В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 115
Текст из файла (страница 115)
н формулу Эйлера е'" = 1! 2! =с«мх+»я!их, покажите, что 1+ — + "+' +...='е'а "саэ(зшх), П . '" л! мп х мп лх — +" + — +... е'а» мп(мих); 1! л! г» г' 'А е) используя разложения саят=1 — — + — —..., э)п г=г — — -1- -'- — ..., 2! 4! "' ' 3! 5! проверьте, что Х ( 1)л соз (2л -!- 1) х (2л+ 1]! = мп.(соэ х) сЬ (з!п х), я=а (2л+ 1)! " ( — 1)" — соэ (саз х) аЬ (мп х) „эш (2л-1-1) х л Π— Х сш 2нх ( — 1)" с«и (саз х) сЬ (з!п х), (2л)! и О Х мп 2лх' ( — 1)а — С(М (ОМ Х) ЭЬ (МП Х). (2л)! я О 5. Проверьте, что: гл 2л 2л [ и — "* .> .. [>.
> — *. «»> †.> р). ! ';>»~ Т ' Т нальиы и полны в пространстве пг»([а а+Т) !Е) прн л!обои и ив[>; . ' Ь/ коэффициенты Фурье и»(/), Оэ(/), с»(/) Т-периодической фуикпии /; [с "»4) по указанным системам не зависят от того, раскладывается ли функ. Т Т') пия в ряд Фурье на отрезке ~ — —, — ~ или на лк>бом ином отрезке вида 2' 2~ .[и, и+Т[; с) если г»(/) я,с» (и) — коэффициенты Фурье т-периодических функций / и.л, то и'т ер .ж' ' /(х)й(х)ох ~ с»(/)с»(й)! 1 б) коэффициенты Фурье с„(А) нормированной множителем „вЂ”, «свертки» т 1 « А(х)= — "/(х-!)й(!) Л! т й Т-периодических гладких функций / и й и коэффициенты Фурье с»(/), с»(д) самих функций / и й связаны соотношением с»(А)=с»(/) с»(е), й «ил.
6. Докажите, что если л несоизмеримо с л, то: А! л а) !>ш е>» >Х««а> е! >/! ! цч ! Г И «а % 3 ч =1 л Ь) для любой непрерывной 2л-периодической функции /: П-»П Иш — 7 /(х+ли! = — ~ /(!) «(г. 1 ъч м, А>»'» 7. Докажите следующие утверждения. а. Если функция /; (с-» С абсолютно ннтегрируема на (;>, то ~ /(х)е»А»«/х < ~.~/ [х+--) — /(х)[>/х. Ь. Если функции /; )ч-» !Е и й! (с-»!Е абсолютно интегрируемы на [с и, кроме того, й па модулю ограничена на Р, то /(х+!)Е(!) е'""«/! =:«рх(х) 0 на («при Х-»оос с Если /; [с- !à — 2л-периодическая абсолютно интегрируемая на периоде функция, то остаток 5„(х) — /(х) се тригонометрического ряда Фурье можа> быть представлен в виде л бн х) — /(х) = — (Л»/) (х, !) /Э„(!) «й, 1 Р где /)ч — ле ЯдРо ДиРнхле, а (5»/) (х, !) =/(х+!) — 2/(х)+/(х — !).
б. Для любага 6 «м [О, л[ полученную выше формулу остатка можно привести к виду р 1 Г э>плг бч(х) — /(х) = — ~ —,(5/)( . !)ПГ+о(!), й где а(1) стремится к нулю при и-> со, причем равномерно на каждом отрезке [а, ЬЬ на котором функция / ограничена е. Если функцнн /: [ — л, л[-»С удовлетворяет на отрезке ! — л, л! условн>а ГельлеРа ! /(х,) — /(хэ) (< М ~ х,— 'х, "(гДе М и с« — положительные числа) и, кроме того /( — л)=/(л), то рял.фурье функции / сходится ч ней равно. мерно на всем отрезке 8.
а. Докажите. что если /: Г! - (» — 2л периодическая функция, имеющая кусочна гладкую производную />м-1> порядка ш — 1 (и «м 34), то / можно !8 В А Зорич, ч. Н 4 2, тригонометрическим ряд язиье представить в виде ) (к) = 2 + — ] Вщ (1 — х) 1«щ» (1) «(г, )2 (х) ах» ~ (7')х (х) ах, ) )з(х) ах» ~ (Г)«(х)ах, 2л и при х= — и что при л-» со 2л 2в я« Г ! г г .
хние ред янпье и преовнлзовлние якрье с«н [Ьи+ — ) где Вщ (и) 1), т «п Ь[. «-1 Ь. . Пользуясь указанным в зздаче 1 разложением в ряд Фурье фуикиин к — х — н промежутке [О, 2п], докажите, что В«(и) — многочлен степени 1, а Вщ (и) — многочлен степени т на отрезке [О, 2п]. Эти многочлены называются ммогочленами Бернулли. 2н с. ПРовеРьте, что пРи любом т еи )4 ~ Вщ (и) Пи О. 2пт 9. а. Пусть хщ —, т=О, 1, ..., 2л.
Проверьте, что 2 2а ).т ~ соа йхщ соз 1хщ баг, щ= — е '»л 2 — з(п Ьхщ е!и 1хщ баг, щ=е Я з1п Ьх сое гх О, где Ь, 1 — неотрицательные полые числа, а бз * О при ьчМ1 н 8 1 Ь !. т н т при Ь. Пусть В ]2-ч-[2-2п-периодическая абсолютно интегрируемая на периоде функпня Отрезов [О, 2п] разобьем точками х . — т О, 1, .... 2 , на 2л+ 1 равных отрезков. Интегралы вычислим приближенно по Формуле прямоугольников, соответствующей этому разбиени«о отреака [О, 2к]. Тогда получим величины 2л 2 да(7) а х— — ~ /(хщ!совах щ 2л 2' %2 Ьа(») 2— ! У [(хщ) з!п Ьхщ, щ которые и подставим в л-ю частнчну«о сумму 5я([1 х) ряда Фурье функции 7 Докюките, что при этом получится тригонометрический полинин 5л(7 х) порядка и, интерполирующий функцию ) в узлах х , т О, 1, ..., 2а, т. е.
в этих точках /(хщ) 5 ([, хщ). 1О. а. Пусть функция Г: [а, Ь] -» [е непрерывна и хусочио диффереицируема, и пусть ее производная Г интегрируема в квадрате на промежутке ]а, Ь[. Используя равенство Парсеваля, докажите, что: а) если [а, Ь] =[О, и), то прн выполнении любого 'из двух условий 1(0) = = 7(к) =0 нли ~ [(х)«(х=О справедливо леравенгтео Стеклова в котором равенство возможно лишь при )(х)=ас«мх Ь. если [а, Ь] =( — и, п] и одновременно выполнены ева условия.[( — и) п =)(п) и ~ 1(х)«(Х=О, то справедливо неравенство Виртилгери -н где равенство возможно лишь при 1(х) =а сов х+Ь 21п к. И.
Явление Гиббса — так называется описываемая ниже особенность поведения частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, «впервые обнаруженная Уилбрейамом (1848 г.) и позже (1898 г.) переоткрытая Гиббсом*. (Математическая энциклопедия, том 1, Москва, !977 г.) а. Покажите, что 4 %2 яп(22 — !)к ейп х =— ори х Сп. л л~» 2л — ! 4 цл яп (2Ь вЂ” !) х Проверьте, что функция 5л(х) = — 7 2 ! имеет "аксимУм З-1 гп! 2 кх яп(2ь — !) и 2 г япх -л — — 1« л- 1,179. 2л Таким образом, колебание 5л(х) при л-ч-со около точки х 0 примерно на !8 лхл превышаег скачок самой функции ейп к в этой точке (проскакнвание 5л (х) «по инерции»).
Пусть теперь вообще 5л (1, х) — л-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции 7, и пусть при л- со 5л(), х)-л[(х) в проколотой окрестности 0 С1х — С ~ Сб точки с, в которой ) имеет односторонние пределы 1(~ ) и [($ ). 2[ля определенности будем считать, что ] ($ )»](~ ), Говорят, что в точке С имеет место явление Гиббса Ьля сумм 5л(), к), если 1пп 5 (), х)с)($ )»7($ )с !1ш 5л(7, х) л л» л л» 1-о л !+о с. Используя замечание 9, покажите, что для любой функции вида ф(х]+ + вейн (к — $), где еФО, [Г,~ Сл, а «р «яСш [ — п, и], в точке В имеет место явление Гиббса.
18' й з. првоврлзовлния «гньв й 3. Преобразование Фурье сд(/) — ~ /(з) г !»» в» = — /(г '»») ! г . ! 2л,~ 2л ~ с» (р) гг»». ~(1)=,'Я с»е' ' в следующем виде: О» 3% ~(1),~, (с» вЂ”Я е (2) где с» — ! ((()е ~'й/ 21,1 — 4 ъ г». хюц. ряд ехрьв и пнеовялзовлнив ехнье Здесь 6 †т элемент пространства Я'(Г), действие которого на функцию ф щ гз»(Г) определено соотношением 6 (ф)=ф (О). Ь. Если / щ отс (Г), то коэффициенты Фурье функции / цо системс «г™ определенные стандартным образом, можно записать виде По аналогии определим теперь козффнцненты Фурье с»(Р) любой обоб. 1 щенной фУнкцнн Р»в ау'(Г) фоРмУлой сд(Р);= — Р (г !«»), нмсюшсй смысл, 2л поскольку г-г»' гв Я (Г) Так, любой обобщенной функцнн Р гв зу'(Г) сопоставляется ес ряд Фурье чч ! Покажите, что 6 ~' — г'"г.
2л с. Докажите следующнй замечательный по своей простоте н открывающейся свободе действий факт; ряд Фурье любой обобщенной функцнн р»в гв йу' (Г) сходится к Р (в смысле сходнмостн в пространстве Я'(Г)). б. Покажнтс, что ряд Фурье функции Е ш Я'(Г) (как н сама функиня р я как 'любой сходящийся ряд обобщенных функннй) можно днфференцнровать почлснно любое число раз О» цт ! а. Исходя нз равенства 6 у — г'"', найдите ряа Фурье функннн 6' г~г 2л 1.
Вернемся теперь с окружносгн Г на прямую Гс я рассмотрнм функции г"дг как регулярные обобщснныс функцян пространства гр'(Ц (т, е. как лн. нсйные непрерывные функционалы на пространстве гр((2) фнннтных на (2 функций класса Сз!~г()1)) Любая локально интегрируемая функция / может рассматриваться как' элемент пространства Я' (Р) (рггуяярная обобщенная функ«ая из Яг'(Гс)), действующий на функцнн ф щ С«1~! ((2, С) по закону / (ф) = ~ / (х) ф (х) г/х. Сходнмгкть з лр'(Р) определяется стандартным образом: 1цн Р„РУ != '»/ф гв гу ()г) / 1цп Го (ф) Р (ф)). ( О ОО / (о «» Покажите, что а смысле сходнмостн в Я' (Р) справедли»о следующее ра. венство; — О * г'"»= ~ 6(х — 2лд), ! 2л лм О» О» в обеих частях которого подразумевается нрсдсльный переход нрн н - со цо снммстрнчнын частичным суммам ~: 6(х — 'хя) кан всегда, обозначает сдан— я вутую а точку ха 6.функцню пространства,У'(Р), т.
е. 6(х — хз)(ф) гр(ха). 1. Представление функцмн интегралом Фурье. а. Спектр и гармонический анализ функции. Пусть((1) — Т-периодическая функц«/я (снгнал), абсолютно интегрируемая на периоде. Раскладывая ( в ряд Фурье (в случае достаточной регулярности ) ряд Фурье, как известно, сходится к )) и преобразовывая этот ряд /(1)= '2 + У а»())созйщз/+Ьд())з!пйша/= д-! = ~ сд(/)е""'=сь+2 )', !сд/соз(Ьо«1+агйс«), (1) ° О» » ! получаем представление / в виде суммы постоянного члена а — '=с„— среднего значения / по периоду и синусоидальных компо- 2 ! кент с частотами та= — (основная «астота), 2»„(вторая гармоническая частота), н т'. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
