В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Обратим внимание на то, что оуммирование ряда Фурье (6') понимается в смысле сходимости сумм (9'). Теорема ! в комплексной записи ознайает, что для любой функции [ ги еЯ'г ([ — л, л], С) [() = Х "(!) '"" еЯз— с. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема 1 полностью решает вопрос о сходимости ряда Фурье (6) 'В .-среднем, т. е. по норме пространства еЯ',[ — п, и] Вся дальнейшая часть этого параграфа' в основном будет посвящена изу"-чению условий и характера поточечной сходимости тригонометрис ;,веского ряда Фурье.
Мы рассмотрим только наиболее простые 'аспекты этого вопроса Исследование поточечной сходимости три.':гонометрического ряда, как правило, дело настолько. тонкое, что, ,'песмотря на традиционное центральное место. которое после Эйлера, ::Фурье и Римана в теории. функций занимали 'ряды Фурье, до'сих йор нет внутреннего описания класса тех функций, которые пред::ставляются сходящимся к ним в кал]дой точке тригонометрическим г 5«20 Гл. ХУН! Ряд Ч»УРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ е» ~1(х)г/х" /(х- 0' при )ь- оо, ) ~Р (16) 4 Фиксирован произвольно -е О, выберем сначала отрезок [а, Ь]с=]шт, шз[-так, чтобы при любом )»еР былб (16) ') А Н, Колмогоров (1903)-выдающийся советская ученый; работы по морям вероятностей, математяческоа стапктвке, теории фуякпнй, фуннянрнальному вналязу, топология, логике, днфференйяальным уравненвам я пря. кладным аспектам математякн .
'«1 д. Е Меньшов (1892) †од нз нанболее крупных современных советских математиков спепяаляст е теорнл функпяд действятельного пере. ивяного. »а«1 Н. Н ЛУЗИН (1883 — !930)-руССКНа СОВЕ/СКНЙ Матснатя, Одяя НЗ наяболее тонкях знатоков теорян функмнй, родоначальник большой московской , математвчесяоа школы (»Лузнтаннн») "*'1 Л Карлесов (!928) — выдающийся швгдскнд математик; основные груды етносвтса в разлнчным областям совремепного аналнза. рядом (и/юблгми Римами). До недавнего времени не было даже .
известно; обязан ли ряд Фурье непрерывной функции сходиться ' (( ней почти всюду (то, что сходнмости всюду прн этом может не быть, уже знали).- В свое время А. Н. Колмогоров *) даже построил пример всюду расходящегося ряда Фурье функции ! Ев еп Е[: и, и] (где Е[ — и, и] — пространство функций, интегрируе- мых по Лебегу на промежуткФ[=и, и], получаемое метрическим пополнением пространства ей' [ — и, и]), а Д.Е.
МенЬшов «'") построил тригонометрический ряд (1), содержшций' отличные от нуля коэф- фициенты и сходящийся к нулю почти всюду (нуль-ряд Меньшова), Поставленный Н. Н. Лузиным "«) вопрос (проблема Д//зина) о том, обязан ли ряд Фурье любой функции / ея АФ[ — и, и] (где Еа [ — к, и] — метрическое пополнение пространства еугв [ — п,к-!г]) сходиться почти всюду, был решай, причем.
утвердительно, только в 1966 г, Л. Карлесонйм «'«'). Из результата 'Л. Карлссона,. в частности, следует, что ряд Фурье любой функции /еиергт[ — и, и] (например, непрерывной) обязан сходиться почти во всех точках отрезка [ — и, и], 2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. а. Лемма Римана. Одним из принципиальных наблюдений, свя- занных с характером цоточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье, является следующая Лемма 1 (Римана). Если локально интегрируемая 4унк/(ия /! ]ш„шз[ -л Р абсолютно иптегрируема (хотя бы в несобственном елияслг) ки промежутке ]ш„ш,[, то э т ТРигонометРическии Ряд ФуРье Ввиду оценок е» ь 1//*к~»*-1/!»/. ш(л е» а а е» а 'е» н ~ (1(х) г(хх! бх+ ~ 1/ (х) г/ ~ 4х ° ~ ~1' (х) /(х+ ~ ( / (х) бх е» е, ь н абсолютной интегрируемостн ! на ]ш!,.ш,[, указанный отрезок [и„Ь], конечно, существует.
Поскольку /ни еЯ'([и! Ь]„Р) (точиее /1(а, ь1 е-=ей[и, Ь]л то най. л дется такая нижняя интегральная сумма Дарбу Я т/бх/,' где / ! т/ — — (п1 / (х), . что кш(х/ ! к/! ь. .л Ок )/(х)дх — г,' т,/зх/(е. а /= !' , Вводя теперь кусочно постоянную на [а, Ь] функцию /у(х) ='т/, если хер[х/ х, х/[, /=1, ..., и, получаем, таким образом, что /у(х) = [(х) на [а, Ь] и 1ь ь 0(1~[(х)е'х" //х — ~б(х)г/""/(х ~ а л ь Ь ~ $ (/.
(~) — д(~) ((г/хй) с(х = $ ([(х) — ас»(х)) /(х <" е. ' (1/') а а Но ь л "/ ~йг(х)е/ бХал 1', ~ т/г" их 'а / !к/ — ~), (т/г/х ) ),*/ —,»-0 при Л-РО, )!~Р. (18) / ! Сопоставляя соотношения (16) — (18), получаем то, что и утверждалось. $ 3 а м еча н и е 1. Отделякв(16) действительную и мнимую части, получаем, что е» 'е ~ /(х) соз)!х/(х-в-0 и ~ /(х) Ип)!хаак-ь-0 (19) е» е» при. А-ьоо, )(еи Р.-Если бы в последних интегралах функция 1 .была комплекснозначна, то, отделяя уже в них/действительнук '=и мнимую части, мы получили бы, что соотношения (19), а значит, $22 Гл. ХУПЬ Ряд ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ и соотношение (15), на самом-то деле, конечно, справедливы и для комплекснозначных 'функций 11 ]ют, ю4- С.
Замечание 2. Если известно, что 1'енетга'1 — 'и, и], то в силу неравенства. Бесселя (8) можно сразу заключить, что п л ~ 1(Х)созпхйх- 0 и ~ 1(х)э(ппхйх-~-0 при и- со, пен)12). Этим дискретным вариантом леммы Римана в принципе уже можно было бы обойтись в тех начальных исследованиях классических рядов Фурье, которые будут здесь проведеньь. Ь.
Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье. Вернемся теперь к частичной сумме (9) ряда Фурье (6) и, подставив в ее комплексную запись (9') выражения (13) коэффициентов Фурье, проделаем следующие преобразования: л / л е 1«= т — '11П""и "*- — '1121( ~ "'*-") и л Лы 211 2п а= — л — л 'и 2= л Но 1(л+ — ) а — 1(л.1- — ) и ! е .— е л Е«1~Л+т~и е 1«и о.ы:- г, л"- — 2.=-,— (20) 1, . 1 1 — и ' л 1 — и е — е 2 ' 2 поэтому яп (л+ — ) и 0л(и) = , (21) 21п — и 2 и" ,' Е„( ) = —,'„~ 1(1) 0л( — 1) й(.
(22) -с. Ядро Дирихле. Введенная соотношением '(20) и преобразованная.затем к виду (21) функция 0л(и) называется ядром Дирихле или, точнее, и-м ядром Дирихле.' Укажем используемые в дальнейшем свойства ядра Дирихле. Лемма 2 (о свойствах ядер Дирихле). Функция 0«(и) обладает следующими свойствами: а) 0 — 2п-периодическая и четная на 1с; Ь) — „~ 0«А(и) йи = 1 для любого -и ~ (ч; г $2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ с) для любого 6 еи ]О, и( ~0„(и)йи- 0 при п-~-оо, не=(ч' 4 Периодичность и четность 0л, очевидно, явно присутствуют в самом определении (6) функции О,.
Из этого же соотношения получаем л л 'и — 0„(и) йи = — — ~~ г1 е'"' йи = — ] е "и йа = 1, 2,) поскольку при йч~О интегралы равны нулю. Если теперь О(б(п, то, используя представление (21) функ-' 1' ции 0« и полагая ((и)= при 8~и (и, по лемме Римана 1 мп — и 2 получаем с). б. Принцип локализации. Т е о р е ььр 2 (принцип локализации). Пусть 1' и д — вещественно или комплекейозначные локально интегрируемые на -промежутке ] — п, п1 и абсолютно интегрируемые на нем (хотя бы в несобственном смысле) функции.
Если функции 1 и д совпадают в сколь угодно малой окресгпности 0(ха) точки х, ~] — п, и[, то иХ'ряды Фурье 1(х) 'У, 'са(1)е12",' д(х) 'У, 'са(у)е"~ сходятся или расходятся в точке х, одновременна, а в случае сходимости их суммы в х, совпадают «). 4 Функции )' и д продолжим с периодом 2п на всю числовую ось. Пренебрегая не существенными для последующих вычислений значениями продолженных функций в изолированных точках вида (2п+1) и, где и ~ У„можно считать что ( и'д — 2п-периодические функции на Р, абсолютно интегрируемые (быть может, .в несобственном смысле) иа любом конечном отрезке прямой ]с.
Пользуясь 2п-периодичностью ядра Дирихле и тем, что интеГрал от периодической на (с функции по отрезку, длина которого ' равна периоду функции, не зависит от расположения отрезка на Р, после' замены х — 1= и из (22) получаем симметричное прежнему представление (2' '1 интегральной суммы ряда Фурье. ') Хотя н не ооявательно совпадают со значснпем 1(к«)=д(х«ь 525 ' ь 3.
ТРИГОНОМЕТРИЧесКИП РЯД ФУРьа 524 Гл. ХЧН!. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Пусть теперь бее!О, и[. Тогда !ь — ь л.((-4((+ ( ь[)П.-((о.(((л(- ь и — ь 2 Здесь при получении последнего интеграла мы воспользовались выражейием (21) ядра Дирихле й заменой 1= — п свели интеграл по промежутку [ — и, — 61 к интегралу, по промежутку [6, и].
1 ' Теперь, учитывая 'ограниченность ),при 6 =!«п, ссы- ~ ип — 1~ лаясь на лемму Римана, можно заключить, что, каково бы ни было 6 Й)0, я[, ь а(х)=т1 )(х- )0.(1)д!+0(1) при.- . (23) Зна()йт, поведение З„(х) при и:«Оо полностью определяется значениями периодической функции 1 в сколь угодно малой 6-окрестности точки х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
