В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 124
Текст из файла (страница 124)
По! скольку с точностью до замены х= — это один и тот же объект, и мы сформулируем очередное утверждение только для разложений по первой последовательности и отметим затем специфику некоторых из приводимых формулировок в случае разложений по второй последовательности. Утве р ж де н не 4. Пусть Π— предельная точка множества Е, и пусть )(х) =ил+а,х+а,х'+..., приЕ ~ х — «О. у(х) ЬО+Ь,(х)+Ьех'+... Тогда при Е~ х — «О а) (и)+ Ц) (х) ~~ (аа„+ йЬ„)'х"; л=ь Ь) (! д) (х) = ~', слх", где ел=а,Ь„+а,Ьл,+...+алЬ„, а=О, л=О с) если ЬО че О, то ! — 1 (х) 1! длх", где коэффициенты 1(л О находятся из рекуррентных соотношений л аь = ЬОд„ат = Ььдт+'Ькдь, ..., ал = ч. Ь„д„ О=.О б) если Š— проколотая окрестность или полуокрестность точки О, а 1 непрерывна на Е, то к О л ) (1) О(1 аьх+ ' хе+...
+ " ' ха+ .. 2 е) еслилв дополнение к условиям д) ) в=С"'(Е), то р(х) =а,'+а,'х+..., где а„' = (и+ 1) ал.!1, и = 0 4 а) Это частный случай утверждения 2. Ь) Используя свойства символа о( ) (см. гл. П1, Ч 2, утверждение 4), получаем, что (1 д) (х) = ! (х) д (х) = (аа 1 а х+...-1-алхл+о(х')) (ЬО+Ькх+ ° "+Ь " +о(х )) ( „1,)+(,1,-(-а Ь,) х-)-...-1-(аОЬ.-!-аЬл,-)-...+а ЬО) ха+о(хл) при Е ых-«О с) Если Ь,~О, то д(х) ФО при х близких к нулю, поэтому ! (к) можно рассматривать отношение — =й(х). Проверим, что и, что если в представлении й(х) =д!+д,х+...+д„хл+гл(х) коэффициенты 81, ..., Йл выбраны в соответствии с утверждением с), то «л(х) = =-о(хл) при Ееэх- О.
Из тождества,О(х)=д(х)Ь(х) получаем, что аь+ а,Х+... + П„Х'+ О (Хл) = = (Ь„+ Ь,х +... + Ь„х" + о (хл) ) (да + дтх +... + длхл + гл (х) ) = = (Ь„йл)+ (ЬОО(1+ Ь1дь) х+... ей (ЬОО(, + Ь11(,-1+... + Ь,дь) х" + + Ь„гл(х)+о(гл (х))+о(х'Ь откуда следует, что о(х") =ЬО«„(х).+о(«„(х))+о(х") или гл(х) = = о(х") прй Е =эх- О, поскольку ЬОФО. б) Это вытекает из утверждения Зс), если положить там О! ==0 О к и вспомнить, что — ~ !' (1) г(1 = ~ !" (1) й(. к О' 0 е) Поскольку функция )'(х) непрерывна на 10„х1 (или [х, [) ,',х,д! и ограничена (стремится к а,' при х — 1-0), то интеграл ),Р( ) существует, Очевидно, 1(х) =-аь+~ ['(1)с(1, так как [(х) «ао прн х- О. Подставляя в это равенство асимптотическое разложение 1'(х) и пользуясь доказанным в 11), получаем, что а' а'„ !(Х) — аь+а!(Х)+ 2-Х +..+ — „Хл+...
И е инственности асимптотического разложения (утверждез д и=О, ние 1) следуют теперь соотношения а„' (и + 1) алк„п = 1,... Э След ств не 1. Если (к' — окрестность (полуокрестность) бесконечности в Й, а функция 1 непрерывна в (к' и имеет асимпто- 599 598 Гл. ХгХ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ й !. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД тическое разложение у (х) ао+ — „' + ~г +...
+ — „"+... при (/ ээ х — оо, то взятый по лежащему в (г' промежутку интеграл сходится и имеет следующее асимптотическое разложение '1 (х) — х + 2хк + + „„ + при (г:-э х 4 Сходимость интеграла очевидна, поскольку 1(() — аз — — — при (г' =э ( — со. а! ак р Остается, ссылаясь, например, на утверждение Зс), проинтегрировать асимптотическое разложение )(() — а, — — '= — , '+ — '+...+ — „" при Уеэ(-ьоо. Следствие 2.
Если в дополнение к условиям' следствия 1 известно, что уеиС(г!((2) и у' допускает асимптотическое разложение а! аз ал !' (х) — аз+-„-+„—;+...+„— „+... при (г' эх оо, то вто разложение можно получить формальным дифференциро- ванием разложения функции у, причем а„'= — (п — 1)а„„п=2, 3...
и а,'=а,'=аз=а,='О. 4 Поскольку ~'(х) =а„'+ — '+О ~ —.,) при (/:-эх-ьоо, то к ( (х) = 1 (хо) + $ Г (!) сй = ах+ а,' !и х+ О (1) ка при (!~х-«со, и так как )(х) а,-(-" — ' -1 "'-1 а п ! .тельность х, !пх, 1, —, —, ... асимптотическая прн (1 =-эх-ьоо, х'х'' ''' утверждение ! позволяет заключить, что а', =а, '=О.
Теперь, интегрируя разложение 1'(х) —,'+-„+..., в силу следствия 1 получаем разложение функции 1(х) и на основании единственности разложения приходим к соотношениям а„'= — (п — 1) ал, при п=2,3,... Ь Задачи и упражнения 1. а. Пусть Ь(г)= 2,' алг-л при !г!~ й, гт С. Покажите. что тогда л=е 6(г) ~З~ алг " пРи С нз г-'-со. к=о Ь, Считая, что искомое решение у(х) 1 уравнения у' (х)+уз (х) нп хк при слх-л, найдите первые к=в к-ьсо имеет асимптотическое разложение л л ~', г(«)=~1(х)Ля+0(((л+1))+О!1) прн «=о б Ь) у — = 1п и + с+ о (1) п р и л -ь со жл 1 « «=! ло-к (1п л)р — 1.
с) '~' «~Оп«)Р а+1 прил- сока) —. «=2 а. И г ированием по частям найдите асимптотические разложения при нтегри„ н х-++со следующих функций; +Ок а) Г (х)= ) гк-ке-ей! — неполная гамма-функция; к ..й) ег! (х) = — ) е — ф«к ' Л! — функция есроягикосгли ошибок ! напомним, что лк ~ Е к ЛХ= Геп — ИНтЕГраЛ ЭйЛЕра- ПуаССОНа); +ел !' ен с) с (х) = ~ — Л1, если а ~ О. та 4. Используя результат предшествукзшей задачи, найдвте разложения при х-ь+соследу!оп!их функций: к в) Б! (х) = — й! — ишиегра льный синус Напомним, У 2 = †" — интеграл дирихле)!! аснмптотические Них что з! — лх = х В три члена етого разложения с. докажите, что если 1(г)= ~р~ алга прн !г1<е 2тС' у(~) ' + С г -ь О, то в некоторой проколотой окрестности точки О т С определена функция 1 у и ((.у) (г) = се+с г+скг -1-...
пр где коэффициенты см с„... получаются подстановкой ряда в ряд так же, как и для сходяшихся степенных рядов. 2. Покажите, что: о ая ф нкция при хгво, а) Если 1-непрерывная, положительная и монотонная фун 80! й 1. АСИМПТОТИЧЕСКИИ РЯД Гл. Хгх. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ л = [ сом 2-( йй о(х)= 1 мп.— ( й( — интегралы Френеля напом- 2 е ни, ~ соз х' йх = ~ Мп х' йх = — ~Г г„[ 2У Ц' о о . Эрдейи ) принадлежит следующее обобщение введенного Пуанкаре и рассмотренного выше понятия разложения по асимптотической последовательности [»рл(х)).
П сгь усть Х вЂ” множество, е»д — база в Х, (<рл(х)) — асимптотическая при базе еЮ последовательность функций на Х. Еслй заданные на Х функции [(х), »ро(х), »рэ(х). фэ(х), ... таковы, что для любого п=О, 1, ... имеет место равенство л [(х)= ~ фа (х)+о (»рл (х)) при базе еЗ, о.. о то пишут [(х) =- ~ фл(х)» (фл(»И пРи базе еЗ л=о и говорят, что имеется асимптотическое в слгысле Эрдейи разложение ф нкции [ при базе ел».
функ- а. Обратите внимание на то, что в задаче 4 вы получили разложения асимптотические в смысле Эрдейи, если Считать 9»л (х)=х-л, п=О, 1, ... Ь. Покажите, что асимптотические в смысле Эрдейи разложения не обладают свойством единственности (функции фл можно менять). с. Покажите, что если заданы множество Х, база е»д в Х, функция [ на Х и.последовательности [Рл(х)) и (»р„(х)), вторая из которых является асимптотической при базе етд, то разложение [(х) — ~ илрл (х) [»Р» (х)) при базе елд, л=-О где ал — числовые ноэффициенты, либо вообще невозможно, либо единственно.
6. Рааномеркоы асилщтотитеские Оценки. Пусть Х вЂ” множество, е9» — база в Х, и пусть [(х, у), Е(х, у) — определенные на множестве Х и зависнщие от параметра у щ У (векторноэначные) функции. Положим 1[[х, у) г=м(х, у) !Е(х, у) !.
Говорят, что асимптотические соотношения [ (х, у) = о (д (х, у)), [ (х, у) = 0 (Е (х, у)), [ (х, у) д (х, у) при базе еЯХ равяолырног по параметру у на 'множестве У, если соответст- венно и(х, д) 0 на У при базе е»дх, ы(х, у) равномерно по дщУ финально ограничена при базе ей и, наконец, а(х, у) ! на У при базе е»дх, Покажите, что если в мвожестве ХХУ ввести базу е»е'=(ВхХУ), эле- менты которой суть прямые произведении элементов Вх базы е»УХ и множе- ства У, то указанные определения соответственно равносильны тому.
что / (х, у) = о (д (х, у)), [ (х, у) = О (д (х, у)), [ (х, у) й (х, у) при базе е%. *) А. Эрдейн [1908) — английскин ма!ел!этик, 7. Равномерные асимлтотиееские разложения, Асимптотическое разложение ! (Х, у) — ~ ил (у) <рл (Х) П рн бава е»ЭХ называется ралломеряым относительно параметра у на множестве У, если в равенствах [(х, д) = ~ аа(у) еда (х)+гл (х, у), п=О, 1, ..., Е=О имеет место равномерная по ущУ оценка гл(х, у)=о(йл[х)) при базе ехух в множестве,Х. а. Пусть У вЂ” измеримое (ограниченное) множество в Пл, и пусть при каждом фиксированном звачении х ен Х функции [(х, у).
ао(у) ае(у), ... интег рируемы на У. Покажите, что если при этих условиях асимптотическое разложение 1(х, у)=. ~ ал(у)»рл(х) при базе еудх равномерно по параметру л=о у»м У, то справедливо также асимптотическое разложение ~ ~ ал (У) йд'»»Рл (Х) ПРИ баЗЕ аЯХ, У л=о»р Ь. Пусть У=[с, й) щ П. Предло:южим, что функция [(х, у) при каждом фиксированном х щ Х непрерывно дифференцируема по у на отрезке У и при некотором де ен У допускает асимптотическое разложение [(х, уо) = ~ ил (уо) Чл (х) при базе еУдх, Докажите, что если при этом имеет место равномерное по у щ !' асимптотическое разложение — (Х, у)=. Г ал(у) рл(Х) Прн баЗЕ еудх ду л=о с непрерывными па у коэффициентами ил (у), и=О, 1, ..., то исходная функ-.
ция [(х, д) имеет асимнтотическое разложение [(х, у)=- ~ ал(у)»рл(х) при о=э базе е»[)х, равномерное по д ом У, его коэффициенты ал (у), и=О, 1, ..., гладко йа„ на промежутке У зависят от у и —" (гу)=ил (у). л 8. Пусть р (х) — гладкая, положительная на отрезке с ( х ( й функция. дои а.
Решите уравнение — (х, Л)=Лор (х', и (х, Л) в случае, когда р(х) =: 1 дх' на [с, й). Ь. Пусть О ( т р(х) щ А( к:+со на [с, й[, и пусть и (с, Л) =1. ди дх — (е, Л)=0 Оцените снизу и сверху величину и (», Л) при х щ [с, й[. Гн. Х!Х: АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ $ 3. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ с. СчитаЯ, что 1и и(х, Л)= ~Р ~се (х) Л<-" пРЕ Л вЂ” +со, где се(х), с,(х)— а=о гладкие функпяп, я, пользуясь тем, что [ — ) = — — < — ), покажите, что~<и) и )<и) с,' (х)а р (х) и с„ д с ~р ~с„' с„' „ (х) = О «=о 2 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
