В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 127
Текст из файла (страница 127)
01(хо) точки хо. Тогда относип!ельно асимптотики интеграла (1) справедливы следуюи(ие утверждения: а) Если х„=а, 5ью(а) чьО, 5!!1(а) =0 для 1 (1(т, то Р(Л) Л-и ет'о» ~ аьЛ-ю'" ири Л вЂ” «-+со, «о 6!6 % Е АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ где хе=а, к интегралу (20) не- Ватсона и наличие разложе- случае а<хе <Ь, приводим е л=а' Гл. Х!К. АСИМПТОЧ ИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ а„=! ), ~ Г( — + — )/й(х, а) „— ~) .(/(х)й(х, а))!„-„ й(х, а) =-(5(а) — 5 (х))«->> /5'(х). Ь) Если а < хе < Ь, 5>2'"' (х) чь О, 5! р (хе) = 0 для 1</ < 2т, то Р(Л) Л->/2'"е«з ' 'е> ~Х ', с«Л-«>м при Л->-+оо, (17) «=е где с»=2 — у»)! Г( лм )[й(х, хе)в ) (/(х)й(х, хе))! = .
! й (х, хе) = (5 (х,) — 5 (х)) ""/5' (х). с) Если />л>(хе)-,' 0 и /(х) — />ю(хе)(х — хе)" при х->.хе то л> " главный член асимпто>пики в случаях а) и Ь) соответственно имгет вид л+! л ->. ! /'(Л) =- — „Л "' е«~>е>Г~ — ) ~ ) Х л+ >> х ~„— > /!"'(а)+О>Л )], (!8) л+! л+ >> х ~ — > /!">(хе)+О(Л '- /). (19) с1)'Разложения (!6), (!7) можно дифференцировать по Л любое число роз, 4 Из леммы 1 следует, что в наших условиях с точностью до величины вида е"зм>О(Л-' ) при Л-«ОО интеграл (!) можно заменить интегралом по сколь угодно .малой окрестности точки хе.
Сделав в такой окрестности замену переменной х >р(у), указанную в лемме 3, приведем последний интеграл к аиду " '"" ~ (/ р) Ы >р' (у) '" йу 1„ где /„-[О, е], а=т, если хе а и /„=[ — в, е], а=2т, если а<хе<Ь. Окрестность, в которой производилась замена х= р(у) можно считать столь'малой, что обе функции /, 5 в ней бесконечно дифферепцируемы. Тогда и полученную под знаком интеграла (20) функцию Д >р) (у) >р' (у) можно считать бесконечно дифферрнцируемой.
Если /„=[О, е], т. е. в случае посредственно. применима лемма 4 ния (16) тем самым уже доказано. Если же /» — — [ — е, е], т. е. в интеграл (20) к виду е А~!«м ~ [(/ >р) (у) Гр'(у)+(/«р) ( — у) >р'( — у)]е — А" г(у (21) о и, вновь применяя лемму Ватсона, получаем разложение (17), Возможность дифференцировать разложения (!6), (!7) следует из того, что при наших условиях интеграл (1) можно дифференцийовать по Л, и при этом снова получается интеграл, удовлет-- воряющий условиям теоремы.
Для него выписываются разложения (16), (!7), и можно непосредственно убедиться в том, что эти разложения действительно совпадают с теми, которые получаются формальным дифференцированием разложений (16), (17) исходных интегралов. Остановимся теперь на формулах для коэффициентов а, и с«. По лемме Ватсона а» = — — (О) Г [ — ), где Ф (у) ! вФ >а+>> Ыл>лу« '> м = (/ р)(у) ч (у).
Учитывая, однако, что 5 (>р (у)) — 5 (а) = — у'", 5' (х) >р' (у) = — ту"-', >р' (у) = — т (5 (а) — 5 (х)) /5' (х), ву вх' — = ц'' (у)— 6) (у) = /(х) Гр' Ы, >олучаем в«Ф в « — „(0) = ( — т)«+! ~ й (х — а) — ) (/ (х) й (х, а)) ( ! где й (х, а) = (5 (а) — 5 (х)) /5' (х). Аналогично получаются формулы для коэффициентов с„при.
менением'леммы Ватсона к интегралу (21). Полагая >р (у) = 1(>р (у)) >р' (у) + / (>р ( — у)) >р' ( — у), можно записать, что при Л-~+со. Гл. Х<Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Но, ф"""'(0)= 0 ввиду четности функции >р(у), поэтому последнее асимптотическое разложение можно переписать в виде 1 е о< о е Остается заметить, что ф<'"> (0) = 2Ф<" > (0), где Ф (у) = = !(<р(у)) <р' (у) =1(х) <р' (д), Теперь формула для сл получается из уже установленной формулы коэффициента ал заменой в ней й на 2й и удвоением результата такой подстановки.
Для получения главных членов (18), (19) асимптотических разложений (16), (17) при указанном в с) условии. 1(х) = 1 = — !<е> (хо) (х — х,)" + О ((х — х,)""), где 1<л> (х,) Ф О, достаточно вспомнить, что х=<р(д), х,=<р(0), х — хо=<р'(0)у+0(д'), т. е. ().
р)(д) =д" (' — '"","'(р (о)) +о(д)) (р р)(д) р (д)=у.~'— 'тТ( — "')«р (О)) +О(д)) т> >1!т прн у->0, поскольку <р' (0) = (, ~,,' ) ФО, если х, = а и <р (0) = '.) <2т)> >1>ет ~0, если а<х,<Ь. Остается подставить полученные выражения соответственно в интегралы' (201, (21) и воспользоваться формулой (13) из леммы Ватсона. Замечание 2. Из формулы (18) при л=О и л>=! вновь получаем формулу (2').
Аналогично из (19) при л = О и т = 1 получаем соотношение (3'). Наконец, равенство (4') получается из равенства (18) при и=О и л>=2. Все это, разумеется, в условиях теоремы 2. Замечание 3. Теорема 2 относится к случаю, когда функция З(х) имеет на отрезке 1=!а, Ь! единственную точку максимума. Если же таких точек несколько х„..., х„, то интеграл (1) разби'вают в сумму таких интегралов, асимптотика каждого из которых уже описывается теоремой 2. То есть в этом случае асимптотика л получается как сумма У', г" ()е, хг) вкладов указанных точек мак< > симума; Легко себе представить, что при этом могут произойти некоторые или даже полные взаимные уничтожения.
$ Ь АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ П р и м е р 11. Если 3 ен С<">(Р, Р) и 5(х)->- — ОО при х-е.со, то г(Х)= $ 5'(х)ехз<'><!х=--0 при Л)0. Значит, в этом случае такая интерференция вкладов заведомо должна иметь место. С формальной точки зрения приведенный пример может показаться неубедительным, поскольку раньше речь шла о конечном отрезке интегрирования.
Однако этот вопрос снимает следующее важное Замечание 4. В теоремах 1 и 2-для облегчения и без того громоздких фопмулировок мы считали, что промежуток интегрированйя 1 — конечный, а интеграл (1) — собственный. На самом же деле, если вне любой окрестности У (хо) точки макси- ' мума хоев! выполнено неравенство епр З(х) <З(хо), то лемма 1 <,п <х,> уже позволяет заключить, что интегралы, взятые по промежуткам, ЛЕжащИМ ВНЕ У(Хе), ЭКСПОНЕицнаЛЬНО МаЛЫ В СраВНЕНИИ С ЕАЗ<х' пр>ь Х- +ОС (разумеется, при условии, что интеграл (!) абсолютно сходится хотя бы при некотором значении Х=)<о). Таким образом, и теорема 1, и теорема 2 применимы также к несобственным интегралам, если выполнены указанные только' что условия. Замечание 5.
Полученные в теореме 2 формулы для коэффициентов ввиду их громоздкости обычно удается использовать лишь для получения нескольких первых членов асимптотики, нужных в конкретных вычислениях. Оощий вид асимптотического разложения, более простой, чем указанный в теореме 2, по этим формулам для коэффициентов а„с„, получить удается крайне редко. И все же такие ситуации встречаются. Рассмотрим для разъяснения самих формул следующие примеры. П р и м е р 12. Асимптотнку функции + сю Ег1(х)= ~ е-л*<(и х ПРИ Х-е-+ОС ЛЕГКО ПОЛУЧИТЬ ИНтЕГРИРОВаНИЕМ ПО ЧаСтЯМ: + ОЭ + ее е — х' ! Р е — х' З вЂ” х* Ег((х) е ~ и-хе в е'<)и е + ( и-ле†л' (и 2х 2 ) 2х 2ехе откуда после очевидных оценок следует, что Вг! (х) 2 ~ А х-" при х — Р+ ОО. (22) Получим теперь это разложение, исходя из теоремы 2. 6)8 Гп Х)Х АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Сделав замену и =хг, приходим к представлению + со Ег1(х) =х ~ е-х"'(И, ! Полагая здесь Л=хх н обозначая переменную интегрирования, как и в теореме 2, буквой х, сводим вопрос к отысканию асимптотики интеграла Г (Л) = ~ е- ' '.* ((х, (23) ! поскольку Ег1 (х) = хЕ(х').
Интеграл (23) с учетом замечания 4 удовлетворяет условию теоремы 2: 5(х) = — х', 5'(х) = — 2х СО прн 1 (х(+ОС, 5'(1)= = ' — 2, 5(1) = — '1. 'Итак, х,=а=1, т=1, 1(х) =1, й(х, а! = —, Й(х, а)— ! е ! с — 2х с(х ' Значит, 6)9 $2 АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ Для некоторого упрощения дальнейшей записи заменим в интеграле (24) х на х — 1.
Тогда получим, что -)-сп Г (Л+ 1) = Лл+1е-1 ~ ех()п(1+к)-к) ((~ -! и дело свелось к исследованию асимптотикн интеграла +сп А'(1) ~ ех(ы(1-к)-к) ((х -! (2б) при Л-«+ОС. Здесь 5(х)=!п(1+х) — х, 5'(х) = —,' — 1, 5'(О)= и ' (! +х)1' =О, т. е. хп=О, 5" (х) = —, 5" (0) = — ! ФО, т. е. с уче-' том замечания 4 выполнены условия Ь) теоремы 2, где надо поло. жить еще-!(х) = 1 н т= 1, так как 5" (0).ФО. Функция !2(х, х,)=й(х) в данном случае имеет следующий вид: г)(х) = — — (х — 1п(1+х))"'. Полагая х=!, находим, что а = —,Г(й+1)( — — „, )=( — 1) — „, ! — !)1+1 ! (2(г — !)и! 1(2(2 — Цп Выписав теперь асимптотическое разложение (!б) для инте-' грала (23), с учетом соотношения Ег((х) =хР(хх)«получаем разложение (22) для функции Ег1(х) прн х-«+со.
Пример !3. В примере 7, исходя из представления Г ()„+ 1) ЛХ+1 ) е-1(х-)пк) ((х о мы получили главный член асимптотики функции Г(Л+1) при Л- +оэ. Попробуем теперь, пользуясь теоремой 2Ь), уточнить найденную ранее формулу. Если мы хотим найти первые два члена аснмптотнки, то нам надо вычислить при х=О ~й( ) „-"-„)'(й( )) =й(~), ~й (х) е — ) (й (х)) =72 (х) е — (х), (й( ) „-"-)'(й( )) =(й( ) „-",) (й( ) „"-"(.)) = = )г (х) ~~д — ) (х) + й (х) е (х)~. Это вычисление, как видно, легко сделать, если найти зна- чения а(0), й'(О), й" (0), которые в свою очередь можно получить из тейлоровского разложения функции й(х), х)0 в окрестно- сти нуля: й (х) = — — „1х — ( — —.хх+ — — — х'+ 0 (хп)Д 2' 3 4 ~1/1 = — = ! 1 — — хз+ — х'+0 (хх)~ )+х!' ! 7 ~/я ( 3 36 = — = (! — — х + — х'+ О (х')) = = — — — — х+ х +0(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
