В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 129
Текст из файла (страница 129)
627 Гг. Х»Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ б 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ сходятся абсолютно. Покажите, что тогда он сходится абсолютно при Л ~Л« и ~ Р(Л) ~ ( ) ]](х)гдэ!"]! ух ~Аед"г (Л" Л,), О где А †положительн постоянная. й. Лемма Морса. Пусть х, — невырожденная крнунчссвая точка функции 5 (х), х !в ]кг, определенной и принадлежащей классу Спо] а окрестности точ' кн хе: Тогда существуют окрестности (/ и У точек х= х,, у=О и днффеомор. фнзм вр: У -«(/ класса С(ш](У, (/) такие, что и, 5(. Ы) =5(.)+ —,'~'... ЬО; 1 /=! де1!р'(0)=1, тд, ..., т -собственные числа матрицы 5'.(хе), а у=(уд, ... ..., у") †координа точки у!в )гп.
Докажите эту несколько конкретизнрованвую форму леммы Морса, исходя из леммы Морса, изложенной в частя 1, гл. ЛдП], б 6. 30. Агимптотика канонииского интеграла. а, Пусть !=(1д, ..., 1„), у = б = [1»в Пп! !1/[<6, 1=1, 2, ..., л], а »в С(~~(у, ]ч) н Рд(Л, !'] = ~ а (/д, ... — б дтд — — !в ..., 1„) е д/д, где 1'=(/в... 1„), тд ) О, Покажите, что — « -,- ..) ! Р„(Л, 1') л' а«(1') Л ~ ' прн Л -«+со; это разложение равномерно . «=б по 1' ьэ Ъ" = [1' еэ Пп д [ ! П ~ ~ 6, ] =2, ..., а] н а«ьэ С! '! (р'. Р] прн любом А=О, 1, ... дтв в Ь. Домножая Рд(Л, 1') на е н обосновав законность почленного интегрирования соответствующего аснМптотического разложения, получите асимп.
готическое разложение функцнн Рв(Л, 1)= )г Рд(Л, 1')е 2 п/э прн Л-«+со, — б где /' (1в " 1«), тв)0. с. Докажите, что для функцнн 6 6 д 2Х /'! А(Л)= ] ... ) а(/дв .... 1„)е ' ' д/д, ..., 1„, — 6 †где т/) О, 1=1, ..., л, имеет место асимптотическое разложенне А (Л) — Л "/э ~ а«Л «прн.
Л-ь+оо, «=о / (2п)" где ав= !/ а (0). " 'тп 11. Асимптодлиха интеграла Лапласа е многомерном случае. а. Пусть 0 — замкнутая, ограниченная область в Пг. ], 5 дв С(0, Н), !пах 5 (х) достн кшп гается только в некоторой внутренней точке хе области 0; 1, 5 дв С! ] в неко торой окрестности точки хе, причем де1 5" (хв) ~ 0 Докажете, что если интеграл (э] абсолютно сходится для какого-нибудь значения Л= Лв, то ьв Р(Л)окгдэ(кв]Л-и/э у' а Л «пря Л в [ !.О «=а причем это разложение можно дифференцировать по Л любое число раз, а его главный член имеет внд Р (Л) =едчд*в! 1/ „(] (хе)+О (Л д)) У ~ бе1 5" (х,)] Ь.
Проверьте, что если в предыдущем утверждении вместо ], 5тС (вв] известно лишь, что ] !в С, а 5 ел С'э' в окрестности точки хе, то прн Л-«+со главный член аснмптотикн останется тем же, с заменой О(Л-д) на а(1) прн Л -ь+ со Метод стационарной фаэи е одномерном случае. 12. Обобщение геммы Римана. а. Докажите следующее обобщение леммй 'Римана, Пусть 5ввС'д'([а, Ь], [д) н 5'(х)т«0 на [а, Ь[=;1. Тогда для любой абсолютно нндвгрнруемой на промежутке 1 функции 1 н!геет место соотношение ь Рв(Л) )! (х)еддз(к]дх-«0 прн Л-ьоо, Л!в П.
е Ь. Проверьте, что если, сверх того, известно, что /!в С!г»д! (1, [г), а 5!в дв С'"+в' (1, Р), то прн Л -«со Р(Л) ~Р (/Л)-!э+в! [ —,— ] ](х)~ +о(Л-"«д')к ]5' (х) дх/ «=о с. Иыпишяте главный член аснмптотнкн функция Р(Л) прэ Л-в со, Лщ]к. ' б Покажнте, что еслн 5шС(т'(1, []), а ]~1,,]ьэ Со« [а, е], ][1, ь]ш ш С™ [с, Ь], но ]~Сан [а, Ь], то функция Р(Л) не обязана быть величиной о (Л д) при Л -ь со. е. Докажнте, что когда ], 5 ьэ С("'! (1, [г), функция Р (Л) допускает разложение в аснмптотическнй ряд прн Л-~-со Найднте аснмптотическне разложения прн Л-ьоо, Л дв )г следующих интегралов: '~ (1+х)-аф/(х, Л)дх, 1=1, 2, 3, если а)0, а фд=еддх, вр,= = соз Лх, дрэ = здп Лх.
13, Принцип локализации а. Пусть !=[а, Ь] с [1 ] ел Со!'"» (1, Й), 5ш дв С!«в] (1, П) н 5' (х) чь 0 на 1. Докажите, что тогда ь Р (Л);= ]г](х) е АЗ!"! ух=О Ц Л / о ) прн Л-« ею. г Ь. Пусть ]ш С!в](1, Н), 5»н С(ш! (1, ]с)! КР ..., хт-конечное число стационарных точек функции 5(х),.вне которых 5'(х)ч«0 на 1. Обозначим через Р(Л, х) интеграл от функции ](х)е'дз!"' по окрестности (/(х/) точки х, ]=1, ..., т, не содержащей в замыканнн других критических точек.
Дока/' жите, что Р(Л) = ~ Р(Л, х/)+О(~ Л]~] прн Л-!-со. 1=! Гл. Х!Х АСИМПтотИЧРСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 4 2. АсимптотикА интеГРАлОВ 14. Асимптотика интеграла Фурье г одномерном случае, а. В достаточно общей ситуации отыскание асимптотики одномерного интеграла Фурье благо. дайн принципу локализации сводится к описанию асимптотики канонического интеграла () а Е(Л) ~»Р-)1(х)ггь» дх, ' для которого справедлива следующая . Л е и м а Э р д е й и.
Пусть а ~ 1, 6 ) О, 1 )и С(ю) ((О, а], Р) и 1'Ь! (а) О, й = О, 1, 2, ... Тогда „, ь+р р(Л) ь ~ аьЛ а при Л-ь-(-оз, ь=б где ,и ь+р I причем ьто разложение можно диффгргнцирогать по Л любое число раа, Пользуясь леммой Эрдейи докажите следующее утверждение. 11усть 1=]х« — 6, х,+6) — конечный отрезок. 1, 5)и С(ь ) (1. П), причем ) ы Сь(1, П), а 5 имеет на 1 единственную стационарную точку хь, где 5'(хь)=0, но 5'(хь) Ф О. Тогда при Л-!.+со »» +а ) ( — ьвнл" (» ) а Р(Л, Х):= ]г 1(Х) г(АЗ(») дк Е 4 г(АЗ(» )Л З ~ аЬЛ-Ь »,— б а о и главный член асимптотики имеет вид 2я ( 4 «коз" (»ь)+ЬЗ(»И гн(Л, хь)=.$/, е ', -У Л)5 (.,)! ' () (хь)+ 0 (Л !)).
Ь. Рассмотрите функцию Бесселя целого индекса а~О! 1 Г Хь (х) = — соз (х а! п ф — тр) б р. Покажите, что /2 1 пп 1 (х) = 41 — сов(х — — — — ) +О (х !) при х ь+оз. 'лх ! 2 4) Метод апационарной фазы г мнаюмгрном случае 16. Принцип локализации. а, Докажите следующее утверждение. Пусть Р— облас) ь в Пн, )' щ Со(~) (О П) 5 чи С(' ) (О, (1), ига 6 5 (х) Ф 0 при х)ж апрр1 и Р (Л) = ~ ] (х) е) з(х) дх («*) Тогда для любого й ьи К найдется такая положительная 'постоянная А (е), что при Л) 1 имеет место оценка ! р (Л) ! «А (6) Л-", и, значит, р (Л) =0(Л ~) при Л-«+со. Ь. Пусть по-прежнему 1'~ Сб(т) (О, П), 5 щ С(") (О, П); но 5 имеет в 0 конечное число критических точек х,, ...„ха, вне которых уга65(х)чьО.
Обозначим через р (Л, х ) интеграл от функции 1(х) г) ц(") по такой окрестности У(хг) точки хр в замыкании которой нет критических точен, отличных от точки х1. Докажйте, что Р (Л) = ~ ', Р (Л, »1)+ 0 (Л~) при Л-ь+оо. 1=) .16. Приведение к каноничгскомч интегралу. Если хь — невырожденная критическая точка функции 5енС(ьь (О, (г), определенной в области Рсгч«, то по лемме Морса (см. аадачу 9) существует такая локальная замена перел' 1 сч менных х=)р(у), что хь !р(0), 5((р(у))=5(хь)+ — Г аг(уг)з, где а)=.«-1, 1=1 у (у', ..., у"), причем де1)р'(у))0.
Используя принцип локализации (задача 16), покажите теперь, что если )')и С(т) (О, (ч), 5 ен С(т) (О, П), 5 имеет в Р не более конечного числа кри. тических точек и все они невырождены, то исследование асимптогики интегра)уа (««) сводится к исследованию асимптотики специального интеграла Ц~;(1)' р(Л);= $ „. ~ ф(уз,, уч)г 1-' дуз...пук. — б — б 17. Асимптотика интеграла Фурье г многомерном случае.
а. Используя лемму Эрдейи (задача 14 а) и план действий, описанный в задаче 1О, докажите, что если 0 — область в Пь, 1, 5щС!~!(О, )0), зпррг-компакт в Р, хьединственная и притом невырожденная критическая точка функции 5 в О, то для интеграла (*«) при Л-«+со имеет место асимптотяческое разложение р(Л) 1- 1зг(ЬЗ(»ь) ~ а Л-Ь а о которое можно дифференцировать по Л любое число раз. Главный член асимптотики имеет вид 12нда)З Г (и Р (Л) ( — ) . ехР )ЛГЛ5(х,)+ — зйп 5'(хь) ~ Х (Л)' Л 4 х )йе15'(хь)! 1 (((хь)+0(Л !)] при Л +со.
Здесь 5'(хь) — симметрическая и по условию невырожденнаи матрица вто. рых частных производных функции 5 в точке х, (гессиан), а зяп5'(х,)— сигнатура втой матрицы (или соответствующей ей квадратичной формы), т, е. разность ч,— ч между числом положительных и числом отрицательных собственных зйвчений матрицы 5" (хь). литеРАТРРА ЛИТЕРАТУРА Классика А Первоипнсчники Ньютон И. а.
Математические начала натуральной философии (перевод в книге: К р ылов А. Н. Собрание трудов, т. 7.— М.— Л. 1936). Ь. Математические работы. — М. — Л.: 1937. Лей бн иц Г. В. Избранные отрывки йз математических сочинений (в журнале «Успехи математических наукэ, 1948. т. 3, вып. 1, с. !65 — 205). 2. Важнейшие систематические изложения предменш Эйлер Л. а. Введение в анализ бесконечно малых, т. 1, 2.— Мл Физматгиз, 196! Ь. Лифференциальное исчисление. — М.
— Лл Гостехиздат, !949. с. Интегральное исчисление, т. 1 — 3. — Мл Гостехиздат, 1956 в 1958 Коши О. Л. а. Алгебраический анализ. — Лейпциг, 1864. Ь. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчис. ленин. — СПбл 1831.
т. Классические курсы анализа первой половины нашего столетия Валле-Пуссен Ш.— Ж. Курс анализа бесконечно малых. т, 1 — П.— Л.— Мл ГТТИ, 1933. Гуров Э. Курс математического анализа, т ! — П вЂ” М.— Лл ОНТИ, !936 П. Современные учебники по математическому анализу, утвержденные Минвузом СССР И л ь и н В, А., П о з н я к Э. Г. Основы математического анализа, ч.
1.— М.: Наука,,!971, Ильи н В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч. П.— Мл Наука, !980. И л ь н н В. А., С а д о в н и ч и й В. А., С е н д о в Бл'. Х Математи. ческий анализ.— Мл Наука, 1979. Кудрявцев Л. Д Курс математического анализа, т. 1, П,— Мл Высшая школа, 1981. Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1, П,— М. Наука, !973.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
