В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Таким образом, показано, что (1 я ФУ") ~ )1 я Ру'). З 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ д. Формула обращения. Определение 7. Оператор У', определяемый (вместе с его сокращенным обозначением - ) равенством 1(а): = У 111(%)1 =, '„/2 ~ 1(х) Е/ц "1 йх, Рл (33) называется обритназ2 преобразованием Фурье. Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье: (34) Югу'Ч11=тМИ)=1 что может быть переписано в сокращенных обозначениях 1=1=1 (34') - 'ка~ ' „)11к1 " Ф1»'ил=~у ( (2п)л/2 у» Ел 1' ~) »111 -'к "--»1~/1к1Ф= (2Ш»/2 Е» Ел = ~ у (у — х)1(у) /(у = ~ у (у)1(х+у) /(у.
Ул ул Законность проведенного изменения порядка интегрирования не вызывает сомнений ввиду того, что 1 и д-быстро убывающие' функции. Итак, равенство (35) проверено. или в форме интеграла Фурье 1(х) = 1 1(в) е"к м /2Б. (34") (2 )л/2 ) 1,л Используя теорему Фубини, формулу (34) можно немедленно получить из соответствующей формулы (24') для одномерного преобразования Фурье, но мы, как и обещали, проведем короткое независимое доказательство этой формулы. Ч Покажем сначала, что для любых функций 1, де= ФУ" (И', С) ' справедливо соотношение ~ ~ (у)1(х.+у) Пу.
(35) Рл Ел Оба интеграла имеют смысл, поскольку 1, денек, а по замечанию ! тогда и 12, д ен Фу'. Преобразуем интеграл, стоящий в левой части доказываемого равенства ~ уй)1(~)е '~ п~= Ел З72 570 г . х</и<. вяд фурье и пивов лзовлииа ел ьв 2 з. пгеовв/<зовхнив Фхвьа Заметим теперь, что при любом е) 0 1 ! г -/(и, - < (2л)л/2 (2-Ол/2лл и) д (еа) е«" м «я = ~ д (и) е '< ' '/ ди = е-"у [ — "-), < е/' <<л ал значит, в силу равенства (35) ~ д(е$) [(2)е'<* м<(з= ~ в "у ~ — "))(х+у) <(у= ~ у (и)[(х+еи) <(и. ял ал ял Учитывая абсолютную и равномерную по е сходимость крайних интегралов последней цепочки равенств, при и†0 получаем д(0) 1 /Д)е"" м<($=/(х) 1 д (и)<<и.
ал ° Положим здесь д(х)=е-<'<'/2. В примере 9 мы видели, что д (и) = е- "и/2. Остается вспомнить интеграл Эйлера — Пуассона ') а-"<(хлл)/л; чтобы с помощью теоремы Фубиии заключить, что ~ е-< "<*/2<(и =(2л)л/2 и в результате получить равенство (34"). 2 <<л Замеча ни.е 2. В отличие от одного равенства (34"), означающего, что г'[У 9]=/=), в соотношениях (34), (34') присутствует еще второе равенство Р [,7 ())) =.)=/. Но оно немедленно вытекает из доказанного, поскольку Р [/) ($) = иУ [/') ( — $) и ,р [)( — х))=,У [/(х)). Замечание 3. Мы уже видели (см.
замечание !), что если Г еп л9', то / еп лг', а значит, и ~'=- йг', т. е. У (У)с их' и,T (уи) с иР'. л Из соотношения 7=/=/ теперь заключаем, что й(лу')=их' и .)г (ар') = иу'. е. Равенство Парсеваля. Так принято называть соотношение (1. а>=Ю а>. (36) которое в развернутой форме означает, что ~ / (х) д (х) <(х = ~ / ($) й, (а) ~Ц. ' (36') гл ал. Из (36), в частности, следуег, что Ща=® [>=® 6 =[И'. (37) С геометрической точки зрения равенство (36) означает, что преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение между функциями (векторами пространства л/ ) и, значит, является изометрией пространства Ы~. Равенством Парсеваля иногда называют также соотношение ~)ауа Ц= ~)(.)у(.)й, (36) <<л .<,л которое получается из равенства (35), если положить там х= О.
Основное равенство Парсеваля (36) получается из соотношения (38). если в нем вместо д написать у и воспользоваться тем, что ® =у (ибо <р =<р и д =д). <. Преобразование Фурье и свертка. Имеют место следующие важные соотношения: (~ л д) = (2л)л'2 ) у, (Р у)=(2л)-2/2) а (40) ( <ваемые иногда формулами Боралл), которые связывают опе- назь еоб вания рации свертки и умножения функций посредством преобразов Фурье. Локажем з<и формулы: 4 (/*у) = — [ (/лй) (х)е-«2 "/<<х= <2л)л/2 Г< ~ [ ) (Х вЂ” '' у) д (у) <(у Е- «2 л< <(Х <2л<л~ а<и) '~[/и-и "*-"л~л.- (2л)л/2 и и< " "Ц /< < " 2.1ли -— (2л)" /2 ял л — ~ д(у) е-<Ц, и/(2) </у=(2л) /2/ ($)д ($).
,л Законность проведенного изменения порядка интегрирования не вызывает сомнений, если ), рапир', Формула (40) может быть получена аналогичной выкладкой, если воспользоваться формулой обращения (34"). Впрочем, равен- ство (40) можно вывести из уже доказанного соотношения (39), если вспомнить, что )=/=/, /=/, )=/ и что и о=й.0, и*о= =или. В самом деле, из (39) следует, что л--л и * о = (2л)л" (й б), ило=(2л)"'(й о) й л б = (2л)"'2 (Й $). 573 572 Э 3.
ПРЕОБРАЗОВАИИЕ ФУРЬЕ Гл. С(Усц. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАИИЕ ФУРЬЕ Подстйвляя сюда и=)', о=у и учитывая, что йс=йс=йс=пс, получаем равенство (40). 3 а меча н не 4. Если в форму'лы (39), (40) подставить 7' и д вместо 7 и д и применить к обеим частям полученных равенств обратное преобразование Фурье, то придем к соотношениям ! д=(2л) "схц й), (39') ) айс (2л)лсс (1 д) (40') 4. Примеры приложений. Продемонстрируем теперь преобразование Фурье (и отчасти аппарат рядов Фурье) в работе.
а. Волновое уравнение. Успешное использование преобразования Фурье в уравнениях математической физики связано (в математическом отношении) прежде всего с тем, что преобразование Фурье заменяет операцию дифференцирования алгебраической операцией умножения. Пусть,' например, ищется функция ье И- )х, удовлетворяющая уравнению ааислс(х)+а!и'"-"(х)+...+а„и(х) =)с(х), где а„..., а„— постоянные коэффициенты, а 7 — известная функция. Применяя к обеим частям этого равенства преобразование Фурье (в предположения достаточной регуэлярности функций и и 7), благодаря соотношению (31) получим алгебраическое уравнение (аа(2х)" +ис(2Ч "-'+...+О„) й Я) =гс($) относительно Й.
Найдя из него й(5)= —.,обратным преобразо- 1 6) РЯ!' ванием Фурье получаем и(х). Применим эту идею к отысканию функции и=и(х, 1), удовлетворяющей в Кхй одномерному волновому уравнению д'и 2 дси д)Е дхс (а ) О) и начальным условиям ди —, (х, О) = Р (х). и(х, О)=!'(х), Здесь и в следующем примере мы не будем останавливаться на обосновании промежуточных выкладок, потому что, как правило, легче бывает найти нужную функцию и непосредственно проверить, что она решает поставленную задачу, чем обосновать и преодолеть все возникающие по дороге технические трудности.
Существенную роль в принципиальной бор бе с этими трудностями, кстати, играют обобщенные функции, о чем уже упоминалось. Итак, рассматривая 1 как параметр, сделаем преобразование Фурье по х обеих частей нашего уравнения. Тогда, считая возможным выносить дифференцирование по параметру 1 за знак интеграла, с одной стороны, и, пользуясь формулой (31), с другой стороны, получим йсс($, 1) = — п%'й($, Г), Откуда находим й (5, 1) = А (е) сов ссес + В (е) з ! и пе( В силу начальных данных й (е, О) = ! ($) = А ($), йс' ($, О) = (и;) ($, О) = д (Ц) = аЦВ (в). Таким с)бравом, й (4, 1) = 7 Я) соэ аР + — 22п пяс = ы 6) аЕ 2 ! с(ЬХ) („Сах 1 -тм) 1 а' (а) (ЕСаа Е-Саас) 2 2ай ! домножая это равенство иа = есле и интегрируя по $, короче, )с 2и беря обратное преобразование Фурье и используя формулу (31), непосредственно получаем и(х, 1) = — (1(х — а()+)(х+а!))+ — ~ (д(х — ат)+йс(х+ат)) с(т.
о Ь. Уравнение теплопроводности. Еще один элемент аппарата преобразований Фурье (а именно формулы (39'), (40')), оставшийся в тени при рассмотрении предыдущего. примера, хорошо проявляется при отыскании функции и=и(х, 1), х~(х", 1'==О, удовлетворяющей во всем пространстве Кл уравнению теплопроводности. др - —" = аа би (а ~ О) и начальному условию и(х, 0)=!(х). да да Здесь, как всегда, б= —,+... + —,. дхсс ''' дх,',' Выполнив преобразование Фурье по переменной хее!)хл, получим в силу (31) обыкновенное уравнение д (е 1)=и (') (ес)+...+ел)й(е г) из которого следует, что йф с) О(ЦŠ— ас!2! ° с 574 Гл.
ХЧПЬ РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 575 Э З.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ где ~312=3,'+...+Ц. Учитывая, что й($, О) =-7" Я), находим й (еь 7) 7 (ео), е — оп 4 Р! Применяя обратное преобразование Фурье, с учетом соотношения (39') получаем и(х, 1)=(2л) лл $)(у)Е»(у — х 1)»(у где Ео(х, () — та функция, преобразованием Фурье которой по х получается функция е — '* ~ з Р'. Обратное преобразование Фурье ПО-$ фуНКцИИ Е вЂ” Лл~йР2 В СущНОСтИ НаМ ужЕ ИЗВЕСТНО ИЗ ПРИМЕ- ра 9. Сделав очевидную замену переменной, найдем — 1л ~ли (2П)л/ О 2/'Р Полагая Е(х, () =(2п)-лЛЕ»(х, 1). находим уже знакомое нам (см.
гл. ХН11, $ 4, пример !5).фундаментальное решение ~»л Е(х, 1) =(2а~ и») "е "*' (1)0) уравнения теплопроводности и формулу а(х ()=(1ФЕ)(х 1)- 'для решения, удовлетворяющего начальному условию и(х, 0) = = 7(х). с. формула Пуассона. Так называется следуюг1(еЕ соотношение: ) ' 2И,У, 'ф (2пп) =,У, ф (л) (41) между функцией йи 1«- $ (пусть фенола') и ее преобразованием Фурье ф. Формула (41) получается при х = 0 из равенства )I 2л ~'„~р (х+2пл) = ~ ф(п) е'", (42) которое мы и докажем, считая, что р — быстро убывающая функция.
4 Поскольку р, ф ен о9', ряды в обеих частях равенства (42) сходятся абсолютно (поэтому их можно сумммировать как угодно) и равномерно по х'на Всей прямой Р. Далее, поскольку производные быстро убывающей функции сами являются функциями со класса РУ', то можно заключить, что функция 7'(х) У', 22 (х+ 2пл) принадлежит классу С' '(Р, С). Функция 7, очевидно, 2п-периодическая. Пусть (с»(7)) ее коэффициенты Фурье по ортонормиро- Ванной системе '( Г 1». Ь 222 2л со 2л с»(1):== 1 1'(х)й-2»л«(х= ~ = 2.<р(х+2пл)е-'" 2(хоо оо то [о+ П оо = р(х)е-'" дх== ~ ф(х)е-'»»(х=:ф(й).
у'2п 1' 2п и = — оо 2пл — ОР Но 7 — гладкая 2И-периодическая функция, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней в любой точке хен(«. Значит, в любой точке хен К справедливо соотношение ф(х+2пп) =~(х) = с„(1)= — = —. ~~ ф(п)е" . 1ь )Г2л )г2л л — оо . = — оо Замечание 5, Как видно из доказательства, соотношения (41), (42) справедливы далеко не только для функции класса ФУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
