наук); основные работы относятся к йешени!о краевых задач уравнений математической физики. выполнено равенство „вЂ” (ЕТ-Рй) =(Х! — А ) ргу и функции у, Е ортогоиальны на [а, Ь[ с весом р. с. Известно (см. 4 4, гл. Х!Ч), что малые колебания неоднородной струны, закрепленной в концах отрезка [а, Ь[, описываются уравнением (ри')'=ри, л)л Й -где 'и=и(х, !) — функцуя, задающая форму струны в каждый момент г, р= р(х) — линейная плотность, а р= р (х) — коэффициент уп(!угости в 'точке х ся [а, Ь). Условия закрепления означают, что и (а, !) = и (Ь, !) = О. Покажите, что если искать решение, этого уравнения.в виде Х(х) Т !), то дело сведется к системе 2"=ХТ, (рХ')'=)!РХ, в нагорай )г — общее для обоих 'уравнений число.
Таким образом, .для -функции Х (х) возникает задача Штурма — Лиувилля .на отрезке [а, Ь[, разрешимая лишь прн определенных (собственных) значениях параметра Х (Считая, что р(х))0 на [а, Ь[ н что ргмС'!'[а, Ь[. Заменой к переменной в дэ — уравнение (РХ ) ~рХ, очевидно, т!риводится к виду, [' % Р Ф .) р(Б) , в котором оио уже не содержит первой производной.) б.'Пронерьте, что оператор 5(и) (р(х)и'(х))' — д(х)и(х), действукхций : на прострзйстве тех функций класса С'з' [а Ь[, которые удовлетворяют усло- ,виям и(а)=и(Ь) 9, является симметрическим на этом пространстве (т, е.
=(,, . Зи о) =(и, Яр), где (,) — стандартное скалярное произведение вещественных икций), проверьте также ортогоиальносгь собственных функций оператора 3, -отвечающих его различным собствейяым значениям. е. Покажите, что решения Х„Хз уравнения (РХ')' )црХ, отвечающие РЗЗЛИЧИЫМ ЗНаЧЕНИЯМ Ад, Хз ПаРаМЕтРа З Н ОбРаЩаЮЩНЕСЯ В НУЛЬ Иа КанпаХ -'отрезка [а, Ь[, ортогоиальиы на [а, Ь[ с весом р(х).
6. Полинины Лежандра как собстввнньм функции. а. Используя указанное в примере 5 выражение полинома Лежандра Р„(х), а также равенство (хз — 1)" = ',~ (х — 1)" (х+! )", покажите, что Р„(1) = 1. Ь. !(ифференцируя тождество (хз — 1) — (хз — 1)" 2ах (хз — 1), покажите, й йх )птгг Р„ (х) удовлетворяет. уравнению (х' — 1) . Р„"(х)+2х Р„' х) — и (и-[-!) Р„(х)=0.
с. Проверьте сил!метрнчность оператора йл й й~' й1 ] А: (хз — 1) — + 2х — = — ~ (хз — 1) — 1 „Гиа ПРостРанстве С'з' [ — 1, 1[ с аггз [ — 1, 1[ н, исхода из соотношениЯ А (Р„) = п(Л+!) Р„, обънсните ортогональносгь полнномов Лежандра. б, Используя полноту системы (1, х, хз, ...[ в Сел [ — 1, 1[, покажите, что . „!размерность собственного пространства оператора А,.отвечающего его собстзен- фаыу значению А и,'я+1), ие может быть больше единицьь в. Локажите, что оператор А — 1!(хз — 1) — 1! не может иметь в С'з'[ — 1, ц 'Нйбственных фУнкций, ие входЯщих в 'системУ [Ра(х), Р, (х), ...) полиномов чл
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
