В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 122
Текст из файла (страница 122)
мула Тейлора — одно из наиболее важных соотношений дифференциального исчисления. Эта глава должна дать читателю начальные представления об элементарных асимптотических методах анализа. В первом параграфе мы введем общие понятия и определения, относящиеся к элементарным асимптотическим методам, а во втором используем их при изложении метода Лапласа построения асимптотического разложения интегралов Лапласа. Этот метод, найденный Лапласом в его исследованиях по предельным теоремам теории вероятностей, является существеннейшей составной частью развитого впоследствии Риманом метода перевала, излагаемого обычно в курсе комплексного анализа, Систематическое изложение основных методов построения асимптотики интегралов,' зависящих от параметра (метод Лапласа, метод стационарной фазы и метод перевала), читатель, знакомый с комплексным анализом, сможет найти, например, в книге: М. В.
Федор юк. Метод перевала. — Мл Наука, 1977, которая, кстати, содержит большую библиографию и которой мы следуем в нашем изложении. приводимых ниже начальных сведений об асимптотических методах анализа. й 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд 1. Основные определения. а. Асимптотические оценки и асимптотические равенства. Начнем для полноты с некоторых напоминаний и пояснений. Определение 1. Пусть ~: Х-1-)л и йч Х- г' — вещественно-, комплексно- или вообще векторнозначные (в соответствии с природой множества )л) функции, определенные на множестве Х, и пусть ,% — база в Х.
Тогда соотношения 7 (х) =- 0 (к (х)) х ~ Х, 7" (х)=0(д(х)) при базе %, 1(х)=о(д(х)) при базе % означают по определению, что в равенстве !у(х)!=а(х) ~д(х) ! вещественная функция сс(х) является соответственно ограниченной на Х, финально ограниченной йри базе % и бесконечно малой при базе %. Эти соотноц1еиия обычно называют асимптотическими опен- ками (функции !).
Соотношение 7(х) д(х) при базе %, по определению означающее, что 1(х) =д(х)+О(д(х)) при базе %, называют обычно асимптотичгской вквивалентностью или асимлтотическим равенством е) указанных функиий при базе %. Асимптотические оценки и асимптотические равенства объединяют термином асимптотические формулы. Там, где указание аргумента функции несущественно, принята сокращенная форма обозначений ~=о(д), (=0(й), у а, которой мы уже систематически пользовались. В наших дальнейших рассмотрениях )л =3 или )л=Р; Х~$; или Хс:(с; %,— как правило, одна из баз Х =эх-1-0 или Х~ — = З Х вЂ” СО.
Используя введенные обозначения, можно, в частности, написать, что созх=0(1), х~(ч, созгФО(1), г~1В, !пвл=1+г+о(г) при г- О, г~С, (1+х)"=!+их+о(х) при х- О, х~Р п(х) = — + о( — ") при х-ь+ОО, х~Р, 1пх 11пх/ Замечание 1. По поводу асимптотических равенств полезно заметить, что они являются всего лишь предельными соотношениями, использование которых в вы )целительных целях возможно, но после дополнительной работй, связанной с оценкой остатка.
Об этом мы уже говорили, обсуждая формулу Тейлора. Кроме того, надо иметь в виду, что асимптотическая эквивалентность, вообще говоря, позволяет проводить вычисления с малой относительной, но не малой абсолютной погрешностью. Так, например, Х при х- + ОО равность и (х) — — не стремится к нулю', поскольку 1п х при каждом значении х, являющемся простым числом, функция н(х) имеет единичный скачок. Вместе с тем относительная пах грешность от замены п(х) на — стремится к нулю: 1п х о~ — ) -ьО при х- +СО. (Ю ) Полезно иметь в виду также часто употребляемый для обозначения асиыптотических равенств си1явол = Э 1. АСИМПТОТИи!ЕСКИИ РЯД Интегрируя по частям, получаем 1 1 2-1 2=2 и 2 х 1 'поэтому при и-э-Оо к ('.(Х)= ~,— „-((( (и~И) 1 Гл. Х1Х АСЫМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Это обстоятельство, как мы увидим ниже, приводит к важным в вычислительном отношении аснмптотнческим рядам, следящим за относительной, а не за абсолютной погрешностью приближения и потому часто расходящимся, в отличие от классических рядов, для которых абсолютная величина разности между приближаемой функцией и и-й частичной суммой ряда стремится к нулю при п- +се.
Рассмотрим некоторые примеры иполучения асимптотических формул. П р и м е р 6: Трудоемкость вычисления значений и! или !п и! возрастает прн увеличении п ~ К. Воспользуемся,' однако, тем, что п велико и получим прн этом условии удобную асимптоти. ческую формулу для приближенного вычисления 1пп! Из очевидных соотношений и л А л и А+! и+1 ~!пх1(х= ~ ~ 1пх((х< 2,' )пй - ~ ~ !пх2(х= ~ (пх1(х следует, что л 2 л+! 0(!пп! — ~1пх!(Х(~!пх2(х+ ~ (пхе(х -1п2(п-)-1). ! 1 л Но л ~ !п х ((х = и ()п и — 1) + 1 = и )п и — (и — 1), 1 )п и ! = ~ !п х 2(х+ 0 (1и 2 (и -1- 1)) 1 — п !п и — (и — 1) -1- О (1 и и) = и 1п и + 0 (п). Поскольку 0(п) =о(п )пп), когда и- +со, относительная погрешность формулы 1пп! и (пп стремится к нулю при и-+.+СО.
Пример 7. Покажем, что нрн х- +сэ функция аспмптотическн эквивалентна функции пи(х)=х-"Е . Поскольку йил(Х) — л+СС ПРН Х вЂ” +-+Ос, тО, ПРИМЕНЯЯ ПРаВИЛО ЛОПнтаЛЯ, Находим, что !и (к) 1„' (к) к-лЕк П р и ме р 8. Найдем поточнее асимптотическое поведение функции Р е' ! (Х) = ~ —, !((, которая лишь постоянным слагаемым отличается от интегральной экспоненты Р е' В! (х) = ~ — !(!. Последний интеграл, как было показано в примере 7, есть 0(х-(иэ"е') при х- +со. Включая в 0(х-'"'"е") еще н получаел мую прн подстановке (=1 постоянную — е ~' (й — 1)1„нахо И= ! днм, что и )(х)=е' 5' „'+О( — — „„!) при хл-+со.
А=О ек Погрешность 0 ~ — „., ) приближенного равенства п 1(х) 11 „ е" асимптотнчески бесконечно мала по сравнению с каждым, в том числе н последним, членом написанной суммы. Вместе с тем прн х- +со каждый следующий член суммы есть бесконечно малая в сравнении с предшествующим членом, поэтому естественно написать неограниченную уточняющуюся последовательность подобных формул в виде ряда, порожденного функцией 11 ЧЗ (А — !)1 7 (х) ел к А 2 59! Гл. Х!Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ э!. АсимптОтический Ряд Отметим, что этот ряд, очевидно, расходится при любом значении х ее(ч, поэтому нельзя писать 1(.)= ~ '"-'" х» »=о Таким образом, мы имеем здесь дело с некоторым новыл! и явно полезным асимптотическим яониманием ряда, связанным, в отличие от классического случая, с относительным, а не абсолютным приближением рассматриваемой функции, Частичные суммы такого ряда, в отличие от классического случая, используются не столько для приближения значения функции в конкретных точках, сколько для описания.
коллективного поведения значений функции при рассматриваемом предельном переходе (который в на!пем примере состоял в стремлении х к +СО). Ь. Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд. Определен не 2. Последовательность асимптотических формул !(Х) =»р»(х)+о(фь(х)), Г(х) =фь(х)+ф1(х)+о(ф1(х)), 7(х) = 11» (х) + ф1 (х) -1-... + ф„(х)+ о (ф„(х)), справедливых при некоторой базе .% в множестве Х, где определены рассматриваемые функции, записывают в виде соотношения , ! (х) — »ро (х) + ф! (х) + ° + 3Ь (х) + или, короче, в виде 1(х) л,' »р»(х) 'и называют асимптотичес- »=О ким разложением функции )' при данной базе %.
Из этого определения видно, что в асимптотическом разложении всегда о (ф„(х) ! = ф„„» (х) + о (ф„»1 (х)) при базе % и, значит, при любом значении и=О, 1, ... ф„„(х)=о(ф„(х)) при базе %, т. е. каждый следующий член разложения доставляет поправку, асимптотически более тонкую по сравнению с предшествующим членом. Асимптотические разложения обычно появляются в виде линейной комбинации сь»рь (х)+с»1р» (х)+...+с,1р„(х)+... функций той или иной удобной' для конкретной задачи последовательности (!р„(х)). О и р е д е л е н и е 3.
Пусть Х вЂ” множество с заданной в нем. базой %. Последовательность (!р„(х)) определенных на Х функций называется асимптотической последоеательностью при базе %, если !р„„(х)=о(1р„(х)) при базе»% (каковы бы ни были два соседние члена 1р„, 1р„+1 этой последовательности) и если на любом элементе базы»% ни одна из функций»р„~ (!р„(х)) не равна нулю тождественно.
Замечание 2. Условие, что (!р„)в)(х)д!ЕО на элементах В базы % естественно, поскольку в противном случае все функции 1р„»„!р„„, ... были бы равны нулю тождественно на В и система (!р„) оказалась бы в асимптотическом отношении тривиальной. П р и м е р 9. Следующие последовательности, очевидно, являются асимптотическими: а)1,х,х',...,х",...прих- О; ! ! 1 Ь) 1, —, —, ..., —, ... при х-». ОО; с) х", х'», ..., х'», ... при базе х-».О, если р1(рь(" <р,< при базе х-».ОО, если р1) р»)..) р.)...; . д) последовательность (а(х) !р„(хИ, полученная из асимптотической умножением всех .ее членов на одну и ту же функцию.
Оп р еделе н ие 4. Если (!р„) — асимптотическая последовательность при базе %, то асимптотическое разложение вида 1(х) = с»1рь (х) + сер! (х) +... + с„»р„(х) +... называется асимптотическим разложением или агимптотическим рядом функции Г по асимпто1пической последовательности (!р„) при базе %. Замечание 3. Понятие асимптотического ряда было сформулировано Пуанкаре, активно использовавшего асимптотические разложения в своих исследованиях по небесной механике, но сами асимптотические ряды, как и некоторые методы их получения, встречались в математике еще раньше. По поводу возможного обоб!цения понятия асимптотического разложения в смысле Г1уанкаре (которое мы изложили в определениях 2 — 4) см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
