В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Значит, функция у = кр(х)'= (х — хь)~/(г(х) ~ 608 Гл. Х)Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ % О. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ в некоторой, окрестности (полуокрестности) !„точки х, также принадлежит классу гладкости С«о и даже монотонна, поскольку <Р' (хо) =~/~ г(хо) < =(Р ') <)гл чь О, В таком случае рассматриваемая на I„функция <р имеет обратную функцию <р-)=<8, определенную на промежутке 1Р=<1<(1,), содеРжащем точкУ О=<у(хо). Функция х=<р(у) принадлежит классу С'"'(1„, 1,), поскольку чр~С<«)(1„, 1„) и <р'(х)ФО на 1 .
Далее, <))'(0)=(<р'(хв))-<= а! '<<<л . Наконец, по самому построению 5(«<(у)) = З(хо)+ в +зу", где з=зепг(х,)=знпЗ<")(хо). 3 а м е ч а н и е 1. Йаибольший интерес представляют обычно следующие случаи: п=! или 2, а ?<=1 или ОО. Утверждение 2 (о редукции). Пусть в интеграле (1) отрезок интегрирования I = [а, Ь! конечный и выполнены следующие условия: а) 1, 3 ~С(1, !с); Ь) шах З(х) достигается только в одной точке х, ~1; лег с) 5 в=С< )((г)(хо), )с) в некогпорой окрестности ())(хо) точки ха (рассматриваемой в нределах промежутка 1); й) 5<л) (хо) Ф О, и.
если 1 с. и, то О'<)) (хо) =... = 3<"-)) (хо) = О, Тогда при Л-+-+со интеграл (1) с погре)ииость, определяемой принципом локализации (В), может быть заменен' интегралом вида ?Р (Л) е«з <л.) ~ < (у) е — Ао" йу ГР где 1„=[ — е, е|, или' 1„=[0, е|, е — сколь угодно малое положительное число, а фуикцйя г того же класса гладкости на 1„, что и функция 1 в окрестности точки хо.
4 Используя принцип локализации, заменим интеграл (!) интегралом по такой окрестности 1„=(?)(хо) точки х„в которой выполнены условия леммы 3. Сделав замену переменной х=«р(у), получим ~ 1(х) е"з <ю йх = ~' ~ 1 (<)< (у)) «)' (у) е — Ао" йу ) е«з '-"', (11) 1 Знак минус в показателе ( — Лу") связан с тем, что по условию хо=ю(0) есть точка максимума.. й Асиыптотику канонических интегралов, к которым в основных случаях приводится интеграл Лапласа (1) дает Лемма 4 (лемма Ватсона* )).
Пусть а)0, ~)0, О~ам-со и )~С([0, а~, Я). Тогда относительно асимптотики интеграла ((7 (Л) = 1 ха-11 (х) е-« "йх о при Л-р-+ Оо справедливь< следуюи<ие утверждения; а) Главный член асимптотики инп<еграла (12) имеет вид в г а+)< (Р(Л) = — „'1(О)ГЯ)Л ° +0(Л ° >, (!З) если известно, что 1(х)=1(0)+0(х) при х-эО. Ь) Если 1(х) ао+а,х+...+а„х" +0(х"+") при х-+ О, то «+в < л+" 8-<- )< )(7 (Л) = — <) — «Г ~ — +) Л ° +О (Л о ), (14) «=о с) Если 1 — бесконечно дифференцируема при х=О, то имеет место асимптотическое разложение «=о которое можно дифференцировать по Л любое число раз. ,4 Представим интеграл (12) в виде суммы интегралов по промежуткам 10, е? и [е, а[, где е — сколь угодно малое положительное число.
По лемме ! а <л-ч<,< ~р~~~л;~=о<в--) р. е + е поэтому в Ю(Л) =~х"-<1(х)е-"*"йх+0(Л- ) при Л-р-(-оо. о В случае Ь) ?(х) =,У, а„х" +г„(х), где г„ее С[0, е) и (г„(х)(~ «=о ~Схл+) на отрезке [О, е!. Значит, и е е ((7 (Л) = ~ а« ~х«+8-'е — "" йх+с(Л) ~х"+ве-о""йх+о(Л;"), «=о о о где с(Л) — ограниченная величина при Л-р.+со. ') й.
Н. Ватсон (Уотсон) (1886 — !965) — англнйскнй математан. 90 а А. 3ОРич. ч. н 6!! 6!О $2. АСИМПТОТИКА ИНТВГРАЛОВ ВА. Х!Х АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ По лемме ! при )е. +со е + се ХАЕЬ-1Š— ' 'Е(Х= ~ ХАЕ6-1Š— Ах" дХ+0(1.— ). 0 О Но + ее А !) -А+В х"в-е — "дх= ! Г!"+й'!)„ и ! а 1 откуда теперь и следует формула (14) и ее частный случай — формула (! 3).
Разложение (15) вытекает из равенства (14) и формулы Тейлора. Возможность дифференцировать разложение (15) по ) следует из того, что производная интеграла (12) по параметру ) есть интеграл того же типа (12) и для %" (Л) можно в соответствии с формулой (15) предъявить в явном виде асимптотическое разложение при )е-е.+ОО, совпадающее с тем, которое получается фор.
мальным дифференцированием исходного разложения (15). Р П р и м е р б. Рассмотрим преобразование Лапласа уже встречавшееся иам в примере !. Если этот интеграл сходится абсолютно при некотором значении )е'= А.„а функция 1 бесконечно дифференцируема при х=О, то по формуле (!5) находим, что Р()) 'У', )221(0))-12+" ори ).- +со; е =О 4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа. Те о рема 1 (о типичном главном члене асимптотики). Пусть в июпеграле (1) отрезок интегрирования 1=[а, Ь] конечный, 1, 5 яС(1, (х) и п1ах.5(х) достигается только в одной точке «, ен1. ха1 Пусть также иввесппо, что )(х,) ~0, )(х)=((хо)+0(х — хе) при 1 =-эх- хь, а функция 5 принадлежит классу гладкости С!А' в окресп2ности точки х,.
Тогда; а) если хе=а, й=2 и 5'(х,)ФО (т. е. 5'(хь).СО), то Р Ое) =," е'з '" 1)е-1 [1+ 0(Х-1)] при )е-Р+ Оо; — 5' (х) Ь) если а~хе,.Ь', Й=З и 5" (хо)ФО (т. е. 5" (хе)~0), пю Р(1) = ! ." /(хь) ехз 1хе1) Мое[1+ 0 (), 112)] пРи А-ь+Оо; г — в" (х,) с) если х,=а, к=З, 5'(а) =0 и 5" (а) ~0 (т. е.
5" (а) -0), то Р () ) = 1~ "„1(хе) е"з'" 1) -112 [1+ 0 ()е-112)] при ).-Р+ Оо. у 2 е" (Хе) 4 Используя принцип локализации и делая замену переменной к=41(у), указанную в лемме 3, придем, согласно утверждению 2, о редукции к следующим соотношениям: .1Е1Е1=Е' (!11е1Ь1е Ь1 'ЕеЕО1Е--1) !о 1 е Ь) Р())=ехз!" 1 ~ (1 41)(у)ер'(у)е — АР'йу+0() — )1= '*'О~!!111 е1ые'1е1-еч е11 — пе ! — ее еее-~о1е--!].
(о ,1 Е1Е1=Е ц. (!11.ЕПЕ1Е 1д1 -ы ЕЕ-~О<Л--1] о Функция (7 1р) р' при сформулированных выше требованиях удовлетворяет условиям леммы Ватсона. Остается применить лемму Ватсона (формула (14) при и = 0) и вспомнить выражения для ер (0) и ер'(0), указанные в лемме 3. Итак, мы обосновали формулы (2) — (4). Рассмотрим некоторые примеры приложений доказанной теоремы. П р и м е р 7, Асимптотика гамма-функции.
Функцию Г()е+1) ~ 11,еед1 (Х) — 1) о можно представить в виде интеграла Лапласа + еэ Г(1.+1)= 1 ех ° й1, о и если 'при )е)0 сделать замену переменной 1=)!х, то придем .к интегралу .1- е» Г(1+1) йвы ~ е — А<х — 1ех1й» а который можно исследовать средствами доказанной теоремы, Функция 5(х)=!пх — х имеет единственную точку максимума х=1 на промежутке ]О, +со[, причем 5" (1) = — 1.
На основании принципа локализации (утверждение 1) и'утверждения Ь) теоремы 1 заключаем, что Г (А+ 1) = $' 2п)е( — ) [1+0(Х-еп)] при )~-~+со. ЯО' 613 612 $ К АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ Таким Образом, (1б! ') См также задачу 1О к О 3 гл. ЧП. Га. Х!Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В частности, вспоминая, что Г(и+1)=и! при и~К, полу- чаем классическую формулу Стирлинга *) и1=]Г2лоЯ [1+0(и-112)] при и-о сс, лен!14. Пример 8. Асимитотика функции Бесселя Т„(х) = — е« "о соз из йО, где и ~(т). Здесь 1(9)=созиО, 5(9) = сов О, !пах 5(9) =5(0)=1, 0(«ч,к 5'(0)=0, 5" (0)= — 1, поэтому на основе утверждения с) тео- ремы ! Т„(х)= [1+0(х-112)] при х- +со, ''г«2кх Пример 9. Пусть )в=С!1!([а, Ь], Р), 5ен С!" ([а, Ь], й), причем 5(х))0 на [а, Ь] и шах 5(х) достигается только в одной а~«(ь точке хо~[а, Ь]. Если !'(хо)ФО, 5'(хо)=0 и 5" (хо)~0, то, переписав интеграл ь Р (Л) = 1 [ (х)[5 (х)]хе(х а в форме интеграла Лапласа ь У' (Л) = 2)1(х) ех!а з !«1 т(х, а на основании утверждений Ь) и с) теоремы 1 получаем, что при Л-~+со У (Л) = в! (хо) ~/ „„) [5 (хо)]А+112Л-112 [1+ 0 (Л-122)], где в=1, если а(хо<Ь и в=1/2, если хо=а или хо=Ь, Пример 10.
Асимитотика полиномов Лежандра е.!о--,') (*-Н е — ! ° О" л при и- сс, и~й4, в области х,=»! может быть получена как частный случай предыдущего примера, когда 1= 1, -5(9) =х+]/хо — 1соз О, шах 5(9) =5(0) =х+ р'х' — 1, оео<а 5'(0)=0, 5" (0)«я — ]'х' — 1. ( + )««2 1)««112 Р„(х)= "~ «,.
— [1+0(и-112)] .при и- сс, лен!'ч. Ъ 2кп УР «1 — 1 е о!ьб. Асимптотические разложения интегралов Лапласа. Теорема 1 дает только главные члены характерной асимптотики интеграла Лапласа (1) н к тому же при условии, что 1(хо) чь О. В целом это, конечно, наиболее типичная ситуация, и поэтому теорема 1, несомненно, является ценным результатом. Однако уже лемма Ватсона показывает, что асимптотика интеграла Лапласа порой может быть доведена до асимптотического разложения, Такая воз.
можность особенно важна, когда !(хо) =0 и теорема 1 ничего. не дает. Совсем отбросить условие !(хо)~0, не заменив его ничем, разумеется, нельзя, оставаясь в рамках метода Лапласа: ведь если !(х)=0 а окрестности точки х, максимума функции 5(х) или если Т(х) очень быстро стремится к нулю при х-+-хо, то точка хо может н не быть ответственной за асимптотику интеграла. Теперь, когда в результате проведенных рассмотрений мы уже пришли к определенному типу (е' Л Рь~ (р, (р, (...) Последовательностей, асимптотических при Л-е+ со, можно говорить об асимптотическом нуле по отношению к такой последовательности и,' не предпола.
тая, что ) (х,! ~ О, можно следующим образом сформулировать принцип локализации: асилттотика интеграла Лапласа (1) при Л --1-сс с точностью до асимптотического нуля ио отношению к асимптотической последовательности 1ехв '"'Л ~ь] (р, ( р, (...) совиадаел! с асимитотикой порции этого интеграла, взятой ло сколь угодно малой окрестности точки хо, если это единственная точка максимума функции 5(х) на промежутке интегрирорания. Мы не будем, однако, возвращаться к рассмотрению и уточне. нию этих вопросов, а, считая ! и 5 . функциями класса С! дадим вывод соответствующих асимптотических разложений, использующий лемму 1 об экспоненциальной оценке, лемму 3 о замене переменной и лемму 4 Ватсона. Теорема 2 (об асимптотическом разложении). Пусть 1= = [а, Ь]- конечный отрезок, 1, 5 ен С(1, Р), !пах 5 (х) достигается «м! только в одной точке хо ен! и ), 5 енС""(П! (хо), (т) в некоторой окрестности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
